第二十四章 相似三角形（知识清单）数学沪教版五四制九年级上册

第二十四章 相似三角形 1.相似形的定义及性质： ①定义：形状 的两个图形称为 . ②性质：如果两个图形是相似图形，则这两个多边形对应角 ，对应边 ；. 2.比例线段的定义及性质： ①两条线段的比：两条线段 的比； ②比例线段：若a：b=c：d，则线段a，b，c，d叫做 ； ③基本性质： ； ④合比性质： ； ⑤等比性质： . 3.黄金分割： ①定义：线段AB被点P分为AP和PB（AP>PB），满足AP2=AB·PB，则称线段AB被点P黄金分割；点P叫做线段AP的 ； ②黄金分割比： ; 4.三角形一边的平行线： ①性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段 ； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边 ； ②判定定理：若一直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，则这条直线 ； 推论：若一直线截三角形的两边的延长线所得的 ，则这条直线平行于三角形的第三边. 5.平行线分线段成比例： ①平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段 ； ②平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的 ，那么在另一条直线上截得的线段 . 6.相似三角形的判定： 判定定理： ①两角（AA） 的两个三角形相似； ②两边 且 （SAS）相等的两个三角形相似； ③三边 的两个三角形相似； ④ 和 对应成比例的两个直角三角形相似； 推论；平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形 . 7.相似三角形的性质： ①相似三角形的 ； ②相似三角形的周长之比等于 ； ③相似三角形的面积的比等于 ； ④相似三角形对应高的比、 和对应角 都等于相似比. 8. 三角形的重心： ①定义：三角形 的交点； ②定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于 ； 9.平面向量的线性运算： ①定义：既有 、又有 的量叫做向量．向量的大小也叫做 ； ②向量的表示：向量可以用 表示，有向线段的长度就表示向量的 ，有向线段的方向就表示向量的 ．如果有向线段表示一个向量，通常就直接说向量．这个向量的长度记作 ，它是一个 ；向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如、、、……．向量的长度记作 ； ③向量相关知识：方向 的两个向量叫做相等的向量；方向相反且长度相等的两个向量叫做互为 ．向量的相反向量用表示；方向相同或相反的两个向量叫做 ；一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作，规定的方向 ；；长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则；于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，则，； ④运算律： 实数与向量相乘对于实数加法的分配律： ； 实数与向量相乘对于向量加法的分配律： ； 实数与向量相乘的结合律： . ⑤.平行向量定理： 如果向量与非零向量平行，那么存在 的实数m，使 . ⑥.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则： ， . ⑦.实数与向量相乘：设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作. 若，则； 若，则 ； ⑧向量的线性运算：向量 以及它们的 .已知是两个 的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量 的合成（向量分解为两个向量）； 向量是向量分别在方向上的 ，或者是向量关于的 . 1. 对相似形的定义理解不透彻 易错：分不清相似多边形的对应边、对应角。 注意：理解相似多边形的定义，明确“对应”关系，多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）. 2. 比例线段 易错：不注意线段的单位和顺序，直接套用概念。 注意：比例线段的顺序性与单位要统一，比例中项的应用一定要注意题目中的表述，例如题目中出现“线”或“单位”时，最终结果为正值；否则，正负两个值皆可取． 3. 比例的基本性质 易错：等比性质存在的条件。 注意：运用等比性质时要注意分母不能为0的特殊情况. 4. 黄金分割 易错：利用黄金分割时一定是： 。 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 5. 平行线分线段成比例 易错：易混淆截线与被截线，导致定理使用错误。 注意：使用时注意是直线被平行线所截。 6. 相似图形的概念与性质 易错：混淆两个图形相似与相似比的关系。 注意：两个图形的相似比与表述这两个图形相似的顺序有关，使用时要明确对应点，对应边等关系；相似只是图形的放大和缩小关系，与位置无关。 7. 相似三角形的判定 易错：易与三角形的判定定理混淆，。 注意：相似三角形的判定条件可简述为：AA（两角分别相等的两个三角形相似）；SAS（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）；SSS（三边对应成比例的两个三角形相似）；全等是相似的特殊情况，写三角形相似时对应点必须对应。 8. 平面向量的有关概念 易错：用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点；。 注意：两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”。 9. 向量的线性运算 易错：表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的。 注意：单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同 题型一　相似形的概念与性质 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 3．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 4．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 针对训练： 1．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 2．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 3．如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都是经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是 . 4． 已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 5．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 5． 设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 7．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 题型二　比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 5．已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为 厘米． 6．已知 ，且，试求的值． 针对训练： 1．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 2．在比例尺为的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为 平方千米． 3．已知，那么的值是 ． 4．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是 5．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 6．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 题型三　三角形一边的平行线 1．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，点D、E分别在边和上，且，那么 ． 针对训练： 1．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 2．已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，那么 ． 4．如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 题型四　三角形的重心 1．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 2．如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 3．如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为 ． 4．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 针对训练： 1．如图，点为 的重心，，，分别为，，的中点，且 的面积为，则 的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 2．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成的两条线段． （1）如图，在中，为中线，点是的重心，若，则 ； （2）如图，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为 ． 3．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2) 若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 题型五　相似三角形的判定 1．在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（    ）． A． B． C． D．不存在 2．如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 5.如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 针对训练： 1．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 3．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．    4．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF． 题型六　相似三角形的性质 1．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 ． 4．如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 5．如图，已知，，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 6．已知：如图，在中，点D，点E分别是边、上的点，和相交于点O，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 针对训练： 1．已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 3．已知，且，则 ． 4．如图，已知在四边形中，是对角线，． (1)求证：； (2)求的长． 5．如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边、上，的延长线交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)如果点F是边的中点，求的值； (3)延长、交于点H，联结、，如果与相似，求线段的长． 题型七　实数与向量相乘 1．下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 2．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 3．下列关于向量的说法中，错误的是（   ） A．如果，是非零向量，那么 B．如果是单位向量，那么 C．零向量的意思就是不存在向量 D．已知非零向量，如果向量，那么 针对训练： 1．在下列命题中，正确的命题的是（   ） A．若，则 B．平行的单位向量都相等 C．若且，则 D．零向量与任意向量共线 2．化简： ． 3．如图，在中，是边上的中线．设，． (1)求（用向量、的式子表示）； (2)如果点在中线上，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 题型八　向量的线性运算 1．如果点、分别在的边上， , ，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是边的中点，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．如图平行四边形中，对角线，交于点，下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 6．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 7．＝ ，＝ ，＝ ． 针对训练： 1．计算： ． 2．如图，在梯形中，，，是的中点，联结、交于点，如果，，那么用向量、表示向量为 3．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 4．如图，点在平行四边形的对角线上，且． (1)填空：______，______，______． (2)求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 5．如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 题型九　黄金分割 1．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 针对训练 1.点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则 ． 题型十　相似三角形的实际应用 1．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端． 已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 针对训练： 1．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片宽，焦距是，所拍摄的外的景物的宽为（ ） A． B． C． D． 2．如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 3．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 题型十一　相似三角形的动点问题 1．如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 针对训练： 1．如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 2．如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 题型十二　相似三角形的综合 1．如图，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一点，且AO:OB=2:5，过点O作垂足为D， （1）求点O到直线AC的距离OD的长；（图1） （2）若P是边AC上的一个动点，作交线段BC于Q（不与B、C重合）（图2） ①求证：； ②设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域； ③若与相似，求的长度. 2．（本题满分12分 第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D， CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 针对训练： 1．已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 2．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 3．翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 4．新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形 1.相似形的定义及性质： ①定义：形状相同的两个图形称为相似图形. ②性质：如果两个图形是相似图形，则这两个多边形对应角相等，对应边成比例；. 2.比例线段的定义及性质： ①两条线段的比：两条线段长度的比； ②比例线段：若a：b=c：d，则线段a，b，c，d叫做成比例线段； ③基本性质：； ④合比性质：； ⑤等比性质：. 3.黄金分割： ①定义：线段AB被点P分为AP和PB（AP>PB），满足AP2=AB·PB，则称线段AB被点P黄金分割；点P叫做线段AP的黄金分割点； ②黄金分割比：; 4.三角形一边的平行线： ①性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例； 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形的三边对应成比例； ②判定定理：若一直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边； 推论：若一直线截三角形的两边的延长线所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边. 5.平行线分线段成比例： ①平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例； ②平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 6.相似三角形的判定： 判定定理： ①两角（AA）对应相等的两个三角形相似； ②两边对应成比例且夹角（SAS）相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似； ④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 推论；平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 7.相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形的周长之比等于相似比； ③相似三角形的面积的比等于相似比的平方； ④相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 8. 三角形的重心： ①定义：三角形三条中线的交点； ②定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍； 9.平面向量的线性运算： ①定义：既有大小、又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； ②向量的表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向．如果有向线段表示一个向量，通常就直接说向量．这个向量的长度记作，它是一个数量；向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如、、、……．向量的长度记作； ③向量相关知识：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量．向量的相反向量用表示；方向相同或相反的两个向量叫做平行向量；一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作，规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；；长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则；于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，则，； ④运算律： 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：； 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：； 实数与向量相乘的结合律：. ⑤.平行向量定理： 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使. ⑥.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则： ， . ⑦.实数与向量相乘：设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作. 若，则； 若，则； ⑧向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算. 已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）； 向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式. 1. 对相似形的定义理解不透彻 易错：分不清相似多边形的对应边、对应角。 注意：理解相似多边形的定义，明确“对应”关系，多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）. 2. 比例线段 易错：不注意线段的单位和顺序，直接套用概念。 注意：比例线段的顺序性与单位要统一，比例中项的应用一定要注意题目中的表述，例如题目中出现“线”或“单位”时，最终结果为正值；否则，正负两个值皆可取． 3. 比例的基本性质 易错：等比性质存在的条件。 注意：运用等比性质时要注意分母不能为0的特殊情况. 4. 黄金分割 易错：利用黄金分割时一定是： 。 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 5. 平行线分线段成比例 易错：易混淆截线与被截线，导致定理使用错误。 注意：使用时注意是直线被平行线所截。 6. 相似图形的概念与性质 易错：混淆两个图形相似与相似比的关系。 注意：两个图形的相似比与表述这两个图形相似的顺序有关，使用时要明确对应点，对应边等关系；相似只是图形的放大和缩小关系，与位置无关。 7. 相似三角形的判定 易错：易与三角形的判定定理混淆，。 注意：相似三角形的判定条件可简述为：AA（两角分别相等的两个三角形相似）；SAS（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）；SSS（三边对应成比例的两个三角形相似）；全等是相似的特殊情况，写三角形相似时对应点必须对应。 8. 平面向量的有关概念 易错：用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点；。 注意：两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”。 9. 向量的线性运算 易错：表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的。 注意：单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同 题型一　相似形的概念与性质 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【解析】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 2．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误． 故选A． 3．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 4．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 【答案】 【解析】解：设较长边为b， ∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似， ∴， 整理得，， 解得，b=， 故答案为：. 针对训练： 1．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【解析】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 2．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【解析】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 3．如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都是经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是 . 【答案】1:3 【解析】分析：根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 解析：∵△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，∴△ABC∽△A′B′C′．∵OA′=3OA，∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是：OA：OA′=1：3．故答案为1：3． 4．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【解析】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 5．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 6．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 【答案】38 【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形， ∴， 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8， ∴， ∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6， ∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38． 7．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【解析】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 题型二　比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【解析】解：A．∵，∴、、、不成比例； B．∵，∴、、、不成比例； C．∵，∴、、、不成比例； D．∵，∴、、、成比例； 故选D． 2．若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设， , 故选：A． 4．已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 【答案】 【解析】解：线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为：． 5．已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为 厘米． 【答案】2 【解析】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 6．已知 ，且，试求的值． 【答案】 【解析】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 针对训练： 1．已知四个数，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】∵四个数，9，2，d成比例 ∴， ∴， 解得，． 故选：D． 2．在比例尺为的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为 平方千米． 【答案】5 【解析】解：∵比例尺为 ∴图上面积与实际面积的比为= ∴实际面积为20÷=（平方厘米） 平方厘米=5平方千米 故答案为：5． 3．已知，那么的值是 ． 【答案】 【解析】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 4．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是 【答案】3 【解析】解：∵6是m与12的比例中项， ∴， ∴ 故答案为：3． 5．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ， 令， 原式； （2）解： ， 令， 故， 解得， 6．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【答案】(1) (2)，，． 【解析】（1）解： ， ， ； （2）设， 则，，， ， ， ， ，，． 题型三　三角形一边的平行线 1．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解∶A． ， ， ， ， ，故该选项符合题意； B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意； C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意； D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 3．在中，点D、E分别在边和上，且，那么 ． 【答案】6 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：6． 针对训练： 1．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 2．已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由，在图中，即，不满足题意； B、由，在图中，即，满足题意； C、由，在图中，即，不满足题意； D、由，在图中，即，不满足题意； 故选：B． 3．如图，，，，那么 ． 【答案】6 【解析】∵，，， ∴，即 ∴． 故答案为：6． 4．如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设， 根据题意可得，， ， ， ，， ， 解得：（舍），， ； （2）由（1）知. 设， ∵，， ， 解得， . 题型四　三角形的重心 1．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点D， G是的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为． 故选：B． 3．如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 针对训练： 1．如图，点为 的重心，，，分别为，，的中点，且 的面积为，则 的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【详解】解：∵点为 的重心， ∴ ∵ 的面积为， 的面积为， 的面积为， 点为的中点， 的面积等于的面积， 的面积为． 故选：C． 2．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成的两条线段． （1）如图，在中，为中线，点是的重心，若，则 ； （2）如图，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 6 8 【详解】解：（1）在中，点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）在中，中线，相交于点，为的重心． ∴ ， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五　相似三角形的判定 1．在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（    ）． A． B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 故选C． 2．如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 3．如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：， A. ，能使与相似，不符合题意； B. ，能使与相似，不符合题意； C. ，不能使与相似，符合题意； D. ，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 4．如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加“”，理由： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 5.如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明： ， ， ， ， ， ， ． 针对训练： 1．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【解析】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 3．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．    【答案】△ADE∽△BDA 【解析】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE， ∴AD=，BD=2， ∴， ∵∠ADB=∠ADB， ∴△ADE∽△BDA． 4．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF． 【答案】见解析． 【解析】∵正方形ABCD ∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC ∵CE=CF ∴△DCF≌△ECB ∴∠CDF =∠CBE ∵∠CDF＋∠F=90 ∴∠CBE＋∠F=90 ∴∠BGF=90=∠DCF ∴△BGF∽△DCF 题型六　相似三角形的性质 1．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 2．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 3．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵和是位似图形， ∴，， ∵与的面积之比为， ∴与的相似比为，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，分别是和的高线， 又∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． 5．如图，已知，，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】的长为8 【详解】解：，、分别是它们对应的高线， ， ，， ， ． 即的长为8． 6．已知：如图，在中，点D，点E分别是边、上的点，和相交于点O，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 针对训练： 1．已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与相似，且周长比为， ∴相似比为， ∴面积比， 故选：D． 2．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 3．已知，且，则 ． 【答案】/50度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知在四边形中，是对角线，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 即， ∵，， ∴（负值舍去）， 在中，， ∴， ∴． 5．如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【详解】（1）过点作轴，垂足为点．    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴ （2）设点的坐标为， 过点作轴，垂足为点．    ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ （3）存在点，分两种情况：    ∵在中， ∵， ∴ 当点在轴时， ∵， ∴当与相似．有或 ∴或 ∴， 6．如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边、上，的延长线交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)如果点F是边的中点，求的值； (3)延长、交于点H，联结、，如果与相似，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解；联结． ∵菱形， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴∽． ∴． ∴． （2）解：过A作，垂足为点H． ∵菱形， ∴． ∴． ∵点F是边的中点， ∴． ∴． 设，则． ∴． ∵，． 在中，， 又 ∴． ∴，． 在中，， ∴． ∴． 解之得． ； （3）解：∵， ∴当或，与相似． （ⅰ）当时， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴∽． ∴． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． （ⅱ）当时，同理可得∽． ∴． 又， ∴． ∴．   题型七　实数与向量相乘 1．下列判断正确的是（   ） A． B．设为单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 【答案】C 【解析】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、设为单位向量，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，那么，正确，符合题意； D、如果，那么与不一定是相等向量或相反向量，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 2．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【答案】C 【解析】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 3．下列关于向量的说法中，错误的是（   ） A．如果，是非零向量，那么 B．如果是单位向量，那么 C．零向量的意思就是不存在向量 D．已知非零向量，如果向量，那么 【答案】C 【解析】解：A、如果，是非零向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． B、如果是单位向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． C、零向量并不是指不存在向量，而是指长度为零的向量，故原说法错误，该选项符合题意． D、已知非零向量，如果向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． 故选：C． 针对训练： 1．在下列命题中，正确的命题的是（   ） A．若，则 B．平行的单位向量都相等 C．若且，则 D．零向量与任意向量共线 【答案】D 【解析】选项A：若两向量模相等，方向未必相同．例如，向量与模均为1，但方向不同，故．A错误． 选项B：平行的单位向量方向可能相同或相反．如与均为单位向量且平行，但．B错误． 选项C：若为零向量，则与可能不平行．例如，，，时，且，但与不平行．C错误． 选项D：零向量方向任意，与任何向量均共线．根据定义，存在实数，使得，故零向量与任意向量共线．D正确． 综上，正确命题为D． 故选：D． 2．化简： ． 【答案】/ 【解析】解： 故答案为：． 3．如图，在中，是边上的中线．设，． (1)求（用向量、的式子表示）； (2)如果点在中线上，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)； (2)见解析 【解析】（1）∵是边上的中线， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）如图，过点E作，， 则就是在方向上的分向量 题型八　向量的线性运算 1．如果点、分别在的边上， , ，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， ， 故选：D 2．如图，在中，D是边的中点，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，D是边的中点， ∴ ∴ 故选：B． 3．如图平行四边形中，对角线，交于点，下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 4．如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 5．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【解析】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 6．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 【答案】 【解析】∵ ∴， ∴ 又∵ 故和相似比为1：2 则DE：BC=1：2 故 故答案为：． 7．＝ ，＝ ，＝ ． 【答案】 【解析】； ； ． 故答案是：；；． 针对训练： 1．计算： ． 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 2．如图，在梯形中，，，是的中点，联结、交于点，如果，，那么用向量、表示向量为 【答案】/． 【解析】解：∵，，是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【解析】（1）解：，， ∴， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 4．如图，点在平行四边形的对角线上，且． (1)填空：______，______，______． (2)求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 【答案】(1)，或，或； (2)作图见解析． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由法则可得， ， 故答案为：，或，或； （2）解：如图，作平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即为所求． 5．如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：， ，， ∵ ∴ ∵ ， ． （2）∵，， ∴ ∵， ∴ 题型九　黄金分割 1．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设最美人体的头顶至肚脐的长度为， 由题意，得：， ∴， ∴人的身高为：； 故选B． 2．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点， ， ， 故错误的是选项B， 故选：B． 3．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】或 【解析】解：依题意， 或 故答案为：或． 针对训练 1.点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解： 是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 2．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 3．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则 ． 【答案】 【解析】解：设，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 题型十　相似三角形的实际应用 1．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端． 已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 2．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 针对训练： 1．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片宽，焦距是，所拍摄的外的景物的宽为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵AB∥CD， ∴△AEB∽△DEC， ∴ ， ∴， ∴CD=， 故选D． 3．如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 【答案】树的高度为8.8米 【解析】解：过作于，交于， 则米，米， （米，（米， 由题意得，，， ， ， ， （米， 答：树的高度为米 3．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【解析】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 题型十一　相似三角形的动点问题 1．如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 2．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【解析】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 针对训练： 1．如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【解析】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 2．如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【解析】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 题型十二　相似三角形的综合 1．如图，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一点，且AO:OB=2:5，过点O作垂足为D， （1）求点O到直线AC的距离OD的长；（图1） （2）若P是边AC上的一个动点，作交线段BC于Q（不与B、C重合）（图2） ①求证：； ②设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域； ③若与相似，求的长度. 【答案】（1）；（2）①见解析；②；③或 【解析】解：（1）如图1，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 即点O到AC的距离是； （2）①如图3，作， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和△QPC中， ， ∴； ②如图3，作， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图4，当时，与相似， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得或， 如图5，作于点E， 当PQ平分时，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即点P为CD的中点, 由，可得， 解得， 综上可得：当与相似时，、或. 2．（本题满分12分 第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D， CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 【答案】（1）首先根据已知条件证得△BOE∽△COD，从而得出 再加上对顶角相等的条件即可得证所求． （2） 解析：（1）证明：在△BOE与△DOC中 ∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD ∴△BOE∽△COD ∴ 即 又∵∠EOD＝∠BOC ∴△EOD∽△BOC (2) ∵△EOD∽△BOC ∴ ∵S△EOD＝16，S△BOC＝36 ∴ 在△ODC与△EAC中 ∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE ∴△ODC∽△AEC ∴ 即 ∴ 针对训练： 1．已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 2．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【解析】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：设的长为x，由折叠得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 4．新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1) (2) (3)或或 【解析】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$