卷3 第13章 全等三角形 基础诊断卷（A卷）上分专题（2） 全等三角形模型-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（冀教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册全等三角形模型，系统覆盖平移、对称、旋转、一线三等角、半角五大类型。通过母题呈现模型本质，子题变式延伸应用，形成“母题方法-子题实践-上分点拨”的学习支架，衔接全等判定与几何变换知识脉络。 其亮点在于以模型探究为核心，通过分类示例培养几何直观（数学眼光），母题到子题的推理过程强化推理意识（数学思维），规范证明步骤与符号语言提升模型意识（数学语言）。如半角模型通过旋转转化三角形，助力学生掌握转化思想，教师可借助分层资源实施精准教学，有效提升学生解题能力与课堂效率。

数 学 八年级上册 冀教版 1 2 3 上分专题（二） 全等三角形模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 平移模型 类型2 对称模型 类型3 旋转模型 类型4 一线三等角模型 类型5 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 平移模型 母题学方法 上分攻略 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 _________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 1.［2025河北承德月考］如图，点，在 上， ，，.写出与 的关系， 并证明. 【解】与的数量关系是相等，位置关系是平行.证明： ， ，.在和 中， ，， ， ，与 的数量关系是相等，位置关系是平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 2.［2025河北保定月考］如图，点是的中点，且 . （1）求证： . 【证明】 点是的中点，，.在 和中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （2）若 ，求 的度数. 【解】，， . 上分点拨 平移模型 这类题一般会用到平行线的性质得到等角，进而结合已知条件证明三角形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 类型2 对称模型 母题学方法 上分攻略 若将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，则称 这两个三角形为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公 共角相等.（此模型下的图形不一定要涉及折叠,只是两个全等的三角形像是由折叠 构成的） 基本模型 常见模型 ___________________ _______________________________________________________________________________________________________ 3.［2025河北邯郸月考］如图，点，，， 在同一直线 上，，相交于点，，， .求 证： . 【证明】，，即.在和 中， ， . 上分点拨 对称模型 这类题的图比较明确，“折痕”两边的图形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 4.［2025浙江杭州拱墅区期中］如图，在 中， ，，，与相交于点 . （1）求证： . 【证明】，， . 在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （2）若 ，求 的度数. 【解】， ， ， ， ， 的度数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 类型3 旋转模型 母题学方法 上分攻略 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后得到另一个三角形，若两个三角形能够完 全重合，则称这两个三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型全等三角形时，涉及 对顶角相等、等角加（减）公共角相等等条件.（此模型下的图形不一定要涉及旋 转,只是两个全等的三角形像是由旋转构成的） 基本模型 常见模型 ____________________________ ________________________________________________________________________ 5.［2025山东济宁任城区期中］如图，的两条高， 交 于点， . （1）求证： . 【证明】的两条高，交于点， ， ，.在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （2）若，，求 的面积. 【解】，,，， ， ， . 上分点拨 旋转模型 解这类题的关键是找出公共顶点，从而确定对应角和对应边，进而证明三角形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 子题练变式 6.［2025四川广元期末］如图，在，中， ， ，，点，，在同一直线上，连接.请写出， 的关系， 并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解】，.证明： ， ，.在和 中， , ， ， ， , ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 类型4 一线三等角模型 母题学方法 上分攻略 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（若相等的角为直角则可称为 一线三垂直模型），利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等条件 （如 ）. _______________________________________________ ____________________________________________________ _____________________________________________________________________ 锐角一线三等角 钝角一线三等角 一线三垂直 7.如图，在中，，，，三点都在直线 上， 并且有 .若， ，求 的长. 【解】 ， ， ，.在与 中， ， ， ，, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 8.［2025吉林长春期末］在中， ，，直线经过点 ， 且于，于 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （1）当直线绕点 旋转到图（1）的位置时，求证： 【证明】 ① . 【解】，， ， ， ， . 在和中， . ② . 【解】，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 （2）［中］当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证： . 【证明】，， ， 易得 .在和中， ,，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 （3）［中］当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，， 之间的数量关系. 【解】， ， ， 易得.在和 中， ，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 上分点拨 一线三等角模型 像本题一样，“三等角”不一定在“一线”的同侧，关键是根据简单的图来推测更复 杂的图中的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 类型5 半角模型 母题学方法 上分攻略 解题思路：①通过旋转，将半角或组合成为“半角”的两边的两个三角形合并成新 的三角形；②证明新三角形与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线 段之间的数量关系，从而解决问题. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 等边三角形含半角 9.［2025河北保定月考］在四边形中，， ， ，分别是边，上的点，且，求，， 之间有何数 量关系. 图（1） （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图 （1）， . 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接 . 请你在图（1）中添加上述辅助线，并补全下面的解题思路. 解题思路：先证明________；再证明 _______，即可 得出，， 之间的数量关系为______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 图（1） 【解】添加辅助线如图（1）所示. ， ， ， ，， ， ， ，即.又， ， ，.故答案为， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 图（2） （2）请你借鉴小王的方法探究图（2），当 时， 上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请 说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 图（2） 【解】成立.证明：如图（2），延长至，使 ，连 接 ， ， .在和 中， , ， ， , ，.在与 中， , , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图（3） （3）［难］如图（3），若，分别是边， 延长线上的点， 其他已知条件不变，此时线段，， 之间的数量关系为 ______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 图（3） 【解析】如图（3）,在上截取，使 ，连接 ， ， .在与 中， ， ， ， ， .又 ， ，， .故答案 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上分点拨 半角模型 此模型的本质是通过旋转将“半角”两边的三角形转化到一起，然后再证明三角形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 $$