第14讲 分段函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第14讲 分段函数 一、分段函数 1、分段函数的定义 函数与函数是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式． 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． 2、对分段函数的理解 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 二、有关分段函数的求解问题 1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。重要的是分段函数虽由几部分构成，但它表示的仍是一个函数． 2、作分段函数的图象时，应按分段区间分别作出其图象，在作每一段图像时，先不考虑定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”． 3、在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可．反之由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解． 4、由于分段函数在自变量的不同取值范围内有不同的对应关系，因此我们在解决有关分段函数的问题时，要讨论自变量的取值，确定自变量的取值属于哪一个区间范围，从而选择相应的对应关系． 5、分段函数解析式的求法：在定义域的不同段内，分别求其解析式，做到不重不漏，然后写成统一的分段解析式形式，注意要标明每段中自变量的取值范围． 6、由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 【方法技巧总结】 在处理分段函数零点求参数范围的问题时，需遵循以下步骤： （1）明确分段函数：首先，清晰界定分段函数的各段表达式及其定义域。 （2）分别求解零点：针对每一段函数，独立求解其零点。这可能涉及解方程、利用函数性质或图形分析等方法。 （3）考虑定义域限制：在求解过程中，务必注意每段函数的定义域，确保零点落在有效范围内。 （4）根据题目要求确定参数范围：结合题目条件，如零点个数、位置等，确定参数的取值范围。这可能需要利用不等式、函数单调性或极值等知识。 题型01：分段函数求函数值 1.已知函数，则等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由解析式知：.故选：C 2.函数，则的值为(   ) A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】因为，则； 因为，则 所以.故选：C. 3.已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意知当，，则， 所以. 故答案为：. 4.设函数，则 ． 【答案】7 【解析】函数， ， 故答案为：7. 5.已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合对数函数的性质与指数运算即可得结论. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 6.已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 7.设函数，则（       ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【解析】，故选：B 8.已知，函数，若，则（       ） A．0 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以，故选：B 9.设函数若，则实数（       ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】B 【解析】当时，，解得；当时，，解得， 因为，所以，综上，或，故选： 10.已知函数，关于函数的结论正确的是（       ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则x的值是1或 【答案】B 【解析】因为，函数图象如下所示：由图可知，故A错误；的值域为，故B正确；由解得，故C错误；，即，解得，故D错误；故选：B 11.已知函数，若，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】，当时，由可得，解得（舍），当a≤0时，由可得5（a−2）＋6＝5a＋6，此时a不存在，当0＜a≤2时，由可得，解得a＝2，则．故选：C． 12.函数则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 13.（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；对B：当时，；当时，；则的值域为，故B正确；对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意；当时，，解得或（舍去）；综上所述：若，则的值是2，故D正确；故选：BCD． 题型02：分段函数的值域或最值 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 故选：D 2.已知函数，则的最大值是（    ） A．60 B．58 C．56 D．52 【答案】C 【解析】当时，， 此时， 当时，在上单调递减， 此时， 综上所述，.故选：C. 3.已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：， 其图象，如图所示： 由图象知：函数y的值域为，故选：A 4.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 5.若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故，故选：D. 6.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 7.【多选】已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】分别求得和时的最小值，结合题意，即可得答案. 【详解】当,， 当且仅当时,等号成立， 当时,为二次函数，要想在处取最小， 则对称轴要满足,且, 即，解得, 故选：BCD. 8.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”：．已知函数，则在R上的最小值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．不存在 【答案】A 【详解】根据新运算的定义，，当时，，当时，，故选:A 9.对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 解：因为，函数图象如下所示：由函数图象可知，当时，函数取得最大值故选：C 10.若函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数，当时，递增，可得，； 当时，，当时，取得最大值4，时，， 即有，．可得的值域为，．故选：． 11 定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据定义写出的解析式，再由周期性转化为研究一个周期上的值域，先分段求出每段上函数的值域，再求并集即可. 【详解】由题：， 因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数， 取研究： 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故选：B. 12.（多选）已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】BC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，， 在和上单调递减，故A错误； 对于B，若，， 当时，，在区间上单调递减， ，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，， 当时，，在区间上单调递减，； 当时，，在区间上单调递增，， 则的值域为，故C正确； 对于D，若， 当时，； 当，即时，； 当，即时，， 即当时，， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：BC 13.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 14.对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解. 【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 题型03：分段函数已知值域最值求参 1.已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 2.已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】分别求得和时的最小值，结合题意，即可得答案. 【详解】当,， 当且仅当时,等号成立， 当时,为二次函数，要想在处取最小， 则对称轴要满足,且, 即，解得, 故选：BCD. 3.已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【分析】 由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解. 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 4.若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，可得； 若，，函数的值域不可能为； ②当时，， 所以函数在 ，上单调递增， 若函数的值域为，只需，可得． 由上知，实数a的取值范围为． 6.设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】①当时，， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ②由，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：；. 故答案为： 7.函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】D 【解析】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或.故选：D. 8.设，若，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【解析】函数， 由，得或或，解得，所以.故选：A 9.函数，若，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】由题意，解得，即实数的值为1. 故答案为：1. 10.已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】分和，求解，即可得出答案. 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 11.已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 12.设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 13.已知函数，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则有，∴； 若，则， ∴，此时若，则有．故选：D． 14.已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 15.已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即可得解. 【详解】函数，， 所以. 故选：B 16.（多选题）已知函数的值域为，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【详解】由题，当时，，故得时，函数的值域为，当时，，函数的值域为，已知函数在上的值域为，故.故选：BCD 17.已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，当时，，函数的值域与函数的值域相同，即为，需满足，解得.所以实数a的取值范围是.故选：B 18.设函数．若，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 0 【详解】，，当时，，当时，，则的最小值为0；是函数的最小值，当时，，则，且最小值为， 当时，，于是.故答案为：0，. 19.已知函数，若值域为，则实数c的范围是______. 【答案】 【详解】当x＝2时，，，∵值域为，∴当时，由，得，此时，由，得，解得x＝2或x＝－1， 作出图像： 有图像可得：要满足题意则：综上，，即实数c的取值范围是.故答案为： 20.已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.i.若，则二次函数的最小值为.要使的值域为R，只需：，解得：.所以； ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.要使的值域为R，只需：，解得：.所以；综上所述：实数t的取值范围是.故答案为： 21.已知的值域为R，那么a的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】当时，，则函数在区间上的值域为.又函数的值域为R，则函数在上单调递增，当时，，所以，函数在区间上的值域为，由题意可得，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：. 22.已知函数若f(x)值域为，则实数c的范围是______． 【答案】. 【详解】当时，上，不合题意；当时，上，不合题意；∴.令，可得，而此时，故，此时；令，可得，而此时，要使在内，则；综上，.故答案为：. 23.设集合，，函数，若，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】依题意，画出图象如下图所示，令，令， 令.由，即，所以，所以. 故答案为： 题型04：解分段函数不等式 1.函数，若关于的不等式的解集 . 【答案】 【解析】由题意得原不等式等价于或，解得或， 即关于的不等式的解集为： 故答案为： 2.已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 3.已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 4.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 根据函数图象，及可知： ，得或，故选：D 5.已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 6.已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 7.设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解. 【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减； 而当时，（为常数）， 故分以下两种情况：或， 解得或， 综上可得. （数形结合法）作出的图像，如图： 结合图像可知或， 解得或， 综上可得. 8.已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】函数当，函数单调递增，则化为 解得，故答案为：． 9.已知函数，则不等式的解集是_____ 【答案】 【详解】由已知，得，当时，解，即，所以；当时，恒成立.综上所述，或，即.故答案为：. 10.已知，则不等式的解集是____________． 【答案】 【详解】∵，∴，（1）当时，原不等式等价于，解得， ∴此时；（2）当时，原不等式等价于，解得，∴此时； 综上所述，原不等式的解集为.故答案为：. 11.已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则，当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：，解得，则， 所以的取值范围是.故选：C 12.已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当时，，故由得，解得，故；当时，，故由得，整理得，解得，故；当时，，故由得，解得，故；综上：，即的解集为.故选：B. 13.已知函数,则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由可得，，，解得.当时，由可得，， 即恒成立，所以.综上可得，使得的的取值范围为.故选：D. 14.已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；当时，，不等式可化为，解得，又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是.故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.在中，令，得，所以点的横坐标为.在中，令，得（舍去）或，所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.故选：A. 15.设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上，满足的的取值范围是. 故选：D. 16.已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，,则可化为解得，又，所以；当时，，则可化为，解得，又，所以.综上的解集为.故选：B 题型05：分段函数的图像 1.已知函数． (1)在给定的坐标系中，作出函数的图象； (2)若，求m的值. 【答案】(1)图见解析；(2)的值为或或 【解析】（1）函数的图象，如图所示， （2）当时，， 当时，， 当时，； 综上所述：的值为或或. 2.已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 【答案】(1)；(2)或；(3)图象见解析 【解析】（1）因为， 所以，则. （2）当时，由得，解得； 当时，由得，解得或（舍去）； 所以或. （3）当，即或时，， 当，即时，， 所以的图象如图， 题型06：分段函数的单调性 1.函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 因为，， 所以的增区间是．故选：D 2.已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故为上的减函数， 故，故，故选：B. 3.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数， 则，解得.故选：B 4.已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 5.若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解. 【详解】由题知， 当时，递增， 当时，递增， 又在定义域上不是单调函数， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 6.函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【答案】C 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间. 【详解】， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和， 故选：C 7.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【答案】D 【解析】根据题意，将写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数； 当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数； 综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数， 故选：D. 8.函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 题型07：分段函数的单调性求参 1.已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 2.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数在上单调递减，则需时函数单调递减，时函数单调递减，且，然后求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：A. 3.已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 4.若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解. 【详解】由题知， 当时，递增， 当时，递增， 又在定义域上不是单调函数， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 题型08：分段函数的奇偶性 1.设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数为奇函数，可得， 又由，即，可得.故选：A. 2.若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故，故选：B 3.已知定义在上的偶函数满足：当时，，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为在上的偶函数,所以， .故选：A. 4.已知为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】由为偶函数， 则当时，， 则，得. 经验证，，为偶函数. 故答案为： 5.若是奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义求解； 【详解】令根据题意得：， 解得：，； 故选：A. 6.【多选】狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 7.函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 8.若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分析可知为奇函数且在上单调递增，分析可知等价于，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型09：分段函数的奇偶性求参 1.已知函数，若为奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可求出的值 【详解】由题意可得当时，， 因为为上的奇函数， 所以， 所以， ， 所以（舍去），或， 因为，所以. 故选：A. 2.若是奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义求解； 【详解】令根据题意得：， 解得：，； 故选：A. 题型10：分段函数与零点 1.已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可. 【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示. 故选：C． 2.已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 3.已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据已知得出或，再根据分段函数已知函数值求自变量的方法分类求出，即可得出答案. 【详解】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 4.已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：    方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 5.已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】当即时， ， 当即时，， 所以 当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点； 当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点， 综上所述函数的零点个数为4， 故选：C. 7.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 8.已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，, 则, 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点， 所以与的图象有两个交点， 由图可知或. 所以的取值范围为. 故选:C. 9.若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 10.已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 11.函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 【答案】AB 【分析】由已知可得为奇函数，作出图象，当时，为奇函数，可判断A；由已知可得，依据与的图象交点个数可判断B；由与至多有2个交点，可判断C；当时，可得与只有一交点，可判断D. 【详解】由，可得为奇函数，图象如图所示： 对于A：当时，为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若，则，由，可得， 由图象，若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2， 所以方程有大于2的实根，故B正确； 对于C: 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象， 由，可得， 由图象，若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误； 对于D：当时，由，可得， 由图象可得与只有一交点，故方程只有一个实根，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题的转化方法． 12.已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据已知得出或，再根据分段函数已知函数值求自变量的方法分类求出，即可得出答案. 【详解】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 题型11：分段函数零点求参 1.已知函数，若对任意的实数，，均满足关于的方程至多有一根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知题意分三种情况：，，，把方程的根的个数问题转化为函数图象的交点个数问题，结合函数的单调性，求解即可. 【详解】①若，对于，方程有无数个解，不符合题意； ②若，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，对于任意，方程恒有两不同的解，不符合题意； ③若，函数在区间，上为增函数， 当时，趋近于， 当时，，若满足题设条件，则只需满足即可， 当时，恒成立，当时，即可， 令，则， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即； 综上所述：的取值范围为. 故选：. 2.已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，得到函数的单调性，求得函数的最值，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在，上为增函数， 当时，，当时，， 若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需， 解得或，所以t的取值范围为. 故选：B． 3.已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可得到实数的取值范围. 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，且当时，，当时，， 结合绝对值函数的图象可画出函数的大致图象，如图所示：    令，则方程， 即方程，， ①当时，式无实数根，直线和的图象无交点，原方程无实数根； ②当时，式有两个相等的实数根，直线和的图象最多有4个交点， 因此要使有8个不相等的实数根， 则式有两个不相等的实数根，不妨设为，且，则. 则，解得. 故选：C. 4.已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：    方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 5.已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 6.已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确． 【详解】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 7.若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意； ②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意； ③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点． 则在上有两个零点，此时必须满足，解得． 综上，得或． 故选：A 8.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是 C．若有3个不同的零点，则的取值范围是 D．存在实数，使得有最小值 【答案】ABC 【解析】对于A，若在上单调递增，则解得，故A正确； 对于B，若在上有3个不同的零点，则在内有2个零点， 解得在内有1个零点， 则，故的取值范围是，故B正确； 对于C，由对B的分析知，的取值范围为为方程的两根， ，是的根， 在上单调递减，，的取值范围为，故C正确； 对于D，当时，的图象是开口向下的抛物线，所以在上没有最小值， 当时，单调递增，的最小值为， 而不可能是在上的最小值， 故不可能有最小值，故D错误. 故选：ABC 9.已知函数，（，e为自然对数的底数），则（   ） A．函数至少有1个零点 B．函数至多有1个零点 C．当时，若，则 D．当时，方程恰有4个不同实数根 【答案】ACD 【解析】作出函数和函数的图象，如图所示， 时，函数只有1个零点， 时，函数有2个零点， 当时，函数只有1个零点，A正确，B错误； 当时，因每一段单调递增，且， 所以函数为增函数，C正确； 时，则,, 当有2个解，当时有2个解，因此有4个解，D正确， 故选：ACD． 10.已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】当时， 时，，， 故函数在区间上单调递增， 因，当时，，故函数在区间上有1个零点 时，开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，且， 故函数在上无零点，在有一个零点， 故时，函数有2个不同的零点，符合题意； 当时， 时，，， 当时，，当时，， 故时，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上无零点， 故函数无零点，不符合题意； 当时，， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，得， 故函数有1个零点，不符合题意； 当时， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上有2零点， 故函数有2个零点，符合题意； 综上可知，的取值范围为， 故选：BC 11.若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，恒成立，要使没有零点， 所以，时，恒成立，即恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 12.设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”， 即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个. 当时，只要，就有， 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，有， 所以在上没有零点. 而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点. 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，解可得到，且由知， 从而确为在上的一个零点. 再解方程，即， 可得两个不同的实数根. 而，. 故确为在上的一个零点， 而当且仅当时，另一根是在上的一个零点. 条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或. 解得； 当时，验证知恰有两个零点和，满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为： 13.已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的解析式，可知在上单调递增， 且值域为，在上单调递增，且值域为， 函数的图像如图所示， 所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应， 在值域上，任意函数值都有一个值与之对应. 要使恰有三个不同的零点， 则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上， 由的图像开口向上且对称轴为，易知， 此时，且， 结合的图像及，得， 则， 所以，且， 令，，则. 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，故的最大值为. 14.已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，，则， ∵在上单调递减，∴在上单调递减， ∵，满足，∴在上单调递增， ∵，，，，， 由得，， 令，则，令则， 图象如图所示，结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间，故， 又∵，∴ 故选：D. 15.设函数，函数．则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，函数只有1个零点 C．当时，函数有5个零点 D．存在实数，使得函数没有零点 【答案】ABC 【解析】函数的零点个数即方程异根的个数， 当时，，则，， 由，有，所以或， 当时，，则，， 由，有，所以， 所以问题转为，的交点个数， 作出函数图象可知： 当，即时，有3个交点，即函数有4个零点， 当，即时，有4个交点，函数有5个零点， 当时，只有，函数只有1个零点， 当或即或时，有2个交点，函数有3个零点， 无论实数取何值，使得函数总有零点． 故选：ABC． 16.已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，显然函数在上单调递增， 而，则当时，，当时，， 于是函数，则， 令函数，由，得， 因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，， 当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以函数有两个零点，实数的取值范围是. 故选：A 题型12：“等高线” （一）：已知零点个数求参数范围 1.已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，由，可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，实数的取值范围是， 2.已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， （二）：求整式结构范围 1.已知函数函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增， 当时取得最小值1，当趋近于0时趋近于， 当趋近于时趋近于.如图所示： 因为函数有四个不同的零点，所以函数，有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以，所以， 由得,所以， 所以，所以. 故选：A. 2.已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 3.已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，， 所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 4.已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． （三）：求分式结构范围 1.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 2.已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，且， 所以，则， 所以，故的取值范围为． 故答案为：． 3.设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，函数 当时，，可得的图象关于直线对称. 作出的大致图象，如图所示. 由，可知. 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 则 . 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 即， 即的取值范围是. 故选：A. 4.设，若存在实数满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象如图所示， ，，， ，，， ， 又因为，所以. 故选：A． 5.已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数与的图象如下图所示： 由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. （四）：综合类问题 1.已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点， 对A，由图象知A正确， 对B，当时，，B错； 对C，或， 因为，所以，从而，又， 所以，C正确， 对D，由图可知 ，即，D正确， 故选：ACD． 2.已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【解析】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 3.（多选题）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由解析式，可得大致图象如下，结合题设知，A错， 令，可得或， 所以，且，B对， 而，，则，C错， 由且，而在上单调递增， 所以，D对. 故选：BD 4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（    ） A．的范围为 B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数与的图象如下图所示： 当时，， 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 故实数的取值范围是，A错； 对于B选项，因为二次函数图象的对称轴为直线， 由图可知，点、关于直线对称，则，的值不确定，B错； 对于C选项，由图可知，， 由可得，即，即， 所以，，C错； 对于D选项，由C选项可知，， 由可得，则， 因为双勾函数在区间上单调递减， 因为，则，D对. 故选：D. 题型13：max/min型分段函数 1.定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 2.记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【解析】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 3.对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解. 【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 4.给定函数，对，用表示的较大者，记为.例如，当时，. (1)用分段函数表示； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当即时，解得， 当即时，解得或， 所以； （2）由已知可得，或，或， 解得，或，或， 所以不等式的解集为. 5.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 【答案】B 【解析】，得或， 所以， 如图，画出函数的图象， 函数的单调递增区间是，最小值，无最大值， 函数不关于轴对称，.故选：B 6.我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：联立，解得，联立，解得或， 联立，解得或，作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为.故选：C. 7.（多选题）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，当时，若，即，解得或；当时，若，即，解得或，此时.所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是.故选：BC. 8.（多选题）设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【详解】解：如下图实线是函数的图象，方程的根为，该函数的最大值为所以可得函数的图象如图所示实线部分，故当，有，或时，，由图可知在上有最大值2，且的取值范围为.故选：AC. 9.（多选题）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【详解】令①，当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，当时，不等式可整理为，解得，故，所以不等式①的解为； 由上可得，不等式的解为或，所以， 令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或， 所以区间的最小长度为1，最大长度为.故选：AD. 题型14：分段函数新定义 1.新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】根据新定义的运算法则，分类讨论即可. 【详解】， 所以当时，，，不满足，舍去； 当时，，，满足，符合题意； 故选：C 2.设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解. 【详解】对于选项A，，，故，故A不正确； 对于选项B，，，故，故B不正确； 对于选项C， ，，故，故C不正确； 对于选项D，，，故，故D正确. 故选：D. 3.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 4.设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据孪生函数”的定义，作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，以为分界线， 图像在下方的图像不变，在上方的图像则为， 通过作图即可得到的值域为． 故选：A. 5.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 6.新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】根据新定义的运算法则，分类讨论即可. 【详解】， 所以当时，，，不满足，舍去； 当时，，，满足，符合题意； 故选：C 7.设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据孪生函数”的定义，作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，以为分界线， 图像在下方的图像不变，在上方的图像则为， 通过作图即可得到的值域为． 故选：A. 巩固基础 一、单选题 1．设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 2．设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数概念和对数函数单调性相关知识直接计算求解即可. 【详解】因为函数是R上严格增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 3．已知函数，，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时的解析式的图象即可得到选项. 【详解】令，则， 所以， ， 则在轴右侧为部分抛物线， 对称轴为，时，或， 且处为空心，， 排除ACD. 故选：B 4．已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B. 5．如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】记，则有，再结合奇偶性可得. 【详解】记， 因为为奇函数，所以， 又，， 所以. 故选：D 6．已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件判断函数单调性，利用单调性列出限制条件可得答案. 【详解】因为，所以函数为增函数， 所以，解得. 故选：D. 7．已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围. 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 8．下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项转化为分段函数形式，再根据分段函数的性质等比判断单调性. 【详解】A选项：，所以函数在上单调递增，A选项错误； B选项：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； C选项：，所以函数在和上单调递增，C选项错误； D选项：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，D选项正确； 故选：D. 9．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数化简，然后由解析式可求出函数的增区间. 【详解】因为， 所以的增区间为， 故选：D. 10．设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论最小值即可. 【详解】由于函数的最小值为， 当时，， 当时，，解得， 故选: A． 能力提升 一、单选题 1.函数，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以.故选B 2．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，所以可能有以下两种情形： 情形一：若，则，所以，解得(不符题意，舍去). 情形二：若，则，所以,解得. 综上有.故.故选A. 3．已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减，所以，解得.故选D. 4．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过 可得解得.故选A 5．设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则不成立； 当时，， 由，得，得，与矛盾，舍去， 当时，， 由，得，则，得． 综上，满足的的取值范围是．故选B． 6．已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】     当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，做出的图像，如图所示，， 即与共5个不等实根，由图可知时，或，即有两个根，若使与共5个不等实根，只需满足.故选D. 7．已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以时，.画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点， 由图可知或.所以的取值范围为.故选C. 8．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根， 且，由题：，， 设则 ，令， 故在递增，在递减，.故选A. 9．已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得二次函数对称轴为，由于整个函数单调递减，则有 ，解之得.故选A 10．函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A． B．32 C．16 D．8 【答案】D 【解析】∵函数是定义在上的奇函数，∴. 又∵函数， ∴ ∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数在上所有的零点的和为0， ∴函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时，，故有， ∴函数在上的值域为，当且仅当时，. 又∵当时，，如图：    ∴函数在上的值域为；函数在上的值域为； 函数在上的值域为，当且仅当时，， 即方程在上的有一个实数解，即有一个零点； 综上，函数在上的所有零点之和为8.故选D. 11.已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】当时，， 当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，矛盾，所以实数的值为.故选A 12.已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，可知其对称轴为，令，解得或； 令，解得或；作出函数的图象，如图所示，      若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 对于，则，可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，可得， 所以的取值范围是.故选B. 二、多选题 13．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【解析】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；由于，故B正确；当时，所以在上单调递增，故C正确；当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．故选BC． 14．已知函数，则（    ） A．的最小值为 B．在区间上单调递增 C．若在区间上单调递增，则的最大值为 D．有三个零点 【答案】BD 【解析】当时，单调递增，则， 当时，，则在上单调递减，在上单调递增，，故的最小值为，的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 若在上单调递增，根据分段函数不难判断出，故的最大值为，故C错误； 根据题意，函数在上有一个零点，函数在上有两个零点和，故D正确，故选BD. 15.定义运算，则对函数的描述中，正确的选项是（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，， 函数的部分图象如图：    对于A，当时，， ，当时， ，， 因此，，即是的周期，由图象知，是的最小正周期，A正确； 对于B，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此在上的最小值为， 由于的周期为，所以在R上的最小值为，B错误； 对于C，由选项B知，在上不单调，C错误； 对于D，当时，， ，当时， ，， 所以对，，即关于直线对称，D正确. 故选：AD 16．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解；      当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确.故选ACD 17．已知函数则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值域为 C．当时，方程恰有6个实根 D．若恒成立，则． 【答案】ABD 【解析】依题意，根据分段函数可得图象如图所示： 因为，故A正确； 由题知函数在上的值域为，在上函数值域为， 故当时，函数值域为，故B正确； 当时有5个实数根，当时有7个实数根，故C错误； 当时，函数的图象与的图象交于点， 结合图象，即，故D正确．故选ABD. 18.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是周期函数 B．的值域是 C．在上是增函数 D．若方程有3个不同实根，则 【答案】AB 【解析】由题意，列出部分定义域函数， 所以部分定义域的， 如图： 可得函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，    故选项A、B正确，C错误； 对于选项D，若方程有3个不同实根， 则的图象与直线有3个交点， 又直线恒过点，结合图象知，或， 故选项D错误.故选AB 三、填空题 19．定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由定义表示中的最小者，分类讨论解不等式即可. 【详解】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 20．已知，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则，故， 由可得， 当，则，故， 由可得， 当时，则不符合要求， 综上可知：的取值范围为 21．已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 显然函数在上的图象关于直线对称，如图， 方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为， 显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即， 所以的取值范围是. 22．已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，则方程存在三个不相等的实根，当时，解得，所以当时，有两个不等的实根，即，设，， 则，，令，解得，令，解得，令，解得，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，则，所以. 23．已知函数，则下列命题中正确的有 ． ①函数有两个极值点； ②若关于x的方程恰有1个解，则； ③函数的图像与直线有且仅有一个交点； ④若，且，则无最值． 【答案】①③ 【解析】由函数可得， 函数的图像如下图所示：    对于①，由图可知，和是函数的两个极值点，故①正确； 对于②，若函数恰有1个零点，即函数与的图像仅有一个交点，可得或，故②不正确； 对于③，因为函数，在点处切线斜率，在点处的切线为， 函数，在处的切线斜率为，在处切线为，如图中虚线所示， 易知当，即时，的图像与直线恰有一个交点； 当，即时，令，得， 令，则，， 由二次函数的图像及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根； 当，即时，令，设， 则（仅当时取等号）， 即函数在上单调递增，由于， 设单调递增， 单调递减，， ， 所以函数有且仅有一个实数根；故③正确； 对于④，由， 则，，，则， 设，则， 设，显然在上单调递增， 且，，所以存在，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以存在最小值，故④不正确；故选①③． 24．已知函数若方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，当时，方程可化为；当时，方程可化为， 令，当时，，可知，故在上单调递减；当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减，又，所以可画出的图象， 如图所示，方程有4个不等实根，等价于的图象与直线有4个交点， 由图可知，.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$第14讲 分段函数 一、分段函数 1、分段函数的定义 函数与函数是同一函数,但在表达方式上有所区别,前者在定义域内有一个表达式,而后者的定义域被分成两部分,而在不同的部分有不同的解析式. 在函数的定义域内,对于自变量在不同取值范围内,函数有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数. 2、对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数。处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系; (2)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集; (3)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. 二、有关分段函数的求解问题 1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或线段,而分段函数的值域,也就是各部分的函数值集合的并集,最好的求解方法是“图象法”。重要的是分段函数虽由几部分构成,但它表示的仍是一个函数. 2、作分段函数的图象时,应按分段区间分别作出其图象,在作每一段图像时,先不考虑定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留定义域内的一段图象即可,即“分段作图”. 3、在求分段函数值时,分清所在的取值范围是关键,然后选择相应的解析式代入即可.反之由的值求,可通过图像得出所在的范围,再选择相应的解析式列方程求解. 4、由于分段函数在自变量的不同取值范围内有不同的对应关系,因此我们在解决有关分段函数的问题时,要讨论自变量的取值,确定自变量的取值属于哪一个区间范围,从而选择相应的对应关系. 5、分段函数解析式的求法:在定义域的不同段内,分别求其解析式,做到不重不漏,然后写成统一的分段解析式形式,注意要标明每段中自变量的取值范围. 6、由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法:已知函数的值域(常见题型如下)确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为,由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 【方法技巧总结】 在处理分段函数零点求参数范围的问题时,需遵循以下步骤: (1)明确分段函数:首先,清晰界定分段函数的各段表达式及其定义域。 (2)分别求解零点:针对每一段函数,独立求解其零点。这可能涉及解方程、利用函数性质或图形分析等方法。 (3)考虑定义域限制:在求解过程中,务必注意每段函数的定义域,确保零点落在有效范围内。 (4)根据题目要求确定参数范围:结合题目条件,如零点个数、位置等,确定参数的取值范围。这可能需要利用不等式、函数单调性或极值等知识。 题型01:分段函数求函数值 1.已知函数,则等于( ) A.0 B. C.1 D.2 2.函数,则的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 3.已知函数,则 . 4.设函数,则 . 5.已知函数,则的值为( ) A. B. C. D. 6.已知函数,则 . 7.设函数,则( ) A.6 B.7 C.9 D.10 8.已知,函数,若,则( ) A.0 B.2 C.5 D.6 9.设函数若,则实数( ) A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2 10.已知函数,关于函数的结论正确的是( ) A. B.的值域为 C.的解集为 D.若,则x的值是1或 11.已知函数,若,则( ) A.6 B.4 C.2 D.1 12.函数则( ) A. B. C. D. 13.(多选题)已知函数,关于函数的结论正确的是( ) A.的定义域为 B.的值域为 C. D.若,则的值是2 题型02:分段函数的值域或最值 1.函数的值域为( ) A. B. C. D. 2.已知函数,则的最大值是( ) A.60 B.58 C.56 D.52 3.已知,,则函数的值域为( ) A. B. C. D. 4.函数的值域为 . 5.若函数存在最大值,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.若函数在区间上有最大值,则实数a的取值范围是 . 7.【多选】已知函数,若的最小值为,则实数a的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“”:.已知函数,则在R上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.不存在 9.对于任意的实数x,已知函数,则的最大值是( ) A. B. C.1 D.2 10.若函数,则的值域为( ) A. B. C. D. 11 定义运算则函数的值域为( ) A. B. C. D. 12.(多选)已知函数 ,则以下说法正确的是( ) A.若,则是R上的减函数 B.若,则有最小值 C.若,则的值域为 D.若,则存在,使得 13.函数的值域为 . 14.对,,记,则函数的最小值为 . 题型03:分段函数已知值域最值求参 1.已知,函数,若该函数存在最小值,则实数的取值范围是 . 2.已知函数,若的最小值为,则实数a的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知函数的最小值为-1,则 . 4.若函数有最小值,则的取值范围是 . 5.已知函数的值域为,则实数a的取值范围为 . 6.设函数 ①若,则的最小值为 . ②若有最小值,则实数的取值范围是 . 7.函数若,则实数的取值是( ) A.3 B. C.3或 D.5或 8.设,若,则( ) A. B. C.或 D.不存在 9.函数,若,则实数的值为 . 10.已知若,则实数的值为( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2 11.已知函数且,则( ) A. B. C. D. 12.设,若,则( ) A.12 B.16. C.2 D.6 13.已知函数,若,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.已知函数且,则( ) A. B. C. D. 15.已知函数满足,则实数m的值为( ) A. B. C.1 D.2 16.(多选题)已知函数的值域为,则a的值可以是( ) A. B.2 C.3 D.4 17.已知函数的值域与函数的值域相同,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 18.设函数.若,则的最小值为_;若是函数的最小值,则实数a的取值范围是_. 19.已知函数,若值域为,则实数c的范围是_. 20.已知函数,若函数的值域为R,则实数a的取值范围是_. 21.已知的值域为R,那么a的取值范围是_. 22.已知函数若f(x)值域为,则实数c的范围是_. 23.设集合,,函数,若,则的取值范围是_. 题型04:解分段函数不等式 1.函数,若关于的不等式的解集 . 2.已知函数,若,则的取值范围是 . 3.已知,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 4.已知函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 5.已知,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 6.已知,满足,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.设函数则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数,则不等式的解集为_. 9.已知函数,则不等式的解集是_ 10.已知,则不等式的解集是_. 11.已知,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.已知,则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 13.已知函数,则使得的的取值范围为( ) A. B. C. D. 14.已知,则使成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 15.设函数,则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 16.已知函数,则的解集为( ) A. B. C. D. 题型05:分段函数的图像 1.已知函数. (1)在给定的坐标系中,作出函数的图象; (2)若,求m的值. 2.已知函数. (1)求; (2)若,求; (3)画出函数的图象 题型06:分段函数的单调性 1.函数的单增区间为( ) A. B. C. D. 2.已知,在满足,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数是上的增函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数,若,,都有成立,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.若函数在定义域上不是单调函数,则实数的一个取值可以为 . 6.函数的单调递增区间是( ) A. B.∪ C.和 D. 7.已知函数,则下列结论正确的是( ) A.增区间是 B.减区间是 C.增区间是 D.增区间是 8.函数的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 题型07:分段函数的单调性求参 1.已知,函数是上的减函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数在上单调递减,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知函数,若,,都有成立,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.若函数在定义域上不是单调函数,则实数的一个取值可以为 . 题型08:分段函数的奇偶性 1.设函数,若是奇函数,则( ) A. B. C. D. 2.若函数是奇函数,则( ) A.1 B. C. D. 3.已知定义在上的偶函数满足:当时,,则的值为( ) A.1 B.3 C. D. 4.已知为偶函数,则实数 . 5.若是奇函数,则( ) A., B., C., D., 6.【多选】狄利克雷是德国著名数学家,函数被称为狄利克雷函数,下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是( ) A.为偶函数 B.为偶函数 C.,使得 D. 7.函数是( ) A.偶函数,且没有极值点 B.偶函数,且有一个极值点 C.奇函数,且没有极值点 D.奇函数,且有一个极值点 8.若函数,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型09:分段函数的奇偶性求参 1.已知函数,若为奇函数,且,则( ) A. B. C. D. 2.若是奇函数,则( ) A., B., C., D., 题型10:分段函数与零点 1.已知函数则函数的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数,则关于方程的根个数不可能是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.已知函数,则方程的实根个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知函数,若关于的方程有3个不相等的实数根,则的取值范围是 . 5.已知函数是定义在上偶函数,当时,,若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数,则函数的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知函数,则函数的零点个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.8 8.已知若函数有两个零点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.若函数,则方程的实数根个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知函数,则关于方程的根个数不可能是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.函数,下列关于函数的叙述正确的是( ) A.,使得的图象关于原点对称 B.若,则方程有大于2的实根 C.若,则方程至少有两个实根 D.若,则方程有三个实根 12.已知函数,则方程的实根个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 题型11:分段函数零点求参 1.已知函数,若对任意的实数,,均满足关于的方程至多有一根,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数,若存在m使得关于x的方程有两不同的根,则t的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知函数,若关于的方程有8个不相等的实数根,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知函数,若关于的方程有3个不相等的实数根,则的取值范围是 . 5.已知函数,若实数满足,则 ;的取值范围是 . 6.已知函数,,则( ) A.若有2个不同的零点,则 B.当时,有5个不同的零点 C.若有4个不同的零点,则的取值范围是 D.若有4个不同的零点,则的取值范围是 7.若函数恰有2个零点,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.若在上单调递增,则实数的取值范围是 B.若有3个不同的零点,则实数的取值范围是 C.若有3个不同的零点,则的取值范围是 D.存在实数,使得有最小值 9.已知函数,(,e为自然对数的底数),则( ) A.函数至少有1个零点 B.函数至多有1个零点 C.当时,若,则 D.当时,方程恰有4个不同实数根 10.已知函数,其中,若函数有2个不同的零点,则a取值范围可以是( ) A. B. C. D. 11.若函数没有零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.设,函数. 若在区间内恰有2个零点,则的取值范围是 . 13.已知函数,,记函数,若函数恰有三个不同的零点,且,则的最大值为( ) A. B. C. D. 14.已知函数的定义域为,对于,满足,且当时,.若函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 15.设函数,函数.则下列说法正确的是( ) A.当时,函数有3个零点 B.当时,函数只有1个零点 C.当时,函数有5个零点 D.存在实数,使得函数没有零点 16.已知,定义:,设.若函数有两个零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型12:“等高线” (一):已知零点个数求参数范围 1.已知,若、、是方程的三个相异实根,则实数的取值范围为 . 2.已知函数,方程 有四个不同根、、、,且满足,则的取值范围是 . (二):求整式结构范围 1.已知函数函数有四个不同的零点,从小到大依次为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数 的表达式为,若方程 有四个不相等的实根 ,且,则取值范围是 . 3.已知函数,若有四个不同的解且,则的取值范围是 . 4.已知函数,若恰有3个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. (三):求分式结构范围 1.已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解、、、,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数,若存在且,使得,则的取值范围为 . 3.设,若函数有4个不同的零点,,,,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.设,若存在实数满足,且,则的范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数,若存在实数,使得方程有个不同的实数根、、、,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. (四):综合类问题 1.已知函数(其中为自然对数的底数),若实数,,存在并能满足,且,则下列说法正确的有( ) A.在和上单调递减 B.的值域为 C.的取值范围是 D. 2.已知函数,且关于的方程恰有四个不同的根,从小到大依次为,则( ) A. B.最小值为9 C.恰有6个不同的根 D.,使得恰有8个不同的根 3.(多选题)设函数,若函数有四个零点分别为,,,,且,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 4.已知函数,函数有四个不同的零点、、、,且,则下列四个选项中正确的选项为( ) A.的范围为 B. C. D. 题型13:max/min型分段函数 1.定义表示中的最小者,设函数,若,则x的取值范围是 . 2.记表示x,y,z中的最大者,设函数,则 ;若,则实数的取值范围 . 3.对,,记,则函数的最小值为 . 4.给定函数,对,用表示的较大者,记为.例如,当时,. (1)用分段函数表示; (2)求不等式的解集. 5.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.的单调递增区间是 B.的最小值是0, 没有最大值 C.的图象关于轴对称 D.=1 6.我们用符号表示三个数中较大的数,若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.(多选题)定义,若函数,且在区间上的值域为,则区间长度可能为( ) A. B. C. D. 8.(多选题)设表示,两者中较小的一个,表示,两者中较大的一个.若函数在上有最大值,则( ) A.在上的最大值为2 B.在上的最大值为 C.的取值范围为 D.的取值范围为 9.(多选题)定义,若函数,且在区间上的值域为,则区间长度可以是( ) A. B. C. D.1 题型14:分段函数新定义 1.新定义一种运算“”,其运算法则为:;例如:.已知,则a的值为( ) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 2.设,定义符号函数,则( ) A. B. C. D. 3.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者,用其名字命名的高斯函数为,其中表示不超过x的最大整数,例如,.定义符号函数,则( ) A. B. C.1 D.2 4.设函数定义域为R,对给定正数M,定义函数则称函数为的“孪生函数”,若给定函数,则的值域为( ) A. B. C. D. 5.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者,用其名字命名的高斯函数为,其中表示不超过x的最大整数,例如,.定义符号函数,则( ) A. B. C.1 D.2 6.新定义一种运算“”,其运算法则为:;例如:.已知,则a的值为( ) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 7.设函数定义域为R,对给定正数M,定义函数则称函数为的“孪生函数”,若给定函数,则的值域为( ) A. B. C. D. 巩固基础 一、单选题 1.设,若,则( ) A.12 B.16. C.2 D.6 2.设函数是R上严格增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数,,则的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.已知集合,定义函数则( ) A. B.0 C.1 D.2 5.如果函数是奇函数,则( ) A. B.2 C.3 D. 6.已知函数,若对于任意给定的不等实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数,则满足不等式的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.下列函数中,在上为减函数的是( ) A. B. C. D. 9.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 10.设函数的最小值为,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 能力提升 一、单选题 1.函数,则( ) A.4 B.2 C.8 D.6 2.已知函数,若,则( ) A. B. C. D. 3.已知,且,函数在上单调,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数有最大值,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.设函数则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数,若关于的方程有5个不同的实根,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知若函数有两个零点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数,若关于x的方程有四个不同的根(),则的最大值是( ) A. B. C. D. 9.已知函数是定义域上的单调减函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.函数是定义在上的奇函数,当时,,则函数在上的所有零点之和为( ) A. B.32 C.16 D.8 11.已知函数的最大值为1,则实数的值为( ) A. B. C. D.或 12.已知函数,若方程有四个不同的实根,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题 13.已知函数,则下列结论中正确的是( ) A.函数有且仅有一个零点0 B. C.在上单调递增 D.在上单调递减 14.已知函数,则( ) A.的最小值为 B.在区间上单调递增 C.若在区间上单调递增,则的最大值为 D.有三个零点 15.定义运算,则对函数的描述中,正确的选项是( ) A.的最小正周期为 B.的最小值为 C.在上单调递增 D.关于直线对称 16.已知函数,则下列结论正确的是( ) A. B.为增函数 C.的值域为 D.方程最多有两个解 17.已知函数则下列说法正确的是( ) A. B.当时,函数值域为 C.当时,方程恰有6个实根 D.若恒成立,则. 18.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设,用表示不超过的最大整数,也被称为“高斯函数”,例如:,.已知函数,下列说法中正确的是( ) A.是周期函数 B.的值域是 C.在上是增函数 D.若方程有3个不同实根,则 三、填空题 19.定义表示中的最小者,设函数,若,则x的取值范围是 . 20.已知,满足,则的取值范围是 . 21.已知函数,若有四个解,则的取值范围是 . 22.已知,函数,若存在三个互不相等的实数,使得成立,则a的取值范围是 . 23.已知函数,则下列命题中正确的有 . ①函数有两个极值点; ②若关于x的方程恰有1个解,则; ③函数的图像与直线有且仅有一个交点; ④若,且,则无最值. 24.已知函数若方程恰有4个不等实根,则实数的取值范围是 . 2 学科网(北京)股份有限公司 $$