卷1 第1章 勾股定理 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（北师大版2024）

数 学 八年级上册 北师大版 1 2 3 卷1 第一章基础诊断卷（A卷） 考查内容：勾股定理 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1. 在2025年哈尔滨亚冬会的滑冰场馆设计中，为了确保看台的结构 稳固，工程师需要制作几个三角形支架，他选用了不同长度的钢梁作为制作三角 形支架的材料，以下各组钢梁的长度中，是勾股数的是( ) A A.5，12，13 B.4，6，8 C.7，8，14 D.12，24，25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项， ，5，12，13是勾股数，故该选项正确， 符合题意；B选项， ，4，6，8不是勾股数，故该选项错误，不 符合题意；C选项， ，7，8，14不是勾股数，故该选项错误， 不符合题意；D选项， ，12，24，25不是勾股数，故该选 项错误，不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 勾股数的相关结论 ①一组勾股数中的三个数必须是正整数，例如：，6，满足 ， 但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数.②一组勾股数扩大到原来的相同的 整数倍，得到的三个数仍是一组勾股数.③常用的勾股数：3，4，5；6，8，10；5， 12，13；7，24，25等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第2题图） 2.［2025河北唐山路北区月考］如图，在水塔的东北方向 处 有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在, 间建一条直水管，则水管 的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为是东北方向， 是东南方向，所以 .又因为， ，所以 ，所以 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分心得 方位角 东北方向即北偏东 的方向；东南方向即南偏东 的方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第3题图） 3.［2025广东广州月考］如图，一张长方形纸片 剪去一个角 后，剩下的纸片是一个梯形 ，则这个梯形的周长为( ) D A.10 B.22 C.24 D.32 【解析】由题意，得, , , ，所以，所以 ，所 以，所以这个梯形的周长为 . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 4.［2025重庆八中月考］已知在中，，，分别是，， 的对边， 则下列条件中不能判断 是直角三角形的是( ) B A. B. C.，， D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】A选项，因为， ，所以 ， 所以 是直角三角形，故A选项不符合题意；B选项，因为 ， ，所以 , ，所以 不是直角三角形，故B选项符合题意；C选 项，因为，，，所以，所以 是直角三角 形，故C选项不符合题意；D选项，设，， .因为 ，所以，所以 是直角三角形，故 D选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分心得 判断直角三角形 判断直角三角形可以从角的方面，也可以从边的方面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 5.［2024山东菏泽月考］把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的4倍，若 得到的三角形仍然是直角三角形，则其斜边长( ) A A.扩大到原来的4倍 B.扩大到原来的8倍 C.不变 D.扩大到原来的12倍 【解析】设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为 ，两条直角边长扩大到 原来的4倍后为，，那么根据勾股定理得 ，扩大后直角三角形的 斜边长的平方为 ,所以扩大后的直角三 角形的斜边长为 .即斜边长扩大到原来的4倍，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 6.［2024四川眉山中考］如图，图（1）是北京国际数学家大会 的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全 等的直角三角形拼成.若图（1）中大正方形的面积为24，小正方 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图（2），则图（2） 中大正方形的面积为( ) D A.24 B.36 C.40 D.44 【解析】设直角三角形的两直角边长为，，,斜边长为 .因为题图（1）中 大正方形的面积是24，所以 .因为题图（1）中小正方形的面积是 4，所以，所以 ，所以题图（2）中大正方形 的面积为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第7题图） 7.新考法［2025山西朔州月考］如图，学校有一块直角三 角形菜地， ， .为方便劳作，准 备在菜地中间修建一条小路 .测量发现， ，，，则 的长为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设，因为，所以 ，所以 ,.在 中，由勾 股定理得，即，解得 ，即 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 上分点拨 勾股定理中方程思想的运用 ①设未知数；②根据勾股定理建立方程；③解方程求得边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第8题图） 8.［2025河南郑州第一中学月考，中］如图，，是直线 同侧的 两点，作点关于直线的对称点，连接.若点，到直线 的 距离分别为2和3，则线段与 之间的数量关系为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】如图，作交的平行线于，作，垂足为 ，则易得 .因为点关于直线的对称点为点，点，到直线 的距离分别为2和3， 所以，，所以在中， ， 即.因为在中，， ，所以 ,即，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第9题图） 9.［2025湖南衡阳月考，中］如图，高速公路上, 两点相 距，,表示两村庄，已知， ， 于，于.现要在上建一个服务站 ， 使得，两村庄到服务站的距离相等，则 的长是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】设，则.因为， ，所以 ， .由题意可知 ，所以，解得，所以 . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.回归教材［2025江苏南京期末，偏难］如图（1）， ， ， ，分别以这个直角三角形的两直角边为边向外作正方形.如图（2），由图 （1）所作的两个小正方形向外分别作直角边之比为 的直角三角形，再分别以 所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形. ，按此规律，则图（6）中所 有正方形的面积和为( ) B A.200 B.175 C.150 D.125 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】因为 ，，，所以 ,所以 ，所以题图（1）中正方形的面积和为 ，题图（2）中所有正方形的面积和为 ，题图（3）中所有正方形的面 积和为， ， 所以图（6）中所有正方形的面积和为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025广东惠州惠城区月考］如图，一棵大树 （树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的 处折 断倒下，倒下后的树顶与树根 的距离为15米，则这棵大 树在折断前的高度为____米.（大树粗细忽略不计） 25 【解析】由题意得，在中， ，米， 米，所以 ，所以 米，所以这棵大树在折断前的 高度为 （米），故答案为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第12题图） 12.［2025吉林长春月考］如图，货车的高 ，卸货时后 面车厢挡板翻转至点在地面处，已知点，， 在一条 直线上，，经过测量知，则 ______. 【解析】由题意得， .设 ， 则.在中， ， 即，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第13题图） 13.［2025江西南昌月考］如图，在中， ， ，，将折叠，使点与点重合，折痕为 ， 则 的周长为___. 7 【解析】因为在中， ，， ，所以 ，所以.因为 由 翻折得到，所以，所以，所以 的周长 .故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 上分点拨 折叠问题 折叠前后折叠部分图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第14题图） 14.［2025福建厦门外国语学校月考］如图，在边长为1的小正方 形组成的网格中，，，都在格点上，则 的度数为____. 【解析】如图，连接.因为 在边长为1的小正方形组成 的网格中，所以， ， ，所以， ，所以 是等腰直角三角形，且 ，所以 . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第15题图） 15.［2025陕西西安新城区月考，中］如图，长方形地面 的 长，宽，中间竖有一堵砖墙，高 . 一只蚂蚁从点爬到点 ，它必须翻过中间那堵砖墙，则它至少 要爬行____ . 15 （第15题图） 【解析】如图，，连接 . 因为四边形是长方形，， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所 以蚂蚁从点爬到点至少要爬行 .故答案为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （第16题图） 16.［2025云南昆明期中，偏难］如图，在等腰 中， ，，为的中线，垂直平分 交于点，则 __. （第16题图） 【解析】如图，连接.因为是 的垂直平分线，所以 .因为，，为 的中线， 所以，，所以 ，所以 ，所以.设 ， 则.由勾股定理得，所以 ， 解得，所以.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.新考法［2025广东阳江月考］（8分）如图，直线 ，垂 足为，线段，，以点为圆心， 的长为半径画 弧，交直线于点.求 的长. 【解】因为，线段, ， 所以在中， ， 所以 .…………（5分） 由作图可知 ，…………（6分） 所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 18.［2024山东德州月考］（10分）如图，把一块直角三角 形土地（其中）划出一块三角形区域 后，测得米，米，米， 米. （1）判断 的形状，并说明理由； 【解】 是直角三角形.…………（1分） 理由：因为 ，米，米，所以 ， 所以 米.…………（3分） 因为米，米，所以，所以 是直角三角 形.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）求图中阴影部分的面积. 【解】阴影部分的面积为 （平方米）. …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.［2025河南周口月考］（10分）如图，在 中， ，， . （1）直接写出 的长； 【解】的长为16.因为 ，，，所以在 中， ，所以 .…………（4分） （2）点在上，若，求 的长. 【解】因为，所以设，则 .…………（6分） 在中， ， 所以，解得 ， 所以 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 20.［2024山东潍坊潍城区期中］（12分）如图，一条南北走向的 公路经过县城，村庄位于公路西侧，村庄和县城 之间有一 大型水库，无法直达.村村民需要乘车经公路和公路 才能 到达县城，为方便村村民出行，县政府计划新修一条公路 . 测得，千米，千米， 千米. （1）［中］新公路是否为村庄到公路 最近的路？请通过计算加以说明； 【解】是.…………（1分） 说明如下:因为，所以 是直角三角形， 且 ，所以，所以新公路为村庄到公路 最近的 路.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［中］求村庄到县城的直线距离（即线段 的长）. 【解】设千米，则 千米.…………（7分） 在中，由勾股定理得，所以 ，解 得 . …………（11分） 答：村庄到县城 的直线距离为50千米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.［2025陕西西安长安区月考］（12分）如图，解放广场的草坪 上有，，，， 五条小路，且 ，，， . （1）［中］求小路 的长度； 【解】在中， ，， ，由勾股定理得 ，所以 .…………（2分） 在中， ，， ，由勾股定理得 ，所以 . 所以小路的长度为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［偏难］淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点 时停止，设小狗的位置 为点，小狗跑的时间为.当小狗在小路 上跑时，求出淇淇与小狗的最近距离， 并求此时 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解】过作于，如图，则 的长为淇淇与小狗的 最近距离.…………（6分） 因为，所以 ， 所以 .…………（8分） 在中， ，， ，则由勾股定理可得 ，所以. …………（10分） 所以此时小狗跑的路程为.因为小狗以 的速度奔 跑，所以小狗跑的时间为. 故淇淇与小狗的最近距离为，此时 的值为12.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.探究性问题［2025江苏南京外国语学校月考］（14分）【探究主题】监控器如 何布设才最优？ 【探究背景】监控器有效监测距离为，最大旋转角度为 .村落、河流南岸 的位置如图（1）所示，河流南岸长（即村落与河流邻接长度为 ）， 监控器布设线距离河流，上任意两个监控器 之间的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【探究方案】 （1）［中］方案1：如图（1）所示，从河流南岸边缘 点处起，使 ，，为监控器监测范围；， , 为 监测范围;…,以此类推，继续设置监控器，该水利部门至少需要布设多少 监控器？ 【解】在中， ,， ，所以 ，所以 .…………（3分） 因为村落与河流邻接长度为，所以 ，所以该水利部门 至少需要布设13个监控器.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［偏难］方案2：如图（2）所示，为监控器监测范围，为监控器 监测范围，，，此时 ，若以这种方式 继续设置监控器，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 【解】如图所示，过点作于点 .依题意得 .…………（5分） 在中， ， 所以,所以 .………… （6分） 设，则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 在中， .…………（7分） 在中， ，所以 ，解得，所以 .…………（9分） 所以,所以 . 因为监控器有效监测距离为 ，所以符合题意.因为 . ，所以该水利部门至少需要布设8个监控器.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【探究总结】 （3）［中］你认为上述方案中方案________________________________________ ___________________是最优方案.（填“1”或“2”） 因为,所以方案2是最优方案，故答案为 2.…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 $$