精品解析：2026年 安徽淮南市寿县部分学校中考第三阶段测试数学试卷 （5月）

数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列有理数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. DeepSeek（深度求索）是一家专注于推动通用人工智能技术发展的中国科技公司，以“智能无限”为愿景，致力于通过前沿技术突破，打造具备广泛认知与问题处理的AI系统，比如AI模型DeepSeeK-V3总参数达6710亿，但每个输入只激活370亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将370亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 5. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 不存在 6. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，则的长为（ ） 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A A. B. C. D. 7. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是( ) A. B. 当时， C. 方程有两个不相等的实数根 D. 二次函数的图象的最低点的坐标为 10. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 绝对值小于的所有整数的和是_____． 12. 如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 13. 四张完全相同的卡片上分别写有函数从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是_____． 14. 在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么称点为点的“倍共生点”． （1）若点的坐标为时，点在直线上，且，是点的“5倍共生点”．则点的坐标为_________________； （2）如果点的坐标为，且在函数的图象上有且只有一个的“3倍共生点”，则的值为_______________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图，小芸在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米．请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）． 18. 如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． （1）求出反比例函数的表达式； （2）求出点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 世界环境日（World Environment Day）是联合国促进全球环境意识、推动政府关注并行动的主要媒介之一．联合国每年6月5日，联合国系统和各国政府开展活动．当天，联合国会选一个成员国举行纪念活动，并依当年主要环境问题和热点制定主题．某校七年级准备开展以“世界环境日”为主题的宣传活动．某校为了了解学生对“世界环境日”的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查结果统计，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“世界环境日”的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求证：点是的中点； （2）若，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在Rt中，，，点是边中点，，． （1）当点在线段上，点在线段上，时，的值是_______； （2）当点在射线上，点在射线上，点，不与点，重合，请探究，，之间的数量关系． 七、（本题满分12分） 22. 在学习完四边形，爱思考的小明发现：如图1和2，矩形中，，连接．点从点出发沿折线的运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设点在折线上运动的路径长为． （1）当点在上时， ①如图1，在上，且，求证：； ②如图2，当点恰巧落在边上时，求的值； （2）当时，求的值； 八、（本题满分14分） 23. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． （1）已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； （2）若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列有理数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 2. DeepSeek（深度求索）是一家专注于推动通用人工智能技术发展的中国科技公司，以“智能无限”为愿景，致力于通过前沿技术突破，打造具备广泛认知与问题处理的AI系统，比如AI模型DeepSeeK-V3总参数达6710亿，但每个输入只激活370亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将370亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：370亿． 故选：B． 3. 孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，画出这个几何体的左视图即可，理解左视图的定义，掌握几何体三视图的画法是解答本题的关键． 【详解】解：这个立体图形的左视图为： 故选：D． 4. 估计的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】A 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质推出的范围即可得到结果 【详解】解：∵ ， ∴ ，即. 不等式两边同乘，不等号方向改变，得. 不等式两边同时加，得，即. ∴ 的值在到之间 5. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 6. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，则的长为（ ） 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，可得，运用勾股定理在中，求得，由，可得点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴C、B、F三点共线， ∴，， 在中，， ∵，， ∴为的中点， ∴． 7. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定点，的坐标，进而确定线段的平移方式，进一步可得点的坐标，即可获得答案． 【详解】解：对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∵将线段平移至，点的对应点的坐标为， ∴线段的平移方式为先向上平移2个单位长度，再向左平移8个单位长度， ∴点的坐标为，即点的纵坐标是6． 8. 已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 9. 如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是( ) A. B. 当时， C. 方程有两个不相等的实数根 D. 二次函数的图象的最低点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，得到，，由抛物线的对称轴为直线得到，即可判断A选项；求出A，B的坐标，结合图象即可判断B选项；根据抛物线与直线有两个交点即可判断C选项；由得到二次函数，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴．故A选项正确． ∵与y轴交于点A，与x轴交于点B ∴令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴由图象可得，当时，．故B选项正确． ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程，即有两个不相等的实数根．故C选项正确． ∵， ∴， ∴二次函数， 当时，， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数的图象的最低点的坐标为．故D选项错误． 10. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，，根据全等三角形的性质结合等量代换证明，根据，即可证得，取的中点，连接，可得到的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当，，三点共线时，最小，根据勾股定理可得的长，从而可表示出的长，根据已知的长度的最小值列方程即可得解． 【详解】设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 如图1，取的中点，连接， ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图2，当，，三点共线时，最小， ，的最小值为， 长度的最小值为， ，解得， 正方形的边长是． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 12. 如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正六边形的性质求出扇形的半径，再根据多边形的内角和定理求出，然后根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵正六边形中，， ∴，， ∴扇形的面积． 13. 四张完全相同的卡片上分别写有函数从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质，找出符合“图象在第一象限内随的增大而增大”的结果个数，最后根据概率公式计算概率. 【详解】由题意可知，所有等可能的结果总数为. 逐一分析各函数的性质： 对于，它是正比例函数， ，在第一象限随的增大而增大，符合要求； 对于，它是反比例函数， ，第一象限内随的增大而减小，不符合要求； 对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，第一象限内随的增大而增大，符合要求； 对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，在第一象限内，当时随的增大而减小，不符合要求. 综上，符合要求的结果个数为，根据概率公式可得所求概率为. 14. 在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么称点为点的“倍共生点”． （1）若点的坐标为时，点在直线上，且，是点的“5倍共生点”．则点的坐标为_________________； （2）如果点的坐标为，且在函数的图象上有且只有一个的“3倍共生点”，则的值为_______________． 【答案】 ①. ②. 6或 【解析】 【分析】（1）由新定义“倍共生点”，到原点距离为1，得，结合在上，代入解方程即可； （2）设在函数的图象上的点是点的“3倍共生点”，由题意可得，，令判别式，解方程即可. 【详解】（1）点的坐标为，到原点的距离为1， 点在直线上， 是点的“5倍共生点”， ， 整理化简得，，解得或， ， ，即点； （2）设在函数的图象上的点是点的“3倍共生点”， 根据题意得， 化简得， 在函数的图象上有且只有一个的“3倍共生点”， 有且只有一个解，则也有且只有一个解， ，化简得， 解得或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， 当，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为，画图如下： ， 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据(1)得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 四、（本大题共2小题．每小题8分，满分16分） 17. 如图，小芸在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米．请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）． 【答案】树高约为14.6米． 【解析】 【分析】过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E．则在图中得到两个直角三角形，利用三角函数定义分别计算出ED和EC，求差即可． 【详解】解：过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E， 则∠AEC=∠BDC=90度， ∵∠EAC=45°，AE=BD=20米， ∴EC=20米， ∵tan∠ADB=tan∠EAD=， ∴AB=20•tan60°=20（米）， CD=ED﹣EC=AB﹣EC=20﹣20≈14.6（米）， 答：树高约为14.6米． ， 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，添加辅助线借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 18. 如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． （1）求出反比例函数的表达式； （2）求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为与轴交于点，得出，根据一次函数和反比例函数交于点A，且A的横坐标为1，求出A的纵坐标，求出，得出反比例函数的表达式． （2）作辅助线如下图，根据直角三角形的两个锐角互余，得出，所以，根据三角形相似的性质：相似三角形对应边成比例，求出的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数与轴交于点 ， 点A在直线上，且横坐标为1，把代入，解得 点的坐标为 在反比例函数上 反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，设 点的坐标为 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 世界环境日（World Environment Day）是联合国促进全球环境意识、推动政府关注并行动的主要媒介之一．联合国每年6月5日，联合国系统和各国政府开展活动．当天，联合国会选一个成员国举行纪念活动，并依当年主要环境问题和热点制定主题．某校七年级准备开展以“世界环境日”为主题的宣传活动．某校为了了解学生对“世界环境日”的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查结果统计，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“世界环境日”的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50， 补全图形如下： （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将D类的人数除以其百分比，即可求出本次调查抽取的学生人数；将学生人数减去A，C，D类的人数，求出B类的人数，即可补全条形统计图； （2）将B类的学生比例乘以，即可求解； （3）利用画树状图或列表的方式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查抽取的学生人数为（名）； B类别的学生人数为（名）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：扇形统计图中B部分的圆心角是． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 20. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求证：点是的中点； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：， ， ， ，是半径， ， ∴为的中点； （2）半径为5 【解析】 【分析】（1）由得到，进而有，根据垂径定理得到，因此，即可得证； （2）连接．设的半径为r，即，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理在Rt中构造方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 设的半径为r，即， ， ， 在Rt中，， ，解得， 的半径为5． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在Rt中，，，点是边中点，，． （1）当点在线段上，点在线段上，时，的值是_______； （2）当点在射线上，点在射线上，点，不与点，重合，请探究，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当时，根据平行线分线段成比例定理可以求出，可以证明四边形是正方形，根据正方形的性质可以求出； （2）当点在射线上，点在射线上时，当点在线段上，点在线段上时，可以求出；当点在线段外，点在线段外时，可以求出． 【小问1详解】 解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， 点是边中点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，当时，连接， ，点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 在与中，， ， ， ； 如图2所示，当时，连接， 点，不与点，重合，则不成立， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点是边中点， ， ， ， 在与中，， ， ， ， 综上所述，或． 七、（本题满分12分） 22. 在学习完四边形，爱思考的小明发现：如图1和2，矩形中，，连接．点从点出发沿折线的运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设点在折线上运动的路径长为． （1）当点在上时， ①如图1，在上，且，求证：； ②如图2，当点恰巧落在边上时，求的值； （2）当时，求的值； 【答案】（1）①证明：由旋转可知， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ② （2）的值为或 【解析】 【分析】先根据矩形边长计算的长度，明确旋转性质：，，这是所有小问的基础条件． （1）① 因为，所以，结合、，证明，得到对应角相等，结合矩形推导垂直关系．② 当在上时，作于，由①知，所以由勾股定理，得，由，可得，即． （2）先分点在上、在上两种情况，根据分别构造和，结合图形计算． 【小问1详解】 解：①略 ②如图，作于， 由①知， 在Rt中，， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：如图2，当点在上时，作于， 由（1）知，， ， 在Rt中，， 在Rt中，， ； 如图，当点在上时， 过点作于点，过点作于点，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ， 在Rt中，， ， ， 在Rt中，， ， 综上，的值为或． 八、（本题满分14分） 23. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． （1）已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； （2）若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 【答案】（1）①，②； （2） 【解析】 【分析】（1）①该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，顶点坐标为，再结合新定义求解即可； ②先判断顶点在的范围内，求得，从而求得抛物线的表达式及的值； （2）由二次函数的图象上不存在“三倍点”，可得无解，进一步可得，最后根据二次函数的性质，可求得答案． 【小问1详解】 解：①∵二次函数， ∴该函数图象向左平移5个单位，解析式为：， ∴顶点坐标为， ∵顶点刚好是三倍点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为：； ②∵， 抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，的最小值是， ， ， ，抛物线的表达式为， 当时，； 【小问2详解】 解：二次函数的图象上不存在“三倍点”， ∴无解， 整理得：， 判别式， 解得：， 而 ， 当时，， ∵，则图象开口向上， 当时，随的增大而减小， ∴时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $