第11章 整式的乘除（知识清单）数学沪教版五四制2024七年级上册

第11章 整式的乘除 一、整式的乘法 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 2.幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数） 4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc 6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 二、乘法公式 1.平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a² -b² 2.完全平方公式 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. （a+b)²=a²+2ab+b² （a-b)²=a²-2ab+b² 三、整式除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝am-n（都是正整数） 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0＝1(a ≠ 0) 2.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3.整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b 易错点1：忽略指数为 1 的幂或弄错符号导致错误 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据符号的化简法则将原式化简，然后进行同底数幂的乘法运算，最后进行合并．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，首先计算积的乘方，再运算同底数幂乘法，然后计算加法即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法是解题的关键． 利用积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法运算即可求出答案． 【详解】解： ． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 易错点2：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错 5．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：（结果写成幂的形式） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式变形为，把看作整体，根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，积的乘方计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 7．（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）计算： 【答案】． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，先把底数化为同底数幂，再计算乘法，最后合并同类项即可,掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，利用幂的运算法则进行化简是解题的关键； 根据幂的运算化简即可求解； 【详解】解： 易错点3：计算整式的乘法时漏乘 9．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项．根据多项式乘多项式的运算法则将括号展开，然后合并同类项，即可得出答案． 【详解】解： ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的运算，理解运算法则是解答关键． 先将变形为，再利用多项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 易错点4：进行乘除运算时弄错运算顺序 14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据积的乘方、幂的乘方将原式化简，然后进行单项式的乘除运算，最后合并同类项即可．解题的关键是掌握：单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【详解】解： ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式中，与之积等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的乘法，将每个选项中的多项式分别与相乘，再把所得的结果和作比较即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式， 根据平方差公式的特点判断即可，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、符合平方差公式的特点，故选项符合题意； B、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； C、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； D、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式的应用． 利用幂的运算法则和完全平方公式计算． 【详解】解：∵是正整数， ， ∴整式是非负数． 故选：B． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的混合运算．利用完全平方公式展开 即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 二、填空题 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，用括号内的每一项除以，化简为单项式除以单项式，所得的商相加即可得出答案． 【详解】解： ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ = ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 12．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式和多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据平方差公式以及单项式乘以多项式及多项式乘多项式运算法则将括号去掉，然后合并同类项即可． 【详解】解： ； 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，按运算顺序正确计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可，熟记乘法公式是解本题的关键． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式乘法的应用．先利用完全平方公式求得，再利用和结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知整数a，b，c满足，试求a，b，c可能的值． 【答案】 【分析】移项，配成完全平方式，利用平方的非负性，计算即可． 【详解】因为， 所以 所以， 所以， 因为，且a，b，c都是整数， 所以， 解得， 所以． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数性质的应用，熟练掌握完全平方公式和平方的非负性是解题的关键． 20．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】(1) (2)8， (3) (4)如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 22．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)84 (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除 一、整式的乘法 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝ （m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝ （m，n，p都是正整数） 2.幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝ （m，n是正整数） 3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝ （n是正整数） 4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)= 6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)= 二、乘法公式 1.平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)= 2.完全平方公式 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. （a+b)²= （a-b)²= 三、整式除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝ （都是正整数） 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0＝ (a ≠ 0) 2.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3.整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即(am＋bm)÷m＝ 易错点1：忽略指数为 1 的幂或弄错符号导致错误 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 4．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 易错点2：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错 5．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：（结果写成幂的形式） 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．（结果用幂的形式表示） 7．（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）计算： 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）化简：． 易错点3：计算整式的乘法时漏乘 9．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 11．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 易错点4：进行乘除运算时弄错运算顺序 14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 16．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 17．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式中，与之积等于的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 三、解答题 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： 16．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 17．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 18．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知整数a，b，c满足，试求a，b，c可能的值． 20．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 22．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$