卷10 第15章 轴对称图形与等腰三角形 基础诊断卷（A卷）上分专题（3） 等腰三角形中的分类讨论-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（沪科版2024）

数 学 八年级上册 沪科版 1 2 3 上分专题（三） 等腰三角形中的分类讨论 重难上分 攻克难点 4 类型1 腰和底不确定时的分类讨论 类型2 遇中线分周长时的分类讨论 类型3 高的位置不确定时的分类讨论 类型4 分类讨论计数 类型5 遇动点、动线时的分类讨论 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 腰和底不确定时的分类讨论 1.［2025安徽黄山月考］如图，为等边三角形，是边上的中线，点 是边上一点，若是等腰三角形，求 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 6 【解】为等边三角形， ，是 边上的中 线， ， .分三种情况：当 时，如图 （1），则 ， ；当 时，如图（2），则 ， ；当时，点 落在的延长线上，不符合题意.综上所述，的度数是 或 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 7 类型2 遇中线分周长时的分类讨论 2.［2025安徽池州月考］在中，，中线 将这个三角形的周长分 成9和12两部分，求 的长. 【解】如图，是 边上的中线， ， .分两种情况： 当，时，解得， ； 当，时，解得， .综 上所述， 的长为5或9. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3.［2025江苏苏州高新区月考］已知等腰三角形的周长为 ，一腰上的中线把 等腰三角形分成周长之差为 的两个三角形，求这个等腰三角形的腰长. 【解】设腰长为，底边长为 . ①若腰比底边长，根据题意得解得 ②若底边比腰长，根据题意得解得 故这个等腰三角形的腰长是或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型3 高的位置不确定时的分类讨论 4.［2025安徽蚌埠月考］已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，求这 个等腰三角形顶角的度数. 【解】如图（1），当高在三角形内部时，顶角的度数是 ；如图 （2），当高在三角形外部时，顶角的度数是 .综上所述，这个等 腰三角形顶角的度数是 或 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 10 类型4 分类讨论计数 5.［2025浙江湖州月考］如图，坐标平面内一点 ， 为原点，是轴上的一个动点.如果以点，， 为顶点 的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点 的个数为 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.1 【解析】如图.①当为等腰三角形的底边时，符合条件的点 有1 个，即；②当为等腰三角形的一条腰时，符合条件的点 有3 个，即,,.综上所述，符合条件的点 的个数为4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 6.［2025北京顺义区期末，难］如图，中，直线是边 的垂直平分线，若 直线上存在点，使得，均为等腰三角形，求满足条件的点 的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解】 为等腰三角形时，分三种情况：如图， 当时，以为圆心， 长为半径画圆，交 直线于点，；当时，以为圆心， 长为半径画圆，交直线于点，；当 时， 作的垂直平分线，交直线于点 直线 是边 的垂直平分线， 以直线 上任意一点 （与的交点除外）与，为顶点的三角形均为等腰三角形， 满足条件的点 的个数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 13 类型5 遇动点、动线时的分类讨论 7.［2025重庆渝北区期中，偏难］如图，在中， ， ， ，，点是边上的一个动点，点从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒.当点在边 上运 动时，求出发几秒后，是以 为腰的等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解】分两种情况：当 时，如图（1）.∵CB=CQ=12 cm， ；当 时，如图（2）.∵QC=QB， ， ， ， ，，， .综上 所述，当点在边上运动时，出发22秒或24秒后，是以 为腰的等腰三 角形. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.［2025安徽合肥月考，偏难］如图，中，， ，点 在 边上运动不与，重合，连接.作，交于点 . （1）当时，判断 的形状并证明. 【解】为直角三角形.证明如下：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）［难］在点的运动过程中， 可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，请说明理由. 【解】可以是等腰三角形.分三种情况： 时， ， ； 时， ， ； 时， ，，点与点 重 合，不合题意，舍去.综上所述，的度数为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 17 $$