卷10 第5章 二元一次方程组 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（北师大版2024）

数 学 八年级上册 北师大版 1 2 3 卷10 第五章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二元一次方程组 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025山东泰安月考］下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】 选项 分析 结论 A 方程组中含有三个未知数，此方程组不是二元一次方程组 否 B 方程组中第2个方程不是整式方程，此方程组不是二元一次方 程组 否 C 方程组中第2个方程中含未知数的项的次数为2，此方程组不 是二元一次方程组 否 D 满足二元一次方程组的定义，此方程组是二元一次方程组 是 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 判断一个方程组是否为二元一次方程组的方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.［2025湖南长沙雅礼中学月考］已知是方程 的一个解， 那么 的值是( ) D A.3 B.1 C. D. 【解析】将代入方程中，可得 ，解得 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分总结 根据方程的解求值的方法 解此类题的方法是把方程的一组解代入方程，将其转化为关于未知字母的方程， 然后求相应字母的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 3.［2025辽宁大连旅顺口区月考］用代入法解二元一次方程组 时， 最适宜的变式是( ) B A.由①得 B.由①得 C.由②得 D.由②得 【解析】①中的系数为1，故最适宜的变式是由①得 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 4.［2025河北邢台襄都区月考］利用加减消元法解方程组 时，嘉 嘉说：“要消去，可以将.”淇淇说：“要消去 ，可以将 .”关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是( ) B A.嘉嘉对，淇淇不对 B.嘉嘉不对，淇淇对 C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对 【解析】嘉嘉：将，可得，不可以消去 .淇淇： 将，可得，可以消去 .故嘉嘉不对，淇淇对.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 5.新考法［2025河南信阳月考］老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组 的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再 将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示， 合作中出现错误的同学是( ) B A.甲 B.丙 C.乙和丁 D.甲和丙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】 由①得 把③代入②得 .去 分母得，解得.把 代入③得 .解方程,得.将代入③得 . 则合作中出现错误的同学是丙同学.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 6.传统文化［2025福建泉州月考］我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一 支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5 尺计算）.”大意是现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺； 如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程 ；根据 第二次将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，可得出方程 ，那么方程组 是 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 7.［2025北京海淀区月考］已知直线与直线 相 交于点，则关于,的方程组 的解为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为直线与直线的交点为 ，所 以，解得，所以,所以关于,的方程组 的 解为 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 上分归纳 二元一次方程组与一次函数的关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 8.［2025浙江温州月考，中］如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位 长度，其中点，，，对应的数分别是整数，，，，且 ，则 的值为( ) A A. B. C.3 D.1 【解析】根据题意，知，即，将代入 ，得 ，解得，所以，，所以 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 9.［2025湖北武汉月考，中］“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组 的解是则方程组 的解为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】将方程组 中每一个方程两边同时除以4，得 设，，则 因为 方程组的解是 所以 即 解得 所以方程组的解为 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 10.［2025河南信阳月考，偏难］《乌鸦 喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔 来一个个小石子放入瓶中，水位上升后， 喝到了水.根据如图信息，若放入1个钢珠 可以使液面上升 ，当在玻璃桶内同时 C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】由题图得，放入一个小球液面上升，所以设同时放入个小球和 个 钢珠，水位上升到38厘米，所以，整理得，当 时，；当时，；当时，；当时，，所以 的整数值可以为10，4，2，1，共4个.故选C. 放入相同数量的小球和钢珠时，水位上升到，则 的整数值有( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025吉林长春绿园区校级月考］是关于， 的二 元一次方程，则 ___. 1 【解析】因为是关于， 的二元一次方程，所以 且，解得 ，故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.开放性问题［2025河南洛阳月考］一个二元一次方程组的解是 试写出 一个符合要求的方程组：_ ___________________________. （答案不唯一） 【解析】因为，，所以， ，所以可得方程组 故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.［2025山西吕梁期末］对于关于，的二元一次方程组 佳佳 通过计算发现，无论取何值， 的值始终不变，则这个值是____. 1.5 【解析】 由①得，将 代入②，得 ，解得，将 代入①，得 ，解得，所以方程组的解为 则 ，故答案为1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 14.［2025福建厦门月考］若是三元一次方程组 的解， 则 的值是_____. 【解析】因为是三元一次方程组 的解，所以将 代入中，得，解得 ，故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.［2025黑龙江哈尔滨工业大学附属中学月考，中］小华和爸爸一起玩“掷飞镖” 游戏.游戏规则为站在5米外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次 得3分.结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分.设 小华投中的次数为，爸爸投中的次数为 ，根据题意列出的方程组是 _ ____________. 【解析】根据题意列出方程组为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.新考法［2025四川成都金牛区期末，偏难］定义：我们把直线 与直线的交点称为直线 的“不动点”.例 如求直线的“不动点”：联立方程 解得 则直线 的“不动点”为点，.若直线 的“不动点”为点 ，则的值为____， 的值为____. 【解析】因为直线的“不动点”为点，所以 ， 所以，所以“不动点”的坐标为.将代入 ,得 ，解得.故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025山东济南章丘区月考］（8分）解方程组： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （1） 【解】 得 ，…………（1分） 解得 .…………（2分） 将代入①得 ， 解得 ，…………（3分） 所以原方程组的解为 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2） 【解】 整理得 …………（5分） 由①得，③ 将③代入②得 ，解得 ， …………（6分） 将代入③得 ，…………（7分） 所以原方程组的解为 …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.［2025安徽亳州月考］（10分）已知关于，的方程组 与 有相同的解. （1）求这个相同的解； 【解】因为两方程组有相同的解，所以可将两方程组重新组合得到方程组 解①得 故这个相同的解为 … ………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）求， 的值； 【解】将代入②得 …………（5分） 解得 …………（7分） （3）若（1）中的解也是关于，的方程的解，求 的值. 【解】将代入 ，得 ，解得 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 19.［2025重庆渝北区月考］（10分）暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供 了某品牌的冰淇淋和雪糕，每支冰淇淋的进价比每支雪糕的进价多2元，购进10支 冰淇淋和购进15支雪糕的价钱相等. （1）求一支冰淇淋和一支雪糕的进价. 【解】设一支冰淇淋的进价为元，一支雪糕的进价为 元，则由题意得 …………（4分） 解得 答：一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）超市购进该品牌的冰淇淋10箱，雪糕20箱，每箱均有10支冰淇淋或雪糕，因 为保温不当，在实际运输中导致冰淇淋和雪糕各1箱不能售出，商店决定按进价的 出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将每支冰 淇淋的售价降低元，最终获利，求 的值. 【解】根据题意可得， ， 解得.答： 的值为1.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 20.［2025江西南昌月考］（12分）如图，直线 和直线 相交于点，点，分别为直线 、直线 与 轴的交点. （1）求点 的坐标； 【解】 解得 所以点的坐标为 .…………（4分） （2）求 的面积； 【解】当时，，所以点的坐标为;当 时， ，所以点的坐标为，所以 ，所以 ，即的面积为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）［中］在轴上有一动点，过点作 轴的垂线，分别交直线 和直线于点，，若，求出此时点 的坐标. 【解】由题意得，， ，所以 ，解得或，所以点的坐标为 或 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.［2025江苏南通月考］（12分）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具 由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌）， 并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装. （1）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每名工人每 天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成 套生产正方体教具？ 【解】设安排名工人生产塑料棒，则安排 名工人生产金属球. 依题意得 ，…………（3分） 解得，所以 . 答：应安排18名工人生产塑料棒，15名工人生产金属球.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［中］现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示），若 恰好用了1 800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 档次 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解】因为正方体教具的均价为 （元/套），所以只有购买高档、 低档和购买中档、低档两种情况.…………（6分） 当购买高档、低档正方体教具时，设购买高档正方体教具套，低档正方体教具 套.依题意得 解得 所以学校购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套.…………（8分） 当购买中档、低档正方体教具时，设购买中档正方体教具套，低档正方体教具 套.依题意得 解得 所以学校购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套.…………（10分） 答：该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体 教具80套，低档正方体教具20套.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.新情境［2025北京朝阳区校级月考］（14分）2024年4 月，无人快递车在南京市的城市道路上正式“上岗”.现有一 条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中， 两网点相距1 000米.甲、乙两无人快递车分别从， 两 （1）直线 的函数表达式为__________； 【解】设直线的函数表达式为，将代入 得 ， 解得，所以直线的函数表达式为.故答案为 .………… （4分） 网点同时出发，匀速行驶去往目的地，.图中，分别表示甲、乙两车与 地的距离（米）与行驶时间 （分）的函数关系图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）［中］出发后甲无人快递车行驶多长时间，与乙无人快递车相遇？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解】设直线的函数表达式为 . 将，代入 得 …………（6分） 解得 所以直线的函数表达式为 .联立两直线函数 表达式组成方程组，得 …………（8分） 解得 所以出发后甲无人快递车行驶 分，与乙无人快递车相遇.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［偏难］甲无人快递车到网点后，再经过1分乙无人快递车也到 网点，求 ， 两网点间的距离. 【解】根据题意得 ，…………（12分） 解得，所以 ， 所以，两网点间的距离为 （米）.…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 $$