卷9 第15章 二次根式 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（冀教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册冀教版第十五章二次根式，涵盖定义、性质、运算及应用等核心知识点。课堂导入可通过2025年重庆万州区校级期中题引入二次根式定义，再按“定义→有意义条件→最简二次根式→运算”脉络，以真题为例搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融合各地期末及中考真题，通过“上分心得”总结规律，如最简二次根式条件、双重非负性，培养推理意识。新题型结合自由下落物体时间计算，体现应用意识，规律探究题引导猜想证明，提升创新思维。学生能夯实基础，教师可高效教学。

数 学 八年级上册 冀教版 1 2 3 卷9 第十五章综合检测卷 考查内容：二次根式 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025重庆万州区校级期中］下列各式是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数 是负数，没有意义，故此选项不符合题意；B选项， 是二次根式，故此选项符合题意；C选项，被开方数 是负数，没有意义， 故此选项不符合题意；D选项，根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.［2025陕西榆林期中］若二次根式有意义，则 的值可以为( ) A A.7 B.6 C.0 D. 【解析】要使二次根式有意义，则，解得，故 的值可以是7. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.［2025黑龙江绥化期末］下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 判断根据 结论 A 中被开方数含有分母 此选项错误 B 中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数 此选项正确 C 中被开方数可以开方 此选项错误 D 中0.8是小数也是分数，即被开方数含有分母 此选项错误 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 上分心得 最简二次根式应满足的条 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025广东深圳龙华区期末］下列运算中，正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数不同,不能合并，此选项错误；B选项，被开方数不同, 不能合并，此选项错误；C选项， ，此选项正确；D选项， ，此选项错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025山东滨州期末］若，则 与1的关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，解得 .故选B. 上分总结 二次根式的双重非负性 ①二次根式本身大于等于0；②二次根式的被开方数大于等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.［2025河北保定月考］已知，则 的值为( ) D A.1 B. C. D. 【解析】，，，解得， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.［2025河北唐山月考］若2，5， 为三角形的三边长，则化简 的结果为( ) A A.5 B. C. D.10 【解析】，5，为三角形的三边长， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.［2024四川内江期中］已知，，则用含, 的式子表示为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 9.［2025河北邯郸丛台区月考，中］下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确 的是( ) 小明： . 小亮： . C A.只有小明的计算过程正确 B.两人的计算过程都不正确 C.小明在计算时用到了 D.小亮在计算时用到了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】小明： ，计算过程正确， 在计算时用到了 .小亮： ，计算过程 正确，在计算时用到了 .故C选项正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.［2025河北石家庄月考，中］我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的 三边长，，（其中 ）求其面积的秦九韶公式 .若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，得 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 11.分类讨论［2025河北邢台月考，中］已知，， 表示取三个数中最大 的那个数，例如：当时，，，，， .当 ，，时， 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】当，，时，①令，解得，此时 ， 符合题意；②令，解得（负值已舍去），此时 ，不合题 意；③令，此时，不合题意.故只有当时，， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.［2025河北衡水月考，偏难］一般地，如果为正整数，且 ，那 么叫作的次方根.例如：，,的四次方根是 .则下列 结论： 是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若 ，则 的三次方根是 ；④当时，整数 的二次方根有 4 052个.其中正确的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】， 是81的四次方根,故①正确；任何实数都有唯一的奇次方 根，故②正确； ， 的三次方根是 ，故③正确； ， ， 而，， 非负整数 有2 026 个，其中0的二次方根是0， 整数 的二次方根有4 051个，故④不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.［2025贵州贵阳期中］已知最简二次根式与可以合并，则 的值为 ____. 【解析】 最简二次根式与可以合并，与 是同类二次根 式，，解得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.开放性问题［2025湖南长沙芙蓉区期末］如果一个无理数与 的积是一个有 理数，写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 【解析】时，，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.［2025河北承德月考，中］如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的 三个实数之积均相等，则 _____. 【解析】 各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ，解得，， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.［2025河北沧州月考，偏难］已知， ，且 ，则正整数 的值为___. 2 【解析】 ， ， ，.将代入 ,得 ，化简得 ， ， （负值已舍去）， ，解得 .故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.［2025河南郑州期末］（8分）计算： （1） . 【解】原式 （1分） .（2分） （2） . 【解】原式 （3分） .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （3） . 【解】原式 （5分） .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （4） . 【解】原式 （7分） .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 18.［2025四川德阳月考］（7分）已知， ，求下列代数式 的值. 【解】，， ， （1分） , .（3分） （1） ； 【解】 .（5分） （2） . 【解】 .（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 19.［2025河北廊坊安次区月考］（8分）如图，从一张面积为 的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为 的小正方形，将剩余 部分制作成一个底面为正方形的长方体盒子（无盖）. （1）求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） 【解】由题意可知，大正方形的边长为 ；剪掉的四个小正方形的 边长为， 这个长方体盒子的底面边长 .（4分） （2）求这个长方体盒子的体积. 【解】这个长方体盒子的体积为 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 20.新情境［2025北京西城区期中］（8分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝 的行为.据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位： ） 和高度（单位：）近似满足关系式 （不考虑风速的影响）. （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从 高空抛出 的物体从抛出到落地所需时间 是多少？ 【解】当时， ； （1分） 当时， . （3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）［中］在（1）的条件下,是 的多少倍？ 【解】，是的 倍.（6分） （3）从足够高的高空抛出物体，经过 ，所抛物体下落的高度是多少？ 【解】当时，，解得 . 答：所抛物体下落的高度是 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 21.［2025山东青岛期中］（10分）【问题探究】 （1）小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，， . 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次 根式的运算规律，请将探究过程补充完整： ① ； ② ； ③_ ____________________________________________（填写一个符合上述运算特 征的式子）. （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解】由题中二次根式的运算特征可得 . 故答案为 （答案不唯一）.（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【发现规律】 （2）猜想：___________（，且 为整数），并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 证明： 左边 右边.（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解析】由运算规律可得（,且 为整数）. 故答案为 .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【应用规律】 （3）［中］计算： . 【解】 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （4）［偏难］如果 的小数部分 是 ，那么整数部分为___. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解析】 . 结果的小数部分为，即 ， 解得 ， 经检验，是该分式方程的根且符合题意， 结果的整数部分为 . 故答案为5.（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.探究性问题［2025河北石家庄月考］（11分）我们在学习二次根式时，已经熟 悉了分母有理化及其应用,其实，还有一种方法叫作“分子有理化”,与分母有理化类 似，分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式,比如： . 通过分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根 式的最值问题.例如：比较和 的大小可以先将它们“分子有理化”,如 下： ; . 因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 再例如：求 的最大值.做法如下： 解：由，可知，而 ， 当时，分母有最小值2，所以 的最大值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【应用】 （1）比较和 的大小； 【解】 ，（2分） .（4分） ，，， . （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【拓展】 （2）［偏难］求 的最大值和最小值. 【解】由，， 得 . （7分） 当时，有最小值，则有最大值1，此时 有最大值 1， 的最大值为2.（9分） 当时，有最大值，则有最小值，此时 有最 小值0，的最小值为 .（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 $$