精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县宰便镇宰便中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

从江县宰便中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 点为线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与相交于点G，且，则＝（　　） A. 5：3 B. 1：3 C. 3：5 D. 2：3 4. 如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.　 A. 3.4m B. 4.7 m C. 5.1m D. 6.8m 5. 已知，△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的面积为6，△A′B′C′周长是△ABC的周长的，AB＝8，则AB边上的高等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 7. 如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，在中，，点D是上一点，于点E，，，，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，点D为上一点，过点D作交于点E，过点E作交于点F，连接，交于点K，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，，点在上，与交于点，若，则_______． 14. 如图，AD，BE是△ABC的两条高线．找出一组比例线段，并写出比例式．你写出的比例式是______． 15. 如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 _____米． 16. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为________． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 18. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？ 19. 如图，，，． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2； （2）求出△A'B'C'的面积． 21. 一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长． 22. 如图中，是的平分线． （1）求证：； （2）若，求． 23. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，线段PB长度为 ． 25. 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G. (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证： ； (2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县宰便中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式得到，再利用比例性质变形求解即可得到答案． 【详解】解： ， 又， ， 原式， 故选：D． 【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质，根据题中代数式恒等变形代值求解是解决问题的关键． 2. 点为线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用黄金分割点的概念即可求出的长度 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是掌握黄金分割定理的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为，叫黄金分割比． 3. 如图，与相交于点G，且，则＝（　　） A. 5：3 B. 1：3 C. 3：5 D. 2：3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段的和差求得,然后再根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准线段的对应关系是解题的关键． 4. 如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.　 A. 3.4m B. 4.7 m C. 5.1m D. 6.8m 【答案】C 【解析】 【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD， 故△ABC∽△AED， 由相似三角形的性质，设树高x米， 则， ∴x=5.1m． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形． 5. 已知，△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的面积为6，△A′B′C′周长是△ABC的周长的，AB＝8，则AB边上的高等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC周长的一半，即可求得△ABC与△A′B′C′的面积比，又由△A′B′C′的面积为6，即可求得△ABC的面积，然后由AB=8，可求得AB边上高． 【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC周长的一半， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：4：1， ∵△A′B′C′的面积为6， ∴△ABC的面积为：6×4=24， ∵AB=8， ∴AB边上高等于6． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 7. 如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 将纸片对折，折痕为， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是或． 故选D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 9. 如图，在中，，点D是上一点，于点E，，，，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质就可以求出结论． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出是解题的关键． 10. 如图，在中，点D为上一点，过点D作交于点E，过点E作交于点F，连接，交于点K，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选项A、B正确； ∵， ∴，， ∴，， 故选项D不正确， ∴， 故选项C正确． 故选：D． 11. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明，对应边成比例即可解决问题． 【详解】解：如图，设与交于点， 由旋转可知：，，，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到． 12. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数． 解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC， ∴∠A=180°﹣∠B=90°， ∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=； ②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P的个数是3个， 故选C． 考点：相似三角形的判定；直角梯形． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，，点在上，与交于点，若，则_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质用表示出，同理用表示出，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14. 如图，AD，BE是△ABC的两条高线．找出一组比例线段，并写出比例式．你写出的比例式是______． 【答案】或 或 【解析】 【分析】利用两角分别相等的两个三角形相似证明即可得出答案． 【详解】解： AD，BE是△ABC的两条高线， ， ， ， 或 或 ， 故答案为：或 或 ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，证明是解题的关键． 15. 如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 _____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，可得，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 解得： ， 答：树的高度为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为________． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些定理是解题的关键．由平分，得到，由，得到内错角，等量代换后可证得 ，即是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，而在中，由勾股定理可求得的长，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？ 【答案】楼高是10.5m 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：楼高是10.5m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键． 19. 如图，，，． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）通过，，，可得，然后证明即可； （）由可得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：，理由： ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2； （2）求出△A'B'C'的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积． 【小问1详解】 解：如图，△A'B'C'为所作； 【小问2详解】 △A'B'C'的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6． 【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键． 21. 一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长． 【答案】EH＝米，EF＝米 【解析】 【详解】根据比例设EH、EF分别为3k、2k，然后根据△AEH和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k值，即可得解． 【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2， ∴设EH、EF分别为3k、2k， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得k＝， ∴EH＝米，EF＝米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k法”表示出边更简便． 22. 如图中，是的平分线． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由是的平分线，可得，从而得到，可证得，即可求证； （3）由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）DG＝． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，线段PB长度为 ． 【答案】（1）见解析；（2）4cm或cm 【解析】 【分析】（1）由题意易得∠B=∠C，则有∠BAP=∠CPM，进而问题可证； （2）当△PCM为直角三角形时，则可分当∠PMC=90°时和当∠MPC=90°时进行分类讨论求解． 【详解】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠BAP+∠B+∠APB=180°=∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM=∠B， ∴∠BAP=∠CPM， ∴△ABP∽△PCM； （2）由题意得： ①当∠PMC=90°时，如图所示： 由（1）可得∠BAP=∠CPM，△ABP∽△PCM， ∴∠PMC=∠APB=90°， ∵AB=AC=5cm，BC=8cm， ∴BP=PC=4cm； ②当∠MPC=90°时，如图所示： 过点A作AD⊥BC于点D， ∴BD=DC=4cm， ∴， 由（1）得：∠BAP=∠CPM=90°，△ABP∽△PCM， 易得△ADB∽△PDA， ∴由射影定理可得：， ∴， ∴， 故答案为4cm或cm． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G. (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证： ； (2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF， ∴△ADE∽△DCF， ∴ 　 （2）)当∠B＋∠EGC＝180°时，成立，证明如下： 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF， 则∠CMF＝∠CFM. ∵AB∥CD.∴∠A＝∠CDM. ∵AD∥BC，∴∠CFM＝∠FCB. ∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB， ∴∠CMF＝∠AED，∴△ADE∽△DCM，∴，即. 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论； (2)在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．根据平行线的性质可得∠A＝∠CDM，再结合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，进而得出∠CMF＝∠AED即可证得△ADE∽△DCM，从而证得结论； 【详解】解：(1)略 (2)略 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $