卷10 第5章 二元一次方程组 基础诊断卷（A卷）-第5章 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（北师大版2024）

数 学 八年级上册 北师大版 1 2 3 第五章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 二元一次方程（组）及其解法 上分点2 二元一次方程组的应用 上分点3 二元一次方程（组）与一次函数 上分点4 三元一次方程组 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 二元一次方程（组）及其解法 1.［2024江苏南京鼓楼区校级质检］下列方程是二元一次方程的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 判断 A 含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，所以 不是二元一次方程 × B 符合二元一次方程的定义 √ C 含有三个未知数，不是二元一次方程 × D 化简后为 ，是一元一次方程 × 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 二元一次方程的必要条件 （1）方程两边都是整式；（2）含有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.［2024江苏常州天宁区校级期中］已知 是关于， 的二元一次方程 的一个解，则 的值为( ) B A. B.6 C. D.3 【解析】将代入原方程得，解得，所以 的值为6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 3.［2024浙江杭州上城区校级期中］下列方程组中是二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 结论 A、C 含未知数的项的次数有2，不属于二元一次方程组 不符合题意 B 满足二元一次方程组的定义，此方程组是二元一次方程组 符合题意 D 方程组共含有3个未知数，此方程组不属于二元一次方程组 不符合题意 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.［2024河北邯郸期中］若二元一次方程组的解为则“ ”可以表 示为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为二元一次方程组的解为所以，即“ ”可 以表示为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2024河南南阳期末］二元一次方程 的非负整数解有( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.无数个 【解析】当时，；当时，；当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当 时，，所以二元一次方程 的非负整数解有 共7个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.［2024河南信阳平桥区校级质检］用代入法解方程组 时，将方 程①代入②中，所得的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】把①代入②得 ，去括号得 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025山东德州月考］方程组中， 的值为( ) B A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 把①代入②，得 ，解得 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［2024广东韶关期末］李强用加减消元法解方程组 其解题步骤如 下： （1）得，解得 ； （2）得，解得，所以原方程组的解为 则下列说法正确的是( ) B A.步骤都不对 B.步骤 都对 C.本题不适宜用加减消元法解 D.加减消元法不能用两次 【解析】步骤（1）消去求得的值，步骤（2）消去求得 的值，两个步骤都正 确，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2025河南安阳期中］对有理数，定义一种新运算“*”： ，其 中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知， ， 那么 ___. 5 【解析】由题意得， ，联立得 解得 所以 .故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.［2024湖南邵阳北塔区期中］若方程组与方程组 同解， 则 ___． 8 【解析】，得，解得.，得 ，解得 .把，代入方程组得解得 故 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 上分总结 二元一次方程组同解问题 若两个方程组中各有一个含参数的方程，则将不含参数的两个方程重新组合后解 这个新的方程组，再将方程组的解代入含参的方程中求解；若一个方程组中的两 个方程不含参数，则先解这个方程组，再将方程组的解代入含参的方程组中求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 11.［2024河南新乡质检］已知方程 ，请你写出一个二元一次方程 ________________________，使它与已知方程所组成的方程组的解为 （答案不唯一） 【解析】把代入，得，解得 ，所以方程组的解 为因为是方程 的解，所以需要写出的二元一次方程可以为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 12.［2024辽宁辽阳期末］请用指定的方法解下列方程组： （1） （代入消元法） 【解】将②代入①，得，解得 . 将代入②，得，所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （2） （加减消元法） 【解】，得，，得 . 将代入①，得，解得，所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分点2 二元一次方程组的应用 13.［2024陕西西安雁塔区校级期中］现有一辆卡车，要运输若干套某种设备，每 套设备由A部件和B部件组成．已知3个A部件和2个B部件的总质量为7.6吨，5个A 部件和3个B部件的质量相等．求1个A部件和1个B部件的质量各是多少． 【解】设1个A部件的质量是吨，1个B部件的质量是 吨. 根据题意得解得 答：1个A部件的质量是1.2吨，1个B部件的质量是2吨. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.［2024陕西宝鸡期末］A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快 车从B地开出．如果两车同时开出相向而行，那么出发3时后相遇；如果两车同时 开出同向（沿由B到A的方向）而行，那么出发12时后快车可追上慢车，求快车与 慢车的速度． 【解】设快车速度为千米/时，慢车速度为 千米/时. 由题意得解得 答：快车速度为100千米/时，慢车速度为60千米/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.［2025重庆渝北区期末］某房企为了迎接十周年庆典开展购置补贴活动，购置 补贴活动在2024年1月正式开始.在政策出台前的一个月共售出A型和B型房屋共260 套，政策出台后的第一个月售出这两种型号的房屋共330套，其中A型房屋和B型 房屋的销售量分别比政策出台前的一个月增长和 . （1）在政策出台前的一个月，分别销售A型房屋和B型房屋多少套？ 【解】设在政策出台前的一个月，销售A型房屋套，B型房屋 套.根据题意得 解得 答：在政策出台前的一个月，销售A型房屋100套，B型房屋160套. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （2）［中］若每套A型房屋的销售价格为80万元，每套B型房屋的销售价格为90 万元.根据补贴政策，房企按每套房屋销售价格的 给购买A型房屋的用户补贴.政 策出台后的第一个月，房企规定对这330套房屋的用户一共最多补贴1 420万元， 则给购买B型房屋的用户每套房屋最多补贴多少万元？ 【解】（套）， （套），所以 （万元）. 答：给购买B型房屋的用户每套房屋最多补贴4.5万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2024黑龙江哈尔滨香坊区校级期中］黑马铃薯又名“黑土豆”，它富含花青素， 有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩A品种黑马铃薯，10亩B品种黑马铃薯， 其中A品种的平均亩产量比B品种的平均亩产量低 ，共收获两个品种的黑马铃 薯14 000千克（1亩 平方米）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （1）求A、B两个品种黑马铃薯平均亩产量各是多少千克. 【解】设B品种黑马铃薯的平均亩产量为 千克，则A品种黑马铃薯的平均亩产量 为 千克. 根据题意得,解得 . A品种黑马铃薯的平均亩产量为 （千克）. 答：A品种黑马铃薯的平均亩产量为800千克，B品种黑马铃薯的平均亩产量为 1 000千克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （2）根据如图信息，求收购时A、B两个品种黑马铃薯每箱的收购价格分别是多少元. 【解】设A品种黑马铃薯每箱的收购价格是 元，B品种黑马铃薯每箱的收购价格 是 元. 根据题意得解得 答：收购时A品种黑马铃薯每箱的收购价格是200元，B品种黑马铃薯每箱的收购 价格是300元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （3）［中］在（2）的条件下，某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马铃 薯．收购方式如下：A、B两个品种各自独立装箱，A品种每箱40千克，B品种每 箱100千克，老李给出如下优惠： 收购A品种或B品种的数量 （单位：箱） 不超过30箱 超过30箱 优惠方式 该品种收购总价打九 五折 该品种收购总价打八 折 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 蔬菜商人第一次收购了两个品种的黑马铃薯共60箱，且收购的B品种箱数比A品种 箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时老李做出了价格调整：A品种每 箱的收购价不变，B品种每箱的收购价比第一次的收购价降低 ，优惠方式不 变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第 一次支付给老李的费用多11 400元，求蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯多少箱. 【解】A品种总箱数： （箱），B品种总箱数： （箱）.设第一次收购A品种 箱，则第二次收购A品种 箱，第一次收购B品种箱.根据题意得 ，解得 . 答：蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯20箱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 17.［2024贵州贵阳观山湖区校级期中］某货运公司有A，B两种型号的汽车，2辆 A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨；3辆A型车和5辆B型车装满货物一次 可运货21吨．某物流公司现有25吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完， 且恰好每辆车都装满货物． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ 【解】设1辆A型车装满货物一次可运货吨，1辆B型车装满货物一次可运货 吨. 依题意得解得 答：1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）［中］请你帮该物流公司设计所有可行的租车方案． 【解】设租用A型车辆，B型车辆.依题意得 ， 所以.又因为，均为正整数，所以或或 或 所以一共有4种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车7辆；方案2：租用A型车 5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车8辆，B型车3辆；方案4：租用A型车11辆，B 型车1辆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 上分点3 二元一次方程（组）与一次函数 18.［2024宁夏中卫期末］如图，已知直线 和直线 交于点，则关于， 的二元一次方程组 的解是_ ________． 【解析】因为直线和直线交于点，所以关于， 的二 元一次方程组的解为故答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.［2024陕西西安临潼区期末］已知二元一次方程 ． （1）请任意写出此方程的三个解. 【解】 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）若为此方程的一个解，我们规定 为某一点的坐标，请根据你 在（1）中写出的三个解，对应写出三个点的坐标，并将这三个点描在如图所示的 平面直角坐标系中. 【解】，， .将这三个点描在平面直 角坐标系中如图所示. 中写出的解不同，对应的点 的坐标和描出的点的位置也不同） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）观察这三个点的位置，你发现了什么？ 【解】这三个点在同一条直线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.［2024安徽合肥包河区期中］如图，在平面直角坐标系中， 一次函数的图象经过点，且与轴相交于点 ， 与正比例函数的图象相交于点，点 的横坐标为1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）求， 的值. 【解】当时，，所以点坐标为 . 直线经过点和，则 解得 所以的值为， 的值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）请直接写出方程组 的解. 【解】方程组的解是 （3）若点在轴上，且满足，求点 的坐标． 【解】由（1）知一次函数的表达式为，当时， ，所以 ，所以.设点坐标为，所以 . 因为，所以，解得 ， 所以点的坐标为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 上分点4 三元一次方程组 21.［2024安徽池州期末］一个三位数，各个数位上的数字之和为10，百位数字比 十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调后的数比原来的3倍还大61，那么原 来的三位数是( ) B A.325 B.217 C.433 D.541 【解析】设原来的三位数个位、十位、百位上的数字分别为，, . 依题意得解得 所以原来的三位 数是217.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.［2025上海闵行区期末］解方程组： 【解】，得， ，得 ，，得，解得.把 代入④，得 .把，代入②，得.所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 $$