第13讲 反函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第13讲 反函数 知识点一.反函数的定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 已知，求，可利用，从中求出，即是. 知识点二. 有关反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数； （3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为，则有, ； （7）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （8）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称。 【重要结论】 （1）定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 （4）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 知识点三.求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 有关反函数的几个命题之注解 命题1、有关与f的值与相互关系 若函数为值域））与函数为值域））互为反函数，则由原函数与反函数的定义可知：；； 当时，； 当时，； 例如： 则的条件为；的条件为； 的条件为 又如： 则的条件为；的条件为； 的条件为 命题2、函数的图像与其反函数的图像的交点未必都在直线上 例如：函数的图像与其反函数的图像有、[ （其中）、三个交点，而点、都不在直线上； 又如：函数（自反函数）的图像与其反函数的图像是重合的，它们有无穷多公共点不全在直线上； 再如：与有两个公共点与关于对称。 命题3、函数的图像C与其反函数的图像若有公共点，则这些公共点或在直线上，或关于直线对称地成对出现； 命题4、若函数是严格单调增函数，则其图像C与其反函数的图像的公共点必在直线上。 【证明】若点是图像C与图像的公共点，则由命题3可知也是它们的公共点， 于是，且，即且； 不妨设，因为是严格单调增函数，所以，即，此与题设矛盾，因此，只有，即点在直线上； 命题5、偶函数是否存在反函数 偶函数当其定义域不是{0}时，显然不存在反函数； 然而，当定义域是{0}时就存在反函数了，如偶函数为常数，定义域为{0}）， 其反函数是（定义域为{ b }）； 题型01：求函数的反函数 1．求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 2．求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3). 3．下列函数没有反函数的是（　　） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 5．判断函数是否存在反函数，若存在反函数，求出它的反函数；若不存在反函数，说明理由. 6.（1）若，并设是的反函数，求：， （2） 求下列函数的反函数： ①；②，；③ 7.已知f(x)=-1,求。 8.求函数的反函数 9.求函数y=-8x+13(x≤4)的反函数 10.求函数f(x)=的反函数 11.已知函数f(x-1)=-2x+3(x≤0),求 12.已知 题型02：求复合函数的反函数 1.已知函数,，求的反函数。 2.（1）已知函数，则= ；= ； （2）、已知，求：； 题型03：反函数的存在前提 1. 函数f(x)= -2ax-3在区间上存在反函数的重要条件是（） A、 B、 C、 D、 2.判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 3.给出下列函数： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5). 其中不存在反函数的是__________________. 题型04：根据是否存在反函数求参数 1．已知函数存在反函数，则实数 2．函数的值域是且函数存在反函数,这样的共有 个. 3．函数（，）在区间上存在反函数，则实数的取值范围是 题型05：反函数的性质 1．已知，函数的反函数为，且，则 ． 2．已知函数，，判断其是否存在反函数.若存在，求出反函数；若不存在，说明理由. 3．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 4．已知的反函数为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，的反函数是，则的定义域为 ． 6.已知y=x+m和y=nx-互为相反数，求m,n的值。 题型06：反函数有关的图像（变换）问题 1.点（1，2）既在y=图像上，又在其反函数的图像上，求a与b的值。 2．若与都过点，则与的图像交点的个数为 ． 3．函数的反函数图象向右平移1个单位，得到函数图象，函数的图象与函数图象关于成轴对称，那么（） A． B． C． D． 4．将函数的图象沿轴向右平移1个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线对称，则C2对应的函数解析式为 ． 5．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 ． 6．已知函数（且，常数）的图像过点，其反函数的图像过点，若将的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数的图像，则的值为 7.设y=f(x),y=g(x)的图像与y=的图像关于直线y=x对称，求g(3)的值。 8.已知f(x) （1）求f(x)的反函数； （2）若f(x)= ，求a的值。 （3）如何作出满足（2）中条件的的图像 题型07：反函数的应用 （一）求自变量或函数值 1、（1）若，则 （2）已知，又，则 （3）若，则 （二）反函数求值（抽象函数） 1、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。 （三）求函数解析式 3已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。 （四）利用原函数与反函数解析式相同求系数 1.已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。 （五）利用两函数互为反函数求参 1.若函数与函数互为反函数，求的值。 （六）将反函数问题转化为原函数 1.设函数，解关于的不等式。 （七）互为反函数的图像间关系 1．设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． （八）求出反函数解析式解关于反函数的不等式 1.已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。 2．函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等式的解集为 3.若的反函数为，且，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 4、若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 5、若，则与的大小关系为___________。 （九）利用原来函数运算关系证明反函数运算 1、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立； （十）反函数与函数单调性奇偶性周期性 1.设点M（1，2）即在函数f(x)=a+b的图像上，又在它的反函数的图像上。 （1）求 （2）证明在其定义域上是减函数 2、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 【提示】（1）设，得；利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法；假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出； 3、已知函数； （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明的单调性； 4、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 5、已知； （1）求它的反函数； （2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值。 6．已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为 ． 7．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 8．已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数 ()的反函数是 . 9．已知的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则 ． 题型08：指数与对数互反 1．若关于的方程与的根分别为、，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知是方程的根，是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 3．若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是方程的解，是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 7．关于的方程，的根分别为，，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．设分别是方程和的根，则的最小值是（         ） A． B． C． D． 9．若满足满足,则（    ） A． B． C． D． 10．已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A． B． C． D． 11．若是方程的解，是方程的解，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．设方程的解为，方程的解为，则___________． 13．已知函数，，若，则________. 14．若实数、满足，，则____________． 15．设方程的解为，的解为，则_____________. 16．若是方程的根，是方程的根，则__________． 解答题 17．已知函数. （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明的单调性. 18．已知函数，为常数，是定义在上的奇函数. （1）当时，满足的取值范围； （2）当时，，求的反函数. 19．设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 题型09：难点分析 1．已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（    ） A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数 C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数 2．设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图象是连续不断的曲线，且的图象有交点，则图象与直线相交； ②若对任意，，则图象与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 3．函数的定义域为D，若存在反函数，且的反函数就是它本身，则称为自反函数.有下列四个命题： ①函数是自反函数； ②若为自反函数，则对任意的，成立； ③若函数为自反函数，则的最大值为1； ④若是定义在R上的自反函数，则方程有解. 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 巩固训练 一、选择题 1．若函数的反函数为，则方程（    ） A．有且只有一个实数解 B．至少一个实数解 C．至多有一个实数解 D．可能有两个实数解 2．设为非零实数，函数的反函数是（    ） A．且 B． 且 C．（,且） D． （,且） 3.将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，在下列函数的图像中，与图像关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 4．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 5、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）] A. B. C. D. 6、若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 7、若是方程的解，是方程的解，则等于（ ） A． B． C． D． 8、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1、 “函数具有单调性”是“函数存在反函数”的 条件． 2、已知，又，则 3、若，则 4、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，则函数的解析式为 5、求函数的反函数是 6、若函数的图像过点，则的图像经过点 7、函数的反函数的图像经过点，则实数=______. 8、若，则与的大小关系为 9、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，则不等式的解的集合 为 10、若的反函数为，且，则的最小值是 11．点在函数的反函数的图象上,则 ; 12．已知，则 . 13．已知，则 . 14．已知函数，则它的反函数是 . 15．函数（）的反函数为 . 16．函数的反函数是 17．函数的反函数为 . 18．已知，则 . 19．设函数的反函数为．若，则 ． 20．若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 21．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 22．函数在区间上的反函数 ． 三、解答题 1.（1）已知函数的图象关于直线对称，求实数m； （2）设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意 都有,求证：对任意也成立； 2. 设函数是上的奇函数． （1）求的值，并求函数的反函数解析式； （2）若为正实数，解关于的不等式； 3. 已知函数，. （1）当时，求； （2）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数. 4．已知函数是函数的反函数． (1)求函数的表达式，写出定义域D； (2)判断函数的单调性，并加以证明． 5.设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 6．设函数的反函数存在，记为.设，. (1)若，判断是否是、中的元素； (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：； (3)若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围. 7．设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 8．设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 9．已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称． (1)求证：当时，； (2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式； (3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式． 能力提升 一、填空题 1．已知实数为函数的零点，为函数的零点，则 ． 2．已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为 . 3．已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ． 4．已知与分别是函数与的零点，则的值为 ． 5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，，若在上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 6．对于区间上有定义的函数，记. 定义域为的函数有反函数，满足：. 若方程有解，则 . 二、单选题 7．如图中有六个函数的图象，已知的图象与的图象关于对称，依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设．在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（    ） A．3 B． C． D． 9．已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 10．函数的定义域为D，若存在反函数，且的反函数就是它本身，则称为自反函数.有下列四个命题： ①函数是自反函数； ②若为自反函数，则对任意的，成立； ③若函数为自反函数，则的最大值为1； ④若是定义在R上的自反函数，则方程有解. 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 三、解答题 11．已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 12．已知函数，为函数的反函数 (1)讨论在上的单调性，并用定义证明； (2)设，求证：有且仅有一个零点，且. 13．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 反函数 知识点一.反函数的定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 已知，求，可利用，从中求出，即是. 知识点二. 有关反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数； （3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为，则有, ； （7）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （8）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称。 【重要结论】 （1）定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 （4）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 知识点三.求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 有关反函数的几个命题之注解 命题1、有关与f的值与相互关系 若函数为值域））与函数为值域））互为反函数，则由原函数与反函数的定义可知：；； 当时，； 当时，； 例如： 则的条件为；的条件为； 的条件为 又如： 则的条件为；的条件为； 的条件为 命题2、函数的图像与其反函数的图像的交点未必都在直线上 例如：函数的图像与其反函数的图像有、[ （其中）、三个交点，而点、都不在直线上； 又如：函数（自反函数）的图像与其反函数的图像是重合的，它们有无穷多公共点不全在直线上； 再如：与有两个公共点与关于对称。 命题3、函数的图像C与其反函数的图像若有公共点，则这些公共点或在直线上，或关于直线对称地成对出现； 命题4、若函数是严格单调增函数，则其图像C与其反函数的图像的公共点必在直线上。 【证明】若点是图像C与图像的公共点，则由命题3可知也是它们的公共点， 于是，且，即且； 不妨设，因为是严格单调增函数，所以，即，此与题设矛盾，因此，只有，即点在直线上； 命题5、偶函数是否存在反函数 偶函数当其定义域不是{0}时，显然不存在反函数； 然而，当定义域是{0}时就存在反函数了，如偶函数为常数，定义域为{0}）， 其反函数是（定义域为{ b }）； 题型01：求函数的反函数 1．求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （2）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （3）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数. 【解析】（1）的值域为， 所以，所以，所以. （2）, 由可得：，即， ∴． （3）当可得：， 由，可得：， ∴. 2．求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据指对互化即可得到其反函数. 【解析】（1）由，得， 的反函数为; （2）由，得，则， 的反函数为; （3）由，得，即， 的反函数为. 3．下列函数没有反函数的是（　　） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据与之间是否一一对应逐个分析判断即可. 【解析】对于①，当时，，所以没有反函数； 对于②，当时，，所以没有反函数； 对于③，与一一对应，所以有反函数； 对于④，当时，或，所以没有反函数． 故选：B 4．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 【答案】 【分析】先根据已知得出，再代入运算即可得解. 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，、 所以，即， 当时，. 故答案为：. 5．判断函数是否存在反函数，若存在反函数，求出它的反函数；若不存在反函数，说明理由. 【答案】存在，反函数为 【分析】根据题意结合反函数的定义分析求解. 【解析】若，则在内单调递增，且， 此时反函数为； 若，则在内单调递减，且， 此时反函数为； 且，所以反函数为. 6.（1）若，并设是的反函数，求：， 【解析】令，则，；同理 【说明】本题属于已知原函数求反函数值；一般地，当，时，函数与互为反函数。 （2） 求下列函数的反函数： ①；②，；③ 【解析】①；② ③； 【说明】本题属于求已知函数的反函数；求反函数的步骤：（1）求定义域；（2）求值域；（3）反解；（4）互换； 7.已知f(x)=-1,求。 【答案】解题策略：中的“4”应为f(x)的一个函数值，就是对应的自变量值 解：令f(x)=-1=4 得=5又 得x=,∴= 注意：先求，再求也可，但不如利用互为反函数的对应法则之间的关系简单。 8.求函数的反函数 【答案】解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解：= 由(2x-1)y=x+5(2y-1)x=5+y原函数反函数为=注意：要养成标明反函数定义域习惯：仿本例做法如的函数值域为。 9.求函数y=-8x+13(x≤4)的反函数 【答案】解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解：由y=-8x+13y= 由y= 原函数的反函数为 注意：又y=f(x)解出时遇到开平方，要根据x的范围确定取“+”号还是取“-”号。 10.求函数f(x)=的反函数 【答案】解题策略：按分段函数的反函数分段来求。 解：(1)由y=y≥-1, 由的反函数是 y= (2)由y=2x-1(x<0)y<-1, 由y=2x-1x=的反函数为 由(1) (2)知，原函数的反函数为 注意：分段函数的反函数要写成分段函数形式。 11.已知函数f(x-1)=-2x+3(x≤0),求 【答案】先求f(x),再求 解：f(x-1)= 又由y=+2=y-2x=- 原函数的反函数为 注意：外函数定义域为内函数值域。 12.已知 【答案】首先求f(x),在求，最后求 解：∴ 令，∴ ∴ 注意：不是的反函数，函数表示将函数中用g(x)来代替x而得到的解析式，因此求时，应先求出，再将其中的x用g(x)代替。 题型02：求复合函数的反函数 1.已知函数,，求的反函数。 【提示】由于已知是，所求是的反函数，因此应首先由找到，再由求出的表达式，再求反函数； 【答案】； 【解析】令,则，所以，，， 得解析式； 于是有， 不妨设，则的值域是, 又变形得，由于，所以，， 所以，的反函数是； 2.（1）已知函数，则= ；= ； 【解析】由函数，解得其反函数为：， 则，同法解得； 【说明】由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得；。 （2）、已知，求：； 【提示】注意：已知的“等式”不是函数解析式；所以，得先求，最后求； 【答案】； 【解析】由已知，变形得，所以，，得 不妨，令，得，所以，， 则； 【说明】本题属于反函数与复合函数交汇；注意：不是的反函数，函数表示将函数中用来代替而得到的解析式，因此求时，应先求出，再将其中的用代替。 题型03：反函数的存在前提 1. 函数f(x)= -2ax-3在区间上存在反函数的重要条件是（） A、 B、 C、 D、 【答案】解题策略：应在函数f(x)的单调区间内。 解：函数对称轴为x=a。依题意故选C 2.判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 【提示】注意：已知函数具有反函数的前提是：给定区间上的严格单调函数；求反函数注意“四个步骤”； 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，反函数为；. 【解析】（1）因为，令，解得，，所以函数不是一一对应的（或说明在定义域内不是严格单调函数），所以函数不存在反函数； （2）)由已知，当时，， 再由的反函数是： ； 当时，由，再由， 则的反函数为： 综上知，原函数的反函数为； 【说明】依据函数的严格单调性，确定已知函数是否存在反函数；依据“四个步骤”求反函数；遇到分段函数的反函数要写成分段函数形式。 3.给出下列函数： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5). 其中不存在反函数的是__________________. 【答案】(3)、(4)、(5)； 【解析】对于(1) ，(2)由初等单调性得存在反函数都没有问题； 对于(3)当时,和,且； 对于(4)时,和； 对于(5)当时,和；. 故(3)、(4)、(5)均不存在反函数； 题型04：根据是否存在反函数求参数 1．已知函数存在反函数，则实数 【答案】0 【分析】由函数存在反函数，可知函数为单调函数，然后对分三种情况讨论：、、，分析函数的单调性得出实数的取值. 【解析】由于函数存在反函数，则函数为单调函数. ①当时，， 当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 此时，函数在上不单调，不合乎题意； ②当时，， 可知函数在和上均为增函数，且在处连续， 所以，函数在上单调递增，合乎题意； ③当时，， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在上不单调，不合乎题意. 综上所述：，故答案为. 【点睛】本题考查反函数的存在性问题，解题的关键就是将问题转化为函数为单调函数来处理，考查化归与转化思想，属于中等题. 2．函数的值域是且函数存在反函数,这样的共有 个. 【答案】8 【分析】先通过值域，求出所有可能取的值，利用互为反函数的两个函数的性质，一个，只能对应一个，一个，也只能对应一个，列举出所有可能即可． 【解析】解：当时，；当时，；当时，； 要函数存在反函数，则一个只能对应一个，列举如下： ， 这样的共有8个， 故答案为8. 【点睛】本题考查反函数的性质，注意，互为反函数的两个函数的性质，一个，只能对应一个，一个，也只能对应一个，本题是基础题． 3．函数（，）在区间上存在反函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】若函数在区间上存在反函数，则在该区间上单调，由此可得m的范围． 【解析】由题得的定义域为，的对称轴为， 故m的取值范围是. 【点睛】本题考查反函数的性质，属于基础题． 题型05：反函数的性质 1．已知，函数的反函数为，且，则 ． 【答案】 【分析】由条件可得，然后求出的值，然后可得答案. 【解析】因为，所以，所以，所以， 所以． 故答案为： 2．已知函数，，判断其是否存在反函数.若存在，求出反函数；若不存在，说明理由. 【答案】不存在 【分析】由二次函数的性质知在上不单调，所以不存在反函数. 【解析】因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当时，有两个的值和与之相对应， 所以函数，不存在反函数. 3．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【解析】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 4．已知的反函数为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原函数的定义域是反函数值域,只需求反函数的值域即可得到. 【解析】因为的反函数为, 所以的定义域为的值域, 因为, 所以, 即的值域为, 所以的定义域为. 故选. 【点睛】本题考查了原函数与其反函数的定义域和值域的关系,属于基础题. 5．已知函数，，的反函数是，则的定义域为 ． 【答案】 【解析】根据互为反函数的关系，即求的值域 【解析】, 在为增函数，的值域为， 即为的定义域. 故答案为:. 【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题. 6.已知y=x+m和y=nx-互为相反数，求m,n的值。 解题策略：求其中一个函数的反函数，与另一个函数对应项相同 【答案】解：由y=x+m得x=2y-2m, ∴y=x+m的反函数是y=2x-2m. 由题设y=2x-2m与y=nx-表示同一函数， 从而有 注意：一个函数的反函数是唯一确定的。 题型06：反函数有关的图像（变换）问题 1.点（1，2）既在y=图像上，又在其反函数的图像上，求a与b的值。 解题策略：（2，1）点也在函数图像上，待定系数法求a,b 【答案】解：点（1，2）在反函数图像上，则点（2，1）在原函数y=上，又点（1，2）也在y=上，有。 注意：点（a,b）在图像上，则（b,a）一定在y=f(x)图像上 2．若与都过点，则与的图像交点的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据互为反函数的函数图像关于对称，由条件知过，点，求出解析式，再根据两条曲线与交点也是同一点，共有三个交点． 【解析】解：由过点知过点， 所以过，点， 代入得到方程组， 解得：， 则． 由与的图像关于直线对称知， 与的图像均过点， 又因为两条曲线与交点也是同一点， 故与共有3个交点， 故答案为：3． 3．函数的反函数图象向右平移1个单位，得到函数图象，函数的图象与函数图象关于成轴对称，那么（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的反函数图象向右平移1个单位，得到，再求反函数可得到结果. 【解析】函数的反函数图象向右平移1个单位， 得到，则 ， 的反函数为 即， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线对称，属于简单题目. 4．将函数的图象沿轴向右平移1个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线对称，则C2对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由图象平移得的解析式，求出关于原点对称的图象的解析式，再求新函数的反函数即得． 【解析】由题意图象的解析式为，设是图象上任一点，它关于原点的对称点为，则它是图象上，所以，即， 由得，， 所以对应的解析式为． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：本题考查反函数的性质．结论：原函数与反函数的图象关于直线对称．图象关于直线对称的两个函数互为反函数． 5．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则 ． 【答案】或 【分析】数形结合可得. 【解析】由已知函数的图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数， 则函数在其定义域上不同的处的取到的函数值也不相同. 如图,结合反比例函数的图像和性质与旋转情况可得, 当，可得函数，其存在反函数； 当，可得函数，其存在反函数； 当，且时， 将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数，必存在平行于轴的直线与函数的图象有两个交点（例如下图情况中的）， 即函数，在其定义域上存在，，使. 故不存在反函数，不满足题意. 综上所述，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则或. 故答案为：或. 6．已知函数（且，常数）的图像过点，其反函数的图像过点，若将的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数的图像，则的值为 【答案】4 【分析】根据已知条件，、可以求解出，先求解出的解析式，然后在求解出其反函数的解析式，然后根据题意进行向左、向上平移变换，得到的解析式，然后求解出即可. 【解析】因为函数过点，其反函数的图像过点，且，所以，解得，所以， 则， 函数图像向左平移3个单位，即， 向上平移2个单位，即， 所以， 所以. 故答案为：4. 7.设y=f(x),y=g(x)的图像与y=的图像关于直线y=x对称，求g(3)的值。 【答案】解题策略：y=g(x)为y=反函数，求反函数，寻找y=g(x) 与f(x)的关系。 解：由y=得x+1=f(y).得x=f(y)-1 即 y=g(x)=f(x)-1.g(3)=f(3)-1=. 注意：灵活运用反函数定义，找出原函数与反函数关系，使解题变的简单明了。 8.已知f(x) （1）求f(x)的反函数； （2）若f(x)= ，求a的值。 （3）如何作出满足（2）中条件的的图像 【答案】解题策略：按常规思路解题。 解：（1）由y得x=. ∴f(x)的反函数为=（x≠2） （2）若f(x)= ，即=，得。 （3）当时，y=f(x)=， 只需要将反比例函数图像向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即得图像。 y x o 注意：画形如函数的图像常采用分离常数法将其变形为，然后利用反比例函数图像平移变换得到。 题型07：反函数的应用 （一）求自变量或函数值 1、（1）若，则 【解析】设，则，即，所以，； （2）已知，又，则 【解析】因为，，所以，，则； （3）若，则 【提示】应用结论：若函数存在反函数， 则； 【解析】由上易知 （二）反函数求值（抽象函数） 1、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。 【提示】本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”并回归定义，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果； 【答案】2； 【解析】设，则点在函数的图像上，从而点在函数的图像上，即．由反函数定义有，这样即有，从而； （三）求函数解析式 3已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。 【提示】因为点（1，2）在函数的图像上，所以点（2，1）在函数的图像上，从而点（1，2）和（2，1）都在函数的图像上； 【解析】由得所以， （四）利用原函数与反函数解析式相同求系数 1.已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。 【提示】此题可以有两种求解思路：一是求解的反函数的解析式，与比较，利用恒等式对应系数相等，列出关于的方程；二是利用两个函数图像的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程； 【解析】由知点在图像上，则点定在的图像上； 于是 ① 又过点，则点也在的图像上， 于是 ② 由①得或， 当时，代入②，此时②恒成立即； 当时，代入②，解得； 综上, 的所有取值可能有或； （五）利用两函数互为反函数求参 1.若函数与函数互为反函数，求的值。 【提示】常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，巧求参数； 【答案】； 【解析】因为g(x)的定义域为且，的值域为， 又因为的定义域就是的值域，所以，； 再因为的值域为，由条件可知的定义域是,，所以，； 则； 令，则，即点(3，1)在的图像上， 又因为与互为反函数，所以，(3，1) 关于的对称点(1，3)必在的图像上， 所以，3=1+,，故； （六）将反函数问题转化为原函数 1.设函数，解关于的不等式。 【提示】可以行求出的表达式，或转化为去做（用原、反函数的运算互逆性）； 【解析】方法1、令，由于，故，解出， 所以，原函数的反函数为：； 再由，即，即，所以，， 又反函数的定义域满足：，所以，所求的范围是，即； 方法2、易求的值域是，故的定义域是； 又结合一次函数与幂函数，得是严格增函数，因此对两端再结合单调性， 得，所以，，又考虑到必须在的定义域内， 所以，所求的范围是，即； 【说明】1、涉及到反函数的问题，求出反函数是一项基本功，应熟练掌握；求出反函数后，一定要注意标明其定义域，忽视了这一点，就很容易出错，如本题；2、有些涉及反函数的问题，也可不必求出反函数的表达式，而是转化为原函数去解决。 （七）互为反函数的图像间关系 1．设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． 【提示】本题难点在于第二个函数图像与第三个函数图像关系关于直线对称，不容易得出，可从图像上任意点的关系找出关系；点关于直线对称点为，因此函数图像关于直线对称图像的解析式为； 【答案】C； 【解析】第一个函数是，它的反函数是，与的图象关于直线对称的图象表示的函数为．所以第三个函数是；选择答案C； 【说明】如果函数存在反函数，则它的反函数即为；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称，则即；以后学习中还会遇到；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称．则即。 （八）求出反函数解析式解关于反函数的不等式 1.已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。 【提示】求出系数是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出和； 【解析】方法1、令，所以，，则， 则，所以， 又因为，与的图像都经过点，所以，有，所以，， 由，所以，不等式的解集是：； 方法2、根据了数与反函数的图像关于直线对称，又反函数的图像过点，所以原函数的图像必过点，也就是说，函数过和两个点． 所以，有所以，，则， 所以，，所以，不等式的解集是； 【说明】注意解法2，根据原函数与反函数的性质联系，可以将反函数的有关性质转化为原函数的性质（此处用的是图像关于对称），从而不必将反函数的表达式求出来，减少了运算量；再如问的反函数是奇函数还是偶函数？单调性怎样？就可由原函数的性质作出解答：是奇函数且是增函数。 2．函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等式的解集为 【答案】 【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集. 【解析】根据函数图象可得图象经过， 所以， ，得， 所以的反函数 不等式， 即， 解得： 故答案为： 【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式. 3.若的反函数为，且，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是互为反函数，所以， 又因为，所以，所以且， 又，取等号时， 所以的最小值为，故选：B； 4、若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 【解析】由知，，即函数的反函数为。因函数的反函数为，故；选B； 5、若，则与的大小关系为___________。 【解析】因为在上是减函数，与它的反函数的单调性相同，所以在它的定义域上也是减函数；∴； （九）利用原来函数运算关系证明反函数运算 1、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立； 【提示】由函数的性质推证其反函数的性质，应首先要把的问题转化成的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解； 【证明】令，其中,那么， 则有 ① 由于对任意成立， 所以，，由于，则， 故有，即； （十）反函数与函数单调性奇偶性周期性 1.设点M（1，2）即在函数f(x)=a+b的图像上，又在它的反函数的图像上。 （1）求 （2）证明在其定义域上是减函数 【难度】★★ 【答案】解题策略：（1）利用待定系数法（2）利用单调性定义 解：（1）依题意（2，1）点也在f(x)=a+b上， ∴ 由y=得 （2）证明：任意 则 ∴即在定义域上是减函数。 注意：单调性证明要用定义。 2、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 【提示】（1）设，得；利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法；假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出； 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知，当时，不妨设，则， 结合函数、的单调性，可以推得函数()严格单调递增， 则，即原函数的值域为， 再由，化简，得，则， 所以，原函数的反函数为：，； （2）证明： ①函数的定义域为. 若，，对于任意的，有； 所以，是奇函数； ②方法1：由是奇函数，有，解得； 若，则，，(否则)，不是奇函数； 方法2：若为奇函数，则对于任意的，有，即，. 即；所以，； 【说明】本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算；关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意（2）中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用； 3、已知函数； （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明的单调性； 【提示】注意：求反函数的步骤； 【答案】（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析. 【解析】（1）由已知，原函数的定义域为：； 又， 因为，所以，，则， 且，解得， 所以，原函数的反函数为：，定义域为； （2）在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，，， 所以，即； 【说明】本题考查了求已知函数的反函数；求反函数的步骤 （1）求原函数的定义域（即原来函数的值域）； （2）求原函数的值域； （3）解关于x的方程y=f(x)，求出x关于y的表达式； （4）交换x与y；得到原函数的反函数，标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域； 4、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 【提示】（1）设，得；利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法；假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出； 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知，当时，不妨设， 则， 结合函数、的单调性，可以推得函数()严格单调递增， 则，即原函数的值域为， 再由，化简，得，则， 所以，原函数的反函数为：，； （2）证明： ①函数的定义域为. 若，，对于任意的，有； 所以，是奇函数； ②方法1：由是奇函数，有，解得； 若，则，，(否则)，不是奇函数； 方法2：若为奇函数，则对于任意的，有，即，. 即；所以，； 【说明】本题考查了反函数与函数性质的交汇； 本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算；关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意（2）中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用； 5、已知； （1）求它的反函数； （2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值。 【提示】注意：原函数与反函数图像间的对称与对应坐标间的联系； 【答案】（1）；（2） ；（3）或. 【解析】（1）由得，则，并解得， 因此，所求反函数为：； （2）若函数的图像关于直线对称，则，即， 整理得：，所以，解得； （3）若，则，整理得：，解得或，即的值为或； 【说明】本题考查了原函数与反函数图像的对称； 由原函数与反函数的图像特征；可以归纳得：若一个函数的图像关于直线成轴对称，则原函数与反函数相同。 6．已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为 ． 【答案】 【分析】先求得的解析式，根据反函数的求法求得正确答案. 【解析】当时，， 所以， 由于，所以，所以， 令，则， 交换得， 所以. 故答案为：. 7．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 【答案】/0.9375 【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 【解析】解：若为奇函数， 可得当时，，即有， 由为奇函数，可得， 则，， 由定义在上的函数的反函数为， 且， 可由， 可得的解为． 故答案为：． 8．已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数 ()的反函数是 . 【答案】 【分析】先根据偶函数性质求出，上的解析式，再根据周期为2求出，上的解析式，最后求出反函数． 【解析】当时，，， 当时，，． ， ，， 所以， 是减函数， 所以，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【解析】根据原函数定义域与反函数值域的对应关系，可得得值域，再进一步解得的最大值与最小值，即可求得结果. 【解析】令，则， ∴， ∴， ∴反函数为， 当时，， 函数为增函数，的反函数为增函数， 所以， 最大值为， 最小值为， ， 故答案为：2. 【点睛】本题考查原函数与反函数的关系，利用原函数求反函数，利用原函数与反函数单调性相同即可求解，属于中等题. 题型08：指数与对数互反 1．若关于的方程与的根分别为、，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意，可知，，作出函数，，的图像（如图）， A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线对称，AB的中点为C，联立可得点C的横坐标为2，因此． 故选：C. 【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程的根为，方程的根为，那么.在本例中，记，则，这样利用结论，可快速得到：。 2．已知是方程的根，是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程可变形为，方程可变形为， 所以，是与的图象的交点横坐标，是与的图象的交点横坐标， 因为与互为反函数，这两个函数的图象关于直线对称， 在函数图象上任取一点，该点关于直线的对称点的坐标为， 由可得，则点也在函数的图象上， 故函数的图象关于直线对称， 所以，点与点关于直线对称，所以，故. 故选：D. 3．若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上， 即，求得x1+x2=5， 故选：D. 4．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，所以，， 所以，为直线与曲线的交点的横坐标， ，则， 则为直线与曲线的交点的横坐标，如下图所示： 函数与的图象关于直线对称，联立，可得， 所以，直线与直线交于点， 由图象可知，点、关于点对称，所以，，可得. 故选：D. 5．若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 可以看作是直线与函数和交点的横坐标， 作出图象，如图， 与互为反函数，图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此直线与和图象交点也关于直线对称， 所以，由图象知． ， 又，，所以， ， 所以所求范围是． 故选：C． 6．已知是方程的解，是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，令，则有， 因为与互为反函数，图象关于对称. 依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标， 所以，所以，即. 故选：C. 7．关于的方程，的根分别为，，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】，． 作出，和的图象如图所示． ，两点的横坐标分别是，，点，关于直线对称， ∴，两点的中点是．联立和， 求得点的横坐标为，∴． 故选：A 8．设分别是方程和的根，则的最小值是（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程和可化为： ， 即方程的根分别为函数，图象与的交点的横坐标， 因为，互为反函数， 所以，的图象关于直线对称， 因为直线与直线垂直且交点为 所以， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 9．若满足满足,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题满足,满足.故画出与和的图像可知,因为和关于对称,且与交于 . 故. 故选：D 10．已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得出，令，得出， 则函数与函数、交点的横坐标分别为、. 函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直， 如下图所示： 联立，得，则点， 由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则， 由题意得，解得，因此，. 故选：C. 11．若是方程的解，是方程的解，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标； 又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标； 因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称， 又的图像关于直线对称， 因此，，两点关于直线对称，所以有， 因此. 故选：A 二、填空题 12．设方程的解为，方程的解为，则___________． 【答案】6 【详解】由方程得，由方程得. 由于与互为反函数，图像关于对称. 如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标， 因为与图像关于对称，且与垂直，所以 两点为与的交点，且关于对称. 由解得：，则． 故答案为：6． 13．已知函数，，若，则________. 【答案】 【详解】，则，得：； 令，得：； 所以，分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示： 因为和互为反函数，所以和的图像关于对称，所以、两点关于对称.又、两点均在的图像上，所以，所以. 故答案为： 14．若实数、满足，，则____________． 【答案】 【详解】因为，则可视为直线与函数的图象交点的横坐标， 因为，则可视为直线与函数的图象交点的横坐标， 如下图所示： 联立，解得，则直线与直线交于点， 易知直线与直线垂直， 因为函数与函数的图象关于直线对称， 则、两点关于直线对称，线段的中点为，所以，，解得. 故答案为：. 15．设方程的解为，的解为，则_____________. 【答案】. 【详解】由的解为，得， 同理的解为，得， 又函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 且与互相垂直，且交点为， 则函数与函数的交点，函数与函数的交点，关于直线对称， 即与关于点对称， 即， 故答案为：. 16．若是方程的根，是方程的根，则__________． 【答案】4 【详解】解：是方程的根，是方程的根， 把方程分别变形为，， 由于与互为反函数， 则， ． 故答案为 解答题 17．已知函数. （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明的单调性. 【答案】（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用反函数的定义以及函数值域的求法即可求解. （2）利用函数的单调性定义即可求解. 【解析】（1）解析：∵，开平方得， 整理得， ∴，定义域为. （2）在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，，， 所以，即 18．已知函数，为常数，是定义在上的奇函数. （1）当时，满足的取值范围； （2）当时，，求的反函数. 【答案】（1） ； （2）. 【分析】（1）先由，得到，解不等式，即可得出结果； （2）先由是定义在上的奇函数，得到，求出，分别求出时，对应的反函数解析式，以及时，对应的反函数解析式，即可得出结果. 【解析】（1）当时，不等式可化为：， 所以或，即或， 所以或， 因此满足的取值范围为：； （2）因为时，， 因为是定义在上的奇函数，所以，解得； 所以，当时，，所以，因此； 当时， ，所以， 因为，所以，因此， 所以，因此， 综上， 【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型. 19．设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出的值，结合反函数的概念求出，利用指数函数的性质求出的取值范围即可； (2)由对数函数的概念可得，将原问题转化为在恒成立， 结合二次函数的性质即可得出结果. 【解析】（1）因为为R上的奇函数，所以， 即，解得， 所以，为R上的奇函数，所以符合题意. 有 令，则，得， 由得， 即，； （2）由，得， 由恒成立可得恒成立， 即在恒成立， 所以，即， 因为，所以，解得. 所以k的取值范围是. 题型09：难点分析 1．已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（    ） A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数 C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论. 【解析】因为是定义在上的严格减函数，若，， 则当时，， 因为函数在定义域上的单调性与其反函数在定义域上的单调性相同， 故函数是定义在上的严格减函数. 故选：B. 2．设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图象是连续不断的曲线，且的图象有交点，则图象与直线相交； ②若对任意，，则图象与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【分析】利用反函数的性质求解即可. 【解析】①真：由互为反函数的两个函数图象关于对称可得图象的交点关于的对称点依旧是图象的交点， 又的图象是连续不断的曲线，则根据零点存在定理得图象与直线相交； ②假：反例如下图： 故选：B 3．函数的定义域为D，若存在反函数，且的反函数就是它本身，则称为自反函数.有下列四个命题： ①函数是自反函数； ②若为自反函数，则对任意的，成立； ③若函数为自反函数，则的最大值为1； ④若是定义在R上的自反函数，则方程有解. 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据自反函数的定义，逐一验证计算即可. 【解析】对①，的定义域为，反函数为， 所以符合自反函数定义，故正确； 对②，由于为自反函数，原函数的值域即为反函数的定义域，又因为自反函数与原函数的解析式一样，所以，故正确； 对③，函数定义域为，又函数为自反函数，故原函数必为单调的函数，又函数在递增，在递减，所以的最大值为1，故正确； 对④，对于函数，是自反函数，但函数图象与图象不相交，故错误. 故选：A 巩固训练 一、选择题 1．若函数的反函数为，则方程（    ） A．有且只有一个实数解 B．至少一个实数解 C．至多有一个实数解 D．可能有两个实数解 【答案】C 【解析】利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即得结果. 【详解】函数有反函数，可知是一个单射函数，设定义域为I， 故若，设，由函数定义知a有唯一值，故，且方程只有一实数解a； 若，无意义，故不存在x，使得，故方程无解. 故方程至多有一个实数解 故选：C. 2．设为非零实数，函数的反函数是（    ） A．且 B． 且 C．（,且） D． （,且） 【答案】D 【分析】由，可得，即可得出结果. 【详解】由原函数是，从中解得 即原函数的反函数是， 故选:D 3．（2021·上海·高一专题练习）将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，在下列函数的图像中，与图像关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换，结合反函数的概念及求法，即可求解. 【详解】将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，得到， 再沿轴负方向移动2个单位，得到图像， 则图像的对应的函数为， 则图像关于直线对称的是． 故选：B. 4．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能. 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为： （1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； （2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； （3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； （4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； （5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. （6）反函数法：根据反函数的概念. 5、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）] A. B. C. D. 【提示】注意：函数有反函数的前提条件； 【答案】C； 【解析】因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间上存在反函数 所以或者，即或； 6、若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 【解析】由知，，即函数的反函数为。因函数的反函数为，故；选B； 7、若是方程的解，是方程的解，则等于（ ） A． B． C． D． 【提示】将方程有解的问题转化为函数图像有交点的问题进行研究即可得出答案； 【答案】B； 【解析】由题意知，与的交点为，与的交点为， 而与的图像关于直线对称，且的图象关于直线对称， 所以点与点关于直线对称， 联立方程组，可得，由中点坐标公式可得： 故选：B； 【说明】本题考查方程的解和函数图像交点的关系，考查利用对称性求解问题的能力； 8、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． 【提示】本题难点在于第二个函数图像与第三个函数图像关系关于直线对称，不容易得出，可从图像上任意点的关系找出关系；点关于直线对称点为，因此函数图像关于直线对称图像的解析式为； 【答案】C； 【解析】第一个函数是，它的反函数是，与的图象关于直线对称的图象表示的函数为．所以第三个函数是；选择答案C； 【说明】如果函数存在反函数，则它的反函数即为；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称，则即；以后学习中还会遇到；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称．则即。 二、填空题 1、 “函数具有单调性”是“函数存在反函数”的 条件． 【答案】充分非必要． 2、已知，又，则 【答案】 【解析】因为，，所以，，则； 3、若，则 【提示】应用结论：若函数存在反函数， 则； 【解析】由上易知 【说明】在涉及反函数的一些问题中，有时不求反函数，反而可以更准确更快捷地解题。 4、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，则函数的解析式为 【提示】因为点（1，2）在函数的图像上，所以点（2，1）在函数的图像上，从而点（1，2）和（2，1）都在函数的图像上； 【答案】 【解析】由得所以， 【说明】注意利用原函数与反函数图像关于原点对称，找隐含条件。 5、求函数的反函数是 【答案】. （分段函数求反函数：分别求出每一段的反函数） 6、若函数的图像过点，则的图像经过点 【提示】注意：两点关于直线对称的数量特征； 【答案】； 【解析】由函数的图像过点，根据反函数的对称性，可得函数的图象过点，则函数的图像经过点，故答案为：； 【说明】本题主要考查了原函数与反函数的图像特征；就是：两点关于直线对称的数量特征； 7、函数的反函数的图像经过点，则实数=______. 【分析】由反函数的图像经过点，得原函数的图像经过点，代入解出答案即可. 【答案】2； 【解析】因为函数的反函数的图像经过点， 所以函数的图像经过点，所以，解得，故答案为2； 【说明】本题考查了函数与反函数图像的关系； 8、若，则与的大小关系为 【答案】 【解析】因为在上是减函数，与它的反函数的单调性相同，所以在它的定义域上也是减函数；∴； 9、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，则不等式的解的集合 为 【提示】求出系数是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出和； 【答案】 【解析】方法1、令，所以，，则， 则，所以， 又因为，与的图像都经过点，所以，有，所以，， 由，所以，不等式的解集是：； 方法2、根据了数与反函数的图像关于直线对称，又反函数的图像过点，所以原函数的图像必过点，也就是说，函数过和两个点． 所以，有所以，，则， 所以，，所以，不等式的解集是； 【说明】注意解法2，根据原函数与反函数的性质联系，可以将反函数的有关性质转化为原函数的性质（此处用的是图像关于对称），从而不必将反函数的表达式求出来，减少了运算量； 10、若的反函数为，且，则的最小值是 【答案】； 【解析】因为是互为反函数，所以， 又因为，所以，所以且， 又，取等号时， 所以的最小值为，故选：B； 【说明】本题是互为反函数之间的联系、性质与基本不等式的知识交汇； 11．点在函数的反函数的图象上,则 ; 【答案】2 【分析】点在函数的反函数的图象上,即在函数图象上,代入即可得的值. 【详解】解:由题知,点在函数的反函数的图象上, 故在函数图象上, 代入可得, 解得: . 故答案为:2 12．（2022上·上海闵行·高一校考期末）已知，则 . 【答案】 【分析】欲求的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的x的值即可． 【详解】令得：⇒， ∴． 故答案为：． 13．已知，则 . 【答案】 【分析】根据反函数定义求解. 【详解】因为，所以，即，故. 故答案为： 14．已知函数，则它的反函数是 . 【答案】 【分析】将函数写成用y表示x的形式，再讲x换成y，y换成x，再写出定义域即可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴反函数为，. 即：，. 故答案为：，. 15．函数（）的反函数为 . 【答案】 【分析】按定义直接求即可. 【详解】∵，则， 故，故反函数为 故答案为： . 16．函数的反函数是 【答案】 【分析】先解出，然后再将互换即可得其反函数. 【详解】由，得， 所以的反函数为， 故答案为： 17．函数的反函数为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函数的反函数. 【详解】由题意可得在上递减，故， 则， 故函数的反函数为， 故答案为： 18．已知，则 . 【答案】2 【分析】先求出反函数的表达式，然后代入求值即可. 【详解】令，由于，则，所以，得， 所以. 故答案为：2 19．设函数的反函数为．若，则 ． 【答案】 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】，,且 所以，所以， 故答案为：. 20．（2023上·上海·高一上海市宜川中学校考期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域. 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 21．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 【答案】/0.9375 【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 【详解】解：若为奇函数， 可得当时，，即有， 由为奇函数，可得， 则，， 由定义在上的函数的反函数为， 且， 可由， 可得的解为． 故答案为：． 22．函数在区间上的反函数 ． 【答案】 【分析】根据反函数的定义求出的反函数即可，要注意反函数的定义域. 【详解】因为开口向上，对称轴为，， 所以在上单调递减，故， 所以， 由得， 解得， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题 1.（1）已知函数的图象关于直线对称，求实数m； 【答案】； 【解析】函数的反函数为：，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的反函数是其本身，即； （2）设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意 都有,求证：对任意也成立； 【提示】由函数的性质推证其反函数的性质，应首先要把的问题转化成的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解； 【证明】令，其中,那么， 则有 ① 由于对任意成立， 所以，，由于，则， 故有，即； 【说明】使用抽象函数符号进行简单的证明，是提高研究函数性质理论层次的一种要求； 2. 设函数是上的奇函数． （1）求的值，并求函数的反函数解析式； （2）若为正实数，解关于的不等式； 【提示】（1）根据函数的奇偶性，由求出，再验证即可确定的值，得到函数解析式，从而可得反函数的解析式； （2）由（1），结合所求不等式，得到，求解，即可得出结果； 【答案】（1），，；（2）当，；当，． 【解析】（1）因为函数是上的奇函数， 所以，则，此时，所以，则为奇函数，所以； 令，则，即，当时，显然不成立，所以， 则，所以，则， 即函数的反函数解析式为； （2）由（1）可得， 所以不等式可化为， 因为对数函数是严格增函数， 则，所以， 所以当时，； 当时，， 综上，当，；当，． 【说明】求解含参数的对数型不等式问题时，一般需要先根据对数函数单调性，将原不等式化简，再讨论参数的取值范围，即可分别求解。 3. 已知函数，. （1）当时，求； （2）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数. 【答案】（1），（2）没有，详见解析，（3）或；当时，，，当时，，. 【解析】（1）当时，，求即等价于在求解，，解得：，所以； （2）当时，， 时，显然函数不单调，所以在区间没有反函数. （3）若函数存在反函数，则函数在区间单调，，对称轴为， 所以当或时，函数存在反函数； 当时，，； 当时，，； 由，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，互换、得， 所以的反函数为； （3）当时，，，所以，互换、得，所以其反函数为，； 当时，，，所以，互换、得，所以其反函数为，； 综上可得，所求的反函数为。 4．已知函数是函数的反函数． (1)求函数的表达式，写出定义域D； (2)判断函数的单调性，并加以证明． 【答案】(1)；. (2)单调递增；证明见解析； 【分析】（1）根据条件可得，即可得到答案； （2）易得：在单调递增，利用函数单调性的定义，即可得到答案； 【详解】（1）， ，， ，定义域为. （2）易得：在单调递增； 任取，且， ， ，， 在单调递增. 5.设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出的值，结合反函数的概念求出，利用指数函数的性质求出的取值范围即可； (2)由对数函数的概念可得，将原问题转化为在恒成立， 结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以， 即，解得， 所以，为R上的奇函数，所以符合题意. 有 令，则，得， 由得， 即，； （2）由，得， 由恒成立可得恒成立， 即在恒成立， 所以，即， 因为，所以，解得. 所以k的取值范围是. 6．设函数的反函数存在，记为.设，. (1)若，判断是否是、中的元素； (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：； (3)若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得出结论； （2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，，即可证得结论成立； （3）令，分析可得，由已知方程可得，可得，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，，则，所以，， ，则，所以，. （2）解：由题意可得， 任取，则，所以，，，故； 任取，则，下面证明出. 因为函数在其定义域内为严格增函数， 若，则，与题设矛盾； 若，则，与题设矛盾. 故，即，故. 综上所述，. （3）解：令，则，则，即， 由可得，所以，， 因为在其定义域内单调递增，所以，，即有两个不等的非负实根， 整理可得， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 7．设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式； （3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 任取，则， 因为，所以， 即，. 所以，即， 故是上的严格增函数. （2）由题意得当时，， 又是定义在上的奇函数，即，得. 所以当时，， 由得当时，， 而，则，在上单调递增， 令，则，得， 故在区间上的反函数，. （3）由于时，，在上单调递增，； 时，，在上单调递增，； 则在上单调递增， 关于的不等式在上恒成立， 又，所以， 即在上恒成立，令， 得恒成立，即， 故实数的取值范围是. 8．设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式；（3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 任取，， 因为，所以， 即，. 所以，是上的严格增函数. （2）由题意得当时，， 又是定义在上的奇函数，即，得. 所以当时，， 由得当时，， . 令，则，得， 故在区间上的反函数，. （3）是上的严格增函数， 关于的不等式在上恒成立， 又，所以， 即恒成立，令， 得，即， 故实数的取值范围是. 9．已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称． (1)求证：当时，； (2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式； (3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答. (2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答. (3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答. 【详解】（1）依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上， 则有：，且，于是得：，显然满足， 当时，若，而，又在区间上是严格增函数， 则，即，与矛盾， 若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾， 所以当时，. （2）由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得， 因对任意给定的实数x，总有， 则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得， 于是得函数在R上的值域为，由得：， 当时，，则，由得： ，解得，则有， 当时，，则，由得：，解得，则有， 当时，，由得：，解得，则有， 综上得：， 所以不等式的解集是. （3）因对任意给定的实数x，总有， ，当时，有，则， ，当时，有，则， 显然，函数的值域是，函数的值域是， 则取尽一切正整数，， 因此，当时，， 而是R上的奇函数，则当时，，，又， 所以，，，即函数的表达式是. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 能力提升 一、填空题 1．已知实数为函数的零点，为函数的零点，则 ． 【答案】 【分析】首先将函数的零点代入方程，得和，转化为函数和与函数的交点问题，利用函数的对称性，即可求解. 【解析】由题意可知，，即，则， ，则， 函数和互为反函数，关于对称， 设与的交点为，的交点为, 点关于对称，所以，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和互为反函数. 2．已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由题意可求得，从而变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】函数的反函数为， ∵，∴，即，则， 又，，则， ∴ , 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 3．已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分段函数、函数的性质、函数与方程，根据已知转化为方程在上有实根，再分离参数，由复合函数的单调性求最值，得到参数的范围. 【解析】因为与的图像关于直线对称， 所以若函数的图像上存在关于直线对称的点， 则方程在上有实根，即方程在上有实根． 设，则由复合函数的单调性易得在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围是． 故答案为： 4．已知与分别是函数与的零点，则的值为 ． 【答案】 【分析】结合反函数的性质以及函数与零点的关系计算即可得. 【解析】依题意，设，，因为与互为反函数， 其图象关于对称，如图所示，联立，解得， 所以，. 故答案为：. 5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，，若在上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出函数的解析式，然后代入将函数表示出来，再对底数进行讨论即可得 到答案． 【解析】函数的图象与函数且的图象关于直线对称， ． （2） ， ①当时，在区间，上是增函数，，． 由于在区间，上是增函数，，化为， 解得，舍去． ②当时，在区间，上是减函数，，． 由于在区间，上是增函数，，解得． 综上可得：． 故答案为，． 【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．对于区间上有定义的函数，记. 定义域为的函数有反函数，满足：. 若方程有解，则 . 【答案】2 【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当，时，，时的值域，进而可判断此时无解；由在定义域，上存在反函数可知：，时，的取值集合，再根据方程有解即可得到的值． 【解析】因为，，，，，， 所以对于函数， 当，时，，，所以方程即无解； 当，时，，，所以方程即无解； 所以当，时方程即无解， 又因为方程有解，且定义域为，， 故当，时，的取值应属于集合，， 故若，只有， 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题. 二、单选题 7．如图中有六个函数的图象，已知的图象与的图象关于对称，依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断. 【解析】由指数函数的图象和性质得是减函数，，增函数， 则， 因为的图象与的图象关于对称， 由反函数的定义得， 当时，的图象总在的上方， 所以， 综上所述，， 故选：C 8．设．在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数性质得到，通过四边形面积计算出，则得到点坐标，代入解出即可. 【解析】根据题意画出图形,如图： 由于互为反函数的两个函数的图象关于对称， 所以这两个函数的图象交于点必在直线上， 且,两点关于对称,， 四边形的面积, ，，， 代入得，，满足题意. 故选：B. 9．已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】首先得到的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据的单调性和对称性即可得到答案. 【解析】因为， 且函数的定义域为，则为奇函数， 因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数， 根据函数与反函数关于直线对称， 则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数， 故在上单调递增，且的关于点对称， 因为，则， 即其最大值与最小值之和为. 故选：A. 10．函数的定义域为D，若存在反函数，且的反函数就是它本身，则称为自反函数.有下列四个命题： ①函数是自反函数； ②若为自反函数，则对任意的，成立； ③若函数为自反函数，则的最大值为1； ④若是定义在R上的自反函数，则方程有解. 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据自反函数的定义，逐一验证计算即可. 【解析】对①，的定义域为，反函数为， 所以符合自反函数定义，故正确； 对②，由于为自反函数，原函数的值域即为反函数的定义域，又因为自反函数与原函数的解析式一样，所以，故正确； 对③，函数定义域为，又函数为自反函数，故原函数必为单调的函数，又函数在递增，在递减，所以的最大值为1，故正确； 对④，对于函数，是自反函数，但函数图象与图象不相交，故错误. 故选：A 三、解答题 11．已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案； （2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论. 【解析】（1）因为函数与互为反函数，所以. 因为的值域为，所以能取遍内的所有值， 当时，能取遍内的所有值，符合题意； 当时，则只需，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）由（1）可得，定义域为， 因为，， （） 由零点存在定理有，存在零点，使得， 又因为在上单调递增，所以仅有1个零点， 且. 等价于， 令，显然函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 因为，所以，则. 所以，故，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论. 12．已知函数，为函数的反函数 (1)讨论在上的单调性，并用定义证明； (2)设，求证：有且仅有一个零点，且. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的单调性定义进行判定和证明即可； （2）考查函数的单调性，结合，，利用零点存在性定理即可证明有且仅有一个零点；根据，根据函数和函数的单调性，得到和，综合分析即可. 【解析】（1），且 则 ①若，则，， 因此，即在上为减函数 ②若，则，， 因此，即在上为增函数.                                     综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，，则 ， 当时，，所以在上不存在零点； 易得在上单调递增，且，， 根据零点存在定理，有且仅有一个零点，且 所以，则 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 因为函数在上单调递增，所以     所以，即， 变形，得. 13．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)，，具有性质 (3) 【分析】（1）根据“函数具有性质”的要求，计算检验函数符合，通过举反例说明不具有性质即得； （2）利用函数与反函数的对应关系，先求出原函数的值域，再通过解析式反求，即得反函数，最后根据性质的要求检验即得； （3）先根据函数具有性质列出等式，推理得到，从而替换函数式中的，由求解含参数的一元二次不等式即得. 【解析】（1），恒成立， 故具有性质； 又，所以不具有性质； （2）因，由可得，解得：，故有 则有，即得：，又由可得：， 从而，可得：，故得：，. 又因为，恒有 成立，故，具有性质； （3）由题意的恒成立， 即恒成立，所以，即，， 由，（*） 又，则，（*）因， 故不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义函数性质和反函数的求法，含参数的一元二次不等式的解法等.其中对新定义函数的性质的理解和把握是关键，需要整体换元的思想；对于反函数求法，必须先求原函数的值域作为反函数的定义域，再反求，最后才是互换位置即得；对于含参的不等式，一般需要就参数进行讨论分类求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$