精品解析：福建省莆田市荔城区莆田砺志学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷

莆田砺志学校2024-2025学年上学期第三次学情检测 九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 4. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 8. 已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若点关于坐标原点的对称点是，则点的坐标为___________． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是________． 13. 若扇形的面积为，半径为3，则这个扇形圆心角的度数为______． 14. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有_____个． 15. 将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 _____． 16. 已知抛物线（为常数，）经过点，，且，则下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根（且），则；④若，抛物线过点，且，则．其中正确的结论是______（填序号）． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程： 18. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 19. 如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将骰子前进几格，开始骰子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题： （1）小明掷出骰子，数字3朝下的概率是______； （2）求小红第一次掷完骰子后，骰子前进到数字“7”那一格的概率（用列表或画树状图的方法进行解答）． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 21. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 22. 如图，为的直径，，弦交于点E，点F为直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 23. 综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 24. 在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） （1）如图，若，求证：． （2）如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 25. 已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； （3）如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2024-2025学年上学期第三次学情检测 九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故该图形是中心对称图形，符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，解题的关键是掌握相关的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：由题可知， 将酚酞试剂滴入溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中溶液，变红色是随机事件． 故选：A． 4. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减求出新的函数解析式，进而求出顶点坐标即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：， 故顶点坐标为：； 故选C． 5. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 6. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 8. 已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 9. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解∶在中，， 约为，， ，即． ． 故选∶B． 10. 如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系； （2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系； （3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可． 【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确； ②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确； ③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确． 故选D 【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若点关于坐标原点的对称点是，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于原点对称时横纵坐标的符号，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，即可解答本题． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是B， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 把代入一元二次方程，可得，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个解， ∴，解得：． 故答案为：． 13. 若扇形的面积为，半径为3，则这个扇形圆心角的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形圆心角的度数，设该扇形的圆心角的度数为，根据扇形面积计算公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴该扇形的圆心角的度数为， 故答案为：． 14. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据摸到红球的频率估计出摸出红球的概率，根据概率公式求出总球数，进而得出白球个数即可． 【详解】解：根据题意得： ， 则口袋中白球个数很可能是6个． 故答案为：6． 15. 将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，证，可得，已知点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，可得、的长，即得的值，设，则，可得的长，即得点到边的距离，关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：过作，交于点，交于点， ， 由题意得，，， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ． 故答案为：2． 16. 已知抛物线（为常数，）经过点，，且，则下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根（且），则；④若，抛物线过点，且，则．其中正确的结论是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可． 【详解】解：∵， ∴过， ∵，过点，， ∴函数的大致图象如下两种情况： 由函数图象可得，故①正确； 由函数图象可得当时，， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 方程有两个不相等的实数根（且），可以看成抛物线与交点横坐标为， 有函数图象可得：当时，；当时，； 故③错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∵， ∴解得， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，，即， 开平方得，， 解得，， ∴，． 18. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 19. 如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将骰子前进几格，开始骰子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题： （1）小明掷出骰子，数字3朝下的概率是______； （2）求小红第一次掷完骰子后，骰子前进到数字“7”那一格的概率（用列表或画树状图的方法进行解答）． 【答案】（1） （2）骰子前进到数字“7”那一格的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明掷出骰子，数字3朝下的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种可能，和为7即骰子前进到数字“7”那一格（和为6）的情况有3种， 所以骰子前进到数字“7”那一格的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求m的值以及点D坐标； （2）P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【小问1详解】 解：把点代入，得． 联立， 得． 【小问2详解】 易知，，， 则． 设P点坐标为，故， 解得或． 所以P点坐标为或． 21. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，点C的对应点为点D． （1）尺规作图：求作，使点A的对应点E恰好落在的延长线上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图所示， （2） 证明：设， ， ， 由旋转可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，作线段等于已知线段，即为所求； （2）设，由，可得，由旋转可知，，则，，证明，则，由，可得，则，进而结论得证． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴即为所求； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． 22. 如图，为的直径，，弦交于点E，点F为直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是的半径， 是的切线． （2）18 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，垂直的定义得出，再根据切线的判定即可求证结论． （2）连接，证明，推出，设，则，，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 是的直径， ， 在中，，， ，， 是的切线， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，即：， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆和三角形的综合题，主要考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】（1）方案1中，方案2中，矩形种植园面积最大为； （2）图示如下： （同（1）过程，可分别求得： 方案1：∵，则． ∴（）． ∴当时， ． 方案2： （） ∴当为12时，达到最大，最大值是48． 可见矩形种植园面积最大为，此时． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意，列出二次函数关系式，然后再求最值即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：根据题意得出面积的函数关系式，然后利用其性质求解即可；方案2：设，然后确定相应函数关系式求解即可； （2）同（1）方法类似，确定函数关系式求解即可． 【详解】（1）方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，， 方案2：设，则， ∴， ∵， 当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为； （2）略 24. 在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） （1）如图，若，求证：． （2）如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：设，，则， ∴，， ∴ ∴， ∴是的中点； 延长至使，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）①设，，则，可得，，即得，即可求证 证明，得到，再根据三线合一即可求证； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； （3）如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值即可； （2）连接，先求出点的坐标，设，求出，根据平分四边形的面积，得到，求解出符合题意的n的值即可； （3）过点N作轴，垂足为H，由题意易得为等腰直角三角形，得到，代入，得到关于m的方程，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 令，， 解得：， ， ， 抛物线交轴于点， ， 设， 则， 平分四边形的面积， ， 整理，得：， 解得（舍去，不符合题）， 点D的横坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点N作轴，垂足为H， ，且， ，， 两式相加，得， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， 满足条件的最小整数t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等，二次函数与一元二次方程，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $