第02讲 实数 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第02讲 实数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 无理数 2. 实数与数轴 3. 实数的绝对值与大小比较 4. 实数的运算 5. 科学记数法 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、无理数整数部分的有关计算 四、实数概念理解 五、实数的分类 六、实数的性质 七、实数与数轴 八、实数的大小比较 九、程序设计与实数运算 十、实数运算的实际应用 十一、用科学记数法表示绝对值大于1的数 十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 十三、还原用科学记数法表示的小数 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1. 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点2. 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点3. 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点4.实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点5.科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型巩固 题型一、无理数 1．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D．4 2．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 题型二、无理数的大小估算 3．估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．请写出一个无理数，使它的值在2和3之间： ．（写出一个即可） 题型三、无理数整数部分的有关计算 5．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．的整数部分是 ． 题型四、实数概念理解 7．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 9．有最小的实数吗？有绝对值最小的实数吗？ 题型五、实数的分类 10．在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在实数，，，中，有理数有 个． 12．把下列各数填入相应的集合内（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加． (1)无理数集合{                   …}； (2)分数集合{                   …}； (3)负实数集合{                   …}． 题型六、实数的性质 13．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 14．的相反数是 ． 15．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、实数与数轴 16．已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 17．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 18．已知（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 题型八、实数的大小比较 19．在实数，2，0，1，最小的数是（    ） A． B．2 C．0 D．1 20．比较大小： ．（填“”“”或“”） 21．比较下列各组数的大小： (1)与2； (2)与2.5； (3)与． 题型九、程序设计与实数运算 22．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 23．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 ． 24．如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 题型十、实数运算的实际应用 25．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 26．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 27．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型十一、用科学记数法表示绝对值大于1的数 28．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 29．2024年渝东南片区接待游客总人数为7380000人次，将数据7380000用科学记数法表示为 ． 题型十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 30．碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，层与层之间保持固定的距离，约，其中数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 31．用科学记数法表示为 ． 题型十三、还原用科学记数法表示的小数 32．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　） A． B． C． D． 33．将数写成小数的形式为 ． 分层强化 一、单选题 1．新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，那么0.000000125用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．对于实数的表述正确的是（  ） A．大于1小于2 B．大于2小于 C．大于小于3 D．大于3小于4 4．在实数，0，，3.14中，无理数是（   ） A． B． C．0 D．3.14 5．在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 二、填空题 7．数字用科学记数法表示为 ． 8．请写出一个整数部分为2的无理数 ． 9．据统计，某年我国国内生产总值达397983亿元．则用科学记数法表示这一年我国的国内生产总值为 亿元． 10．实数的绝对值为 ． 11．实数在数轴上的位置如图所示，则的值可能是 （只写一个） 12．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    13．比较大小： （填“、或”）． 14．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 15．小于的所有正整数和是 ． 16．数据，，，，，（从前往后每相邻两个2间增加一个0）中，这6个实数中无理数有 个． 17．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 三、解答题 18．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 19．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 20．把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 21．计算： (1)； (2)． 22．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 23．①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 无理数 2. 实数与数轴 3. 实数的绝对值与大小比较 4. 实数的运算 5. 科学记数法 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、无理数整数部分的有关计算 四、实数概念理解 五、实数的分类 六、实数的性质 七、实数与数轴 八、实数的大小比较 九、程序设计与实数运算 十、实数运算的实际应用 十一、用科学记数法表示绝对值大于1的数 十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 十三、还原用科学记数法表示的小数 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1. 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点2. 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点3. 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 知识点4.实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点5.科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 题型巩固 题型一、无理数 1．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，为无理数，符合题意； B. ，为有理数，不符合题意； C. ，为有理数，不符合题意； D.4，为有理数，不符合题意； 故选：A． 2．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个； 故答案为：1． 题型二、无理数的大小估算 3．估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，掌握有理数的意义是解题的关键．首先求出在和之间，从而得出的在华润之间，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．请写出一个无理数，使它的值在2和3之间： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：， 在2和3之间的无理数可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型三、无理数整数部分的有关计算 5．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 6．的整数部分是 ． 【答案】2 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得的取值范围，进而可求出的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是2， 故答案为：2． 题型四、实数概念理解 7．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数概念理解 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 8．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝ ． 【答案】{﹣3，0，1，7} 【知识点】实数概念理解 【分析】利用集合的定义及集合A与集合B的和求解即可． 【详解】∵A={0，1，7}，B={-3，0，1}， ∴由集合的定义，可得A+B={-3，0，1，7}． 故答案为{-3，0，1，7}． 【点睛】本题主要考查了实数，解题的关键是正确理解集合的定义． 9．有最小的实数吗？有绝对值最小的实数吗？ 【答案】没有最小的实数，0是绝对值最小的实数 【知识点】实数概念理解 【分析】没有最小的实数，有绝对值最小的实数0 【详解】解：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数． 【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值的意义，理解实数的性质是解题的关键． 题型五、实数的分类 10．在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的概念，有理数可分为整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数，根据分类对题目中的实数进行化简判断即可． 【详解】解：为无理数， 是分数，为有理数； 是有限小数，为有理数； 为无理数，故是无理数； ，为无理数； ∴和是有理数， 故选：B． 11．在实数，，，中，有理数有 个． 【答案】2 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数，解决本题的关键是熟记有理数的定义． 根据有理数的定义，即可解答． 【详解】解： ，，是有理数， ，是无理数． 故答案为2． 12．把下列各数填入相应的集合内（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加． (1)无理数集合{                   …}； (2)分数集合{                   …}； (3)负实数集合{                   …}． 【答案】(1)②③⑦⑧ (2)①④ (3)①②⑤⑦ 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键． （1）无理数是无限不循环小数，据此可得答案； （2）分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案； （3）负实数是小于0的无理数和有理数的统称，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 无理数集合{②③⑦⑧}； （2）解：分数集合{①④}； （3）解：负实数集合{①②⑤⑦}． 题型六、实数的性质 13．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 14．的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 15．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 题型七、实数与数轴 16．已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 17．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴、圆的周长公式，理解数与数轴上的点的对应关系是解答的关键． 求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：圆的直径为1个单位长度， 该圆的周长为． 当圆向左滚动时，点表示的数为； 当圆向右滚动时，点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 故答案为：或 18．已知（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 【答案】见解析 【知识点】实数与数轴 【分析】先明确的含义是的绝对值，，根据且是整数，找出满足条件的整数，再在数轴上表示．本题主要考查了绝对值的概念、不等式的整数解以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的意义和整数的范围确定方法是解题的关键． 【详解】解：，，且是整数 又是整数 的值为，，，，，， 在数轴上表示，，，，，，如图所示， 题型八、实数的大小比较 19．在实数，2，0，1，最小的数是（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：A． 20．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解决本题的关键． 根据题意得出，，然后比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 21．比较下列各组数的大小： (1)与2； (2)与2.5； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，能灵活运用立方根的定义进行变形是解此题的关键． （1）先求出，再比较即可； （2）先求出，再比较即可； （3）先求出，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 题型九、程序设计与实数运算 22．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换． 本题根据程序输入，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，直至算到结果是无理数，即可． 【详解】解：∵输入，16的算术平方根是4，4是有理数， ∴还需再求4的算术平方根， ∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数， ∴输出的值是， 故选：B． 23．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，把的值代入操作步骤计算即可求出输出结果． 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 24．如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】(1) (2)36 (3)0或1 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值； （3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键． 题型十、实数运算的实际应用 25．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 26．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 27．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型十一、用科学记数法表示绝对值大于1的数 28．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为． 故选：C． 29．2024年渝东南片区接待游客总人数为7380000人次，将数据7380000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值． 明确科学记数法的形式(为整数)；把的小数点向左移动6位得到因小数点移动了6位，故从而得出结果． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数． 将转变为这种形式，可得． 故答案为： 题型十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 30．碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，层与层之间保持固定的距离，约，其中数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 31．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十三、还原用科学记数法表示的小数 32．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法还原为小数的方法，科学记数法表示为时，当为负数，需将的小数点向左移动位，不足时补零，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将还原为小数是， 故选：A． 33．将数写成小数的形式为 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原为原数的运用，科学记数法的表示形式为，值的取值方法是：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 分层强化 一、单选题 1．新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，那么0.000000125用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此进行判断即可． 【详解】解：； 故选：C． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【分析】本题考查实数，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 3．对于实数的表述正确的是（  ） A．大于1小于2 B．大于2小于 C．大于小于3 D．大于3小于4 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 由，则，易得，据此即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即大于2小于． 故选B． 4．在实数，0，，3.14中，无理数是（   ） A． B． C．0 D．3.14 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的识别．根据无理数就是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如（两个相连2之间的1的个数逐次增加一个），进行判断即可． 【详解】解：在实数，0，，3.14中，是无理数的是：； 故选：B． 5．在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法． 比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数的大小． 【详解】解：根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得， ， 所以，最小的是， 故选：D． 6．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 二、填空题 7．数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 8．请写出一个整数部分为2的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法．设这个无理数为，根据题意可得：，即，即可求解． 【详解】解：设这个无理数为 这个无理数的整数部分为2， ，即， （答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 9．据统计，某年我国国内生产总值达397983亿元．则用科学记数法表示这一年我国的国内生产总值为 亿元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的形式． 利用科学记数法的表示形式为，其中，为整数，进行表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．实数的绝对值为 ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 11．实数在数轴上的位置如图所示，则的值可能是 （只写一个） 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】根据数轴上点的位置，得出取值范围，即可求解． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：实数的取值范围是：， 故答案为：答案不唯一，小于大于的数均可． 12．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    【答案】16 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了算术平方根．根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：16． 13．比较大小： （填“、或”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，灵活运用作差法比较大小成为解题的关键． 先作差，然后判断正负，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 【答案】4 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了实数的分类，求代数式的值．根据实数的分类，可得x，y，z的值，再代入计算，即可求解． 【详解】解：在，100，，，，中， 无理数有，整数有100，负数有，， ，，． ∴． 故答案为：4 15．小于的所有正整数和是 ． 【答案】10 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键． 由，可得出小于的正整数有：1、2、3、4，将其相加即可得出结论． 【详解】解：， 介于4和5之间， 小于的正整数有：1、2、3、 故答案为： 16．数据，，，，，（从前往后每相邻两个2间增加一个0）中，这6个实数中无理数有 个． 【答案】2 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，，是整数，是有限小数，是分数，它们属于有理数； 无理数有， (从前往后每相邻两个2间增加一个0)，共2个． 故答案为：2． 17．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【知识点】实数概念理解、实数的分类 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 三、解答题 18．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【答案】见解析 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确地把各数在数轴上表示出来是解决本题的关键． 【详解】解： 数轴表示如下： ∴． 19．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由，可得，即可得到答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴在，之间 20．把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…} 【知识点】实数概念理解、实数的分类 【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】正有理数集合：{，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{0.1010010001…，，…}． 【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 22．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 23．①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 【答案】①，，；②，；③见详解 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，用数形结合的思想是解此题的关键． 根据大正方形的面积个小正方形的面积和，解答即可； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为，从而可得，，结合数轴即可得解； ③由题意可得，大正方形的面积为，故大正方形的边长为，即长方形的对角线为，由此结合数轴画图即可． 【详解】解：①由题意可得：所得到的大正方形的面积为；边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为， ∴，， ∴图2中A，B两点表示的数分别为，； ③由题意可得，当时， 图3中得出的小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 故大正方形的边长为，即长方形的对角线为， 在数轴上表示，如图所示，点表示的数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$