第3节 成对数据的统计分析-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

小题查验 １．C　２．C　３．９４６ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[根据频率分布直方图 得,(０．０１＋a＋b＋０．０１８＋ ０．０１２)×１０＝１,解得a＋b＝０．０６．故选 C．] ２．AC　[依题意,(０．０１５＋０．０２５＋０．０３５＋０．００５＋２a)× １０＝１,解得a＝０．０１０,选项 A,∵最高小矩形的中点横 坐标为７５,∴众 数 是 ７５,故 A 正 确．选 项 B,设 样 本 的 ７１％分位数为x,又１０×(０．０１０＋０．０１５＋０．０２５)＝０．５, ∴０．５＋(x－７０)×０．０３５＝０．７１,解得x＝７６,故B错误． 选项C,平均数为４５×０．１＋５５×０．１５＋６５×０．２５＋７５× ０．３５＋８５×０．１＋９５×０．０５＝６８．５,故 C正确．选项 D,样 本中得分低于６０分的占(０．０１０＋０．０１５)×１０＝２５％, ∴该校学生中得分低于６０分的约占２５％,故 D错误．] 考点二 １．D　[由小到大排列的结果:６,７,１５,３６,３９,４０,４１,４２, ４３,４７,４９,一共１１项． 下四分位数即第２５百分位数,由１１×２５％＝２􀆰７５,得下 四分位数是第３项数据１５．] ２．A　[由直方图得,从左到右的第一、二、三、四小组的频 率分别是０􀆰１０、０􀆰２０、０􀆰４０、０􀆰３０． 第一、二、三 小 组 的 频 率 之 和 为 ０􀆰１０＋０􀆰２０＋０􀆰４０＝ ０􀆰７０＜０􀆰９０,所以第９０百分位数处在第四组[８０,１００] 内,为８０＋２０×０．９０－０．７０１．００－０．７０≈９３． ] ３．解析:把数据从小到大排序为１２,１５,２４,２５,３１,３２,３４, ３６,３６,３７,３９,４２,４８,５０共１４个数, １４×２５％＝３􀆰５,１４×７５％＝１０􀆰５,所以第２５,７５百分位 数分别是第４,１１项数据,即是２５,３９． 答案:２５　３９ 考点三 [典例１]　解:(１)根据题意有 １６＋２４＋x＋y＋１６＋１４＝２００, １６＋２４＋x y＋１６＋１４＝ ３ ２ ,{ 解得 x＝８０, y＝５０,{ ∴p＝０􀆰４０,q＝０􀆰２５． 补全频率分布直方图如图所示． (２)根据题意,抽取网购金额在(１,２]内的人数为 ２４ ２４＋１６×５＝３ (人)． 抽取网购金额在(４,５]内的人数为 １６２４＋１６×５＝２ (人)． 故此２人来自不同群体的概率P＝C １ ３C１２ C２５ ＝３５． [典例２]　[解]　(１)x＝１１０ (５４５＋５３３＋５５１＋５２２＋５７５＋ ５４４＋５４１＋５６８＋５９６＋５４８)＝５５２．３, y＝１１０ (５３６＋５２７＋５４３＋５３０＋５６０＋５３３＋５２２＋５５０＋ ５７６＋５３６)＝５４１．３, z＝x－y＝５５２．３－５４１．３＝１１, zi＝xi －yi 的 值 分 别 为:９,６,８,－８,１５,１１,１９,１８, ２０,１２, 故s２＝１１０ [(９－１１)２＋(６－１１)２＋(８－１１)２＋(－８－ １１)２＋(１５－１１)２＋０＋(１９－１１)２＋(１８－１１)２＋(２０－ １１)２＋(１２－１１)２]＝６１． (２)由(１)知:z＝１１,２ s ２ １０＝２ ６．１＝ ２４．４ ,故有z≥ ２ s ２ １０ , 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理 后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 跟踪训练 　解:(１)由表中的数据可得:􀭺x＝ １１０× [９．８＋１０．３＋１０．０ ＋１０．２＋９．９＋９．８＋１０．０＋１０．１＋１０．２＋９．７]＝１０．０, 􀭵y＝１１０× [１０．１＋１０．４＋１０．１＋１０．０＋１０．１＋１０．３＋１０．６＋ １０．５＋１０．４＋１０．５]＝１０．３, s２１＝ １ １０ [(９．８－１０．０)２ ＋ (１０．３－１０．０)２ ＋ (１０．０－ １０．０)２＋(１０．２－１０．０)２ ＋ (９．９－１０．０)２ ＋ (９．８－ １０．０)２＋(１０．０－１０．０)２＋(１０．１－１０．０)２＋(１０．２－ １０．０)２＋(９．７－１０．０)２]＝０．０３６, s２２＝ １ １０ [(１０．１－１０．３)２ ＋(１０．４－１０．３)２ ＋(１０．１－ １０．３)２＋(１０．０－１０．３)２＋(１０．１－１０．３)２＋(１０．３－ １０．３)２＋(１０．６－１０．３)２＋(１０．５－１０．３)２＋(１０．４－ １０．３)２＋(１０．５－１０．３)２]＝０．０４; (２)由(１)中的数据可得􀭵y－􀭺x＝１０．３－１０．０＝０．３, ２ s２１＋s２２ １０ ＝２ ０．０３６＋０．０４ １０ ＝２ ０．００７６ , 则０．３＝ ０．０９＞２ ０．００７６＝ ０．０３０４, 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设 备有显著提高． 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 一、１．相关关系　３．增加　增加　增加　减少 二、１．正相关　负相关　一条直线　２．相关性　不是 三、２．正相关　负相关　３．(１)[－１,１]　|r|≤１　(２)越强 (３)越弱　４．线性相关程度　正负性　程度　越大　越好 七、２．实数　３．{０,１} 八、总数 九、４．χ ２≥xα　不成立　不独立　不超过α　χ ２＜xα 没有　独立　卡方独立性检验 思考辨析　(１)√　(２)×　(３)×　(４)√　(５)√　(６)× 小题查验 １．A　２．A　３．C 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[由散点图可知身高与体重成正相关．] ２．A　[由题意不妨设,z＝ky＋b(k＞０), ∵y＝－０．１x＋１,∴z＝－０．１kx＋(k＋b), ∵－０．１＜０,－０．１k＜０,∴x与y负相关,x与z负相关．] ３．AB　[􀭺x＝３,代入ŷ＝１．５x＋０．５,􀭵y＝５． 因为重新求得的回归直线l的斜率为１．２,所以正相关． 设新的横坐标的平均值为􀭺x′,则(n－２)􀭺x′＝n􀭺x－(１．２＋ ４．８)＝３n－６＝３(n－２),􀭺x′＝３; 纵坐标的平均数为􀭵y′,则(n－２)􀭵y′＝n􀭵y－(２．２＋７．８)＝ n􀭵y－１０＝５n－１０＝５(n－２),􀭵y′＝５． 设新的线性回归方程为ŷ＝１．２x＋b,把(３,５)代入５＝ １􀆰２×３＋b,得b＝１􀆰４, 所以新的线性回归方程为ŷ＝１􀆰２x＋１􀆰４．故 A,B正确． 因为斜率 为 １􀆰２ 变 小,所 以 y 的 增 加 速 度 变 慢,故 C 错误． 把x＝２代入,得y＝３􀆰８,３􀆰７５－３􀆰８＝－０􀆰０５,故 D 错 误．故选 AB．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 考点二 １．解:(１)由题 意,得x＝ １５ × (１＋２＋３＋４＋５)＝３,y＝ １ ５× (０．３＋０．３＋０．５＋０．９＋１)＝０．６,􀰑 ５ i＝１ x２i ＝１＋４＋９ ＋１６＋２５＝５５． 所以b̂＝ 􀰑 ５ i＝１ xiyi－５x􀅰y 􀰑 ５ i＝１ x２i－５x２ ＝１１－５×３×０．６ ５５－５×３２ ＝０．２, â＝y－̂bx＝０．６－０．２×３＝０, 所以线性回归方程为ŷ＝０．２x． 线 性 相 关 系 数 r＝ 􀰑 ５ i＝１ xiyi－５x􀅰y (􀰑 ５ i＝１ x２i－５x２)(􀰑 ５ i＝１ y２i－５y２) ＝ １１－５×３×０．６ (５５－５×３２)(２．２４－５×０．６２) ＝ ２ ４．４ ≈０．９５２４＞ ０．９５, 这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关性较 强,用线性 回 归 方 程 ŷ＝０．２x 对 该 组 数 据 进 行 拟 合 合理． (２)若对项目B 投资x′(１≤x′≤６)百万元,则对项目 A 投资(７－x′)百万元, 所以所获得的总利润L＝０．１６x′－０．４９x′＋１＋０．４９＋０．２ (７ －x′)＝ １．９３ － ０．０４(x′＋１)＋０．４９x′＋１[ ] ≤ １．９３－ ２ ０．０４(x′＋１)×０．４９x′＋１＝１．６５ , 当且仅当０．０４(x′＋１)＝０．４９x′＋１ ,即x′＝２．５时取等号, (一定要求出等号成立的条件) 所以对A,B 项目分别投资４．５百万元,２．５百万元时, 所获得的总利润最大． ２．解:(１)由 Wi ＝lgIi,则 D̂ ＝â＋b̂W,由 表 得 b̂＝ ∑ １０ i＝１ (Wi－W)(Di－D) ∑ １０ i＝１ (Wi－W)２ ＝５．１０．５１＝１０． 所以â＝D－̂bW＝４５．７－１０×(－１１．５)＝１６０．７,所以D 关于W 的回归方程是D̂＝１０W＋１６０．７． 即D 关于I的回归方程是D̂＝１０lgI＋１６０．７． (２)点P的声音能量I＝I１＋I２,因为 １ I１ ＋４I２ ＝１０１０, 所以I＝I１＋I２＝１０－１０ １ I１ ＋４I２( )(I１＋I２)＝ １０－１０ ５＋ I２ I１ ＋ ４I１ I２( ) ≥９×１０ －１０(当且仅当I２ I１ ＝ ４I１ I２ 即I２ ＝２I１ 时等号成立)． 根据(１)中的回归方程,点P的声音强度D的预报值: D̂＝１０lg(９×１０－１０)＋１６０．７＝１０lg９＋６０．７＞６０,所以 点P 会受到噪声污染的干扰． 考点三 [典例]　解:(１)５８０人中体育锻炼时长不小于１小时人数占 比P＝４２＋３＋１＋１３７＋４０＋２７５８０ ＝ ２５ ５８ ,该地区２９０００名初中 学生中体育锻炼时长不小于１小时的人数约为２９０００×２５５８ ＝１２５００人． (２)该地区初中学生锻炼平均时长约为: １ ５８０ ０．５ ２ × (５＋１３４)＋０．５＋１２ × (４４＋１４７)[ ＋１＋１．５２ × (４２＋１３７)＋１．５＋２２ × (３＋４０) ＋２＋２．５２ × (１＋２７)]＝２７２９≈０．９h． (３)列联表 成绩 时长 时长[１,２) 其他时长 总计 优秀 ４５ ５０ ９５ 不优秀 １７７ ３０８ ４８５ 总计 ２２２ ３５８ ５８０ 提出零假设 H０:成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于１ 小时且小于２小时无关． χ ２＝５８０× (４５×３０８－１７７×５０)２ ９５×４８５×２２２×３５８ ≈３．９７６＞３．８４１． 有９５％的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长 不小于１小时且小于２小时有关． 跟踪训练 　解:(１)在１０００个样本中,超声波检查结果不正常的人 中患有该疾病的频率为１８０ ２００＝０．９ , 以样本频率估计总体概率,p的估计值为０．９． (２)H０:超声波检查结果与是否患病无关, χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝ １０００×(２０×２０－７８０×１８０)２ ８００×２００×２００×８００ ＝ １２２５０ １６ ＞１０．８２８ , 概率小概率值α＝０．００１的独立性检验,应拒绝零假设 H０,即超声波检查结果与是否患病有关． 第九章　　第１节 夯实􀅰必备知识　必备知识 　m＋n　m×n　独立　依存 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)√ 小题查验 １．D　２．C　３．D　４．４８０　５．９ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[分为以下两类: 第一类,从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路, 共有４种方法; 第二类,一个村最多修两条路,但是象下面这样的两个排列 对应一种修路方法,A－B－C－D,D－C－B－A,要去掉重 复的这样,因此共有有１ ２A ４ ４＝１２(种)方法． 根据分类加法计数原理,知道共有４＋１２＝１６(种),故 选 C．] ２．C　[(１)对子集A 分类讨论．当A 是二元集{１,２},B 可 以为{１,２,３,４},{１,２,４},{１,２,３},{１,２}共４种情况;当 A 是三元集{１,２,３},B 可以取{１,２,４},{１,２}共有２种 情况;当A 是三元集{１,２,４},B 可以取{１,２,３},{１,２}, 共有２种情况;当A 是四元集{１,２,３,４},此时B 取{１, ２}有１种情况,根据分类加法加法计数原理得４＋２＋２ ＋１＝９(种),故 符 合 此 条 件 的“理 想 配 集”有 ９ 个．故 选 C．] ３．C　[由题意知正方形ABCD(边长为３个单位)的周长 是１２, 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子 的点数之和是１２, 列举出在点数中三个数字能够使得和为１２的有１,５,６; ２,４,６;３,４,５;３,３,６;５,５,２;４,４,４;共有６种组合, 前三种组合１,５,６;２,４,６;３,４,５;又可以排列出 A３３＝ ６(种)结果, ３,３,６;５,５,２;有６种结果,４,４,４;有１种结果． 根据分类加法计数原理知共有２４＋１＝２５(种)结果,故 选 C．] 考点二 [典例]　[解析]　(１)从E 到G 最短路径条数为 C２４􀅰C２９ ＝１８．故选B． (２)有两个年级选择甲博物馆共有 C２６ 种情况,其余四个 年级每个年级各有５种选择情况,故有且只有两个年级 选择甲博物馆的情况有 C２６×５４ 种,故选 D． [答案]　(１)B　(２)D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 第３节　成对数据的统计分析 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本 相关系数与标准化数据向量夹角的关系,会通过相 关系数比较多组成对样本数据的相关性． ２．结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解 模型参数的统计意义,了解最小二乘法原理,掌握一 元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． ３．针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测． ４．通过实例,理解２×２列联表的统计意义,了解２×２ 列联表独立性检验及其应用． １．相关关系的判断,达 成直观想象和数据 分析的素养． ２．回归方程的求法及 回归分析,增强逻辑 推理、数据分析和数 学运算的素养． ３．独立性检验,增强逻 辑推理、数据分析和 数学运算的素养． 　　 预计 ２０２６年的高考 将以选择题、填空题的形 式考查线性回归系数或利 用线 性 回 归 方 程 进 行 预 测;在给出临界值的情况 下判 断 两 个 变 量 是 否 相 关;在解答题中与频率分 布相结合,考察线性回归 方程的建立及应用和独立 性检验的应用,难度中等 [必备知识] 一、相关关系 １．两个变量有关系,但又没有确切到由其中的一个 去精确 地 决 定 另 一 个 的 程 度,这 种 关 系 称 为 　　　　　　． ２．散点图 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来, 由这些点组成的统计图叫做散点图． ３．正相关、负相关 如果从整体上看,当一个变量的值　　　　时, 另一个变量的相应值也呈现　　　　的趋势,我 们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值 　　　　时,另一个变量的相应值呈现　　　　 的趋势,则称这两个变量负相关． 二、线性相关与非线性相关(或曲线相关) １．线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现　　　　或 　　　　,而且散点落在　　　　　　附近,我 们就称这两个变量线性相关． ２．非线性相关(或曲线相关) 一般地,如果两个变量具有　　　　,但　　　　 线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或 曲线相关． 三、样本相关系数 １．样本相关系数 对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成 对样本数据为(x１,y１),(x２,y２),􀆺,(xn,yn),其 中x１,x２,􀆺,xn 和y１,y２,􀆺,yn 的均值分别为 􀭺x 和􀭵y,记r＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２ ∑ n i＝１ (yi－􀭵y)２ ＝ ∑ n i＝１ xiyi－n􀭺x􀭵y ∑ n i＝１ x２i－n􀭺x２ ∑ n i＝１ y２i－n􀭵y２ ． 我们称r为变量x 和变量y 的样本相关系数． ２．样本相关系数的意义 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数 字特征,它的正负性和绝对值的大小可以反映成 对样本数据的变化特征:当r＞０时,称成对样本 数据 　 　 　 　;当 r＜０ 时,称 成 对 样 本 数 据　　　　． ３．相关系数r具有的性质 (１)样本相关系数r的取值样本范围为　　　　, 即　　　　; (２)当|r|越接近１时,成对样本数据的线性相关程 度　　　　; (３)当|r|越接近０时,成对样本数据的线性相关程 度　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ４．两个随机变量的相关性与样本相关系数r之间 的关系 两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据 进行分析,而样本相关系数r可以反映两个随机 变量之间的　　　　　　　　:r的符号反映了 相关关系的　　　　;|r|的大小反映了两个变 量线性相关的　　　　,即散点集中于一条直线 的程度．一般地,样本容量　　　　,用样本相关 系数估计两个变量的相关系数的效果　　　　． 四、一元线性回归模型 称下式为Y 关于x 的一元线性回归模型． Y＝bx＋a＋e, E(e)＝０,D(e)＝σ２．{ 其中,Y 称为因变量或响应变量,x 称为自变量 或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截 距参数,b称为斜率参数;e是Y 与bx＋a之间的 随机误差． 说明: (１)模型中的Y 也是随机变量,其值虽然不能由变 量x的值确定,但是却能表示为bx＋a与e的 和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随 机的． (２)如果e＝０,那么Y 与x 之间的关系就可用一元 线性函数模型来描述． 五、一元线性回归模型参数的最小二乘法 　我们将ŷ＝̂bx＋̂a称为Y 关于x 的经验回归方 程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形 称为经验回归直线,这种求经验回归方程的方法 叫做最小二乘法,求得的b̂,̂a叫做b,a的最小二 乘估计．其中: b̂＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２ ＝ ∑ n i＝１ xiyi－n􀭺x􀭵y ∑ n i＝１ x２i－n􀭺x２ , â＝􀭵y－̂b􀭺x ì î í ï ï ï ï 六、刻画回归效果的方式———残差分析 残差 对于响应变量Y,通过观测得到的数据 称为观测值,通过经验回归方程得到的 ŷ称为预测值,观测值减去预测值称为 残差． 残差图 利用图形来分析残差特性,作图时纵坐 标为残差,横坐标可以选为样本编号,或 身高数据,或体重估计值等,这样作出的 图形称为残差图． 残差 图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域 内,说明选用的模型比较适合,这样的带 状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度 越高． 意义 一般地,建立经验回归方程后,通常需要 对模型刻画数据的效果进行分析,借助 残差分析还可以对模型进行改进,使我 们能根据改进模型作出更符合实际的预 测与决策． 残差平 方和 残差平方和为∑ n i＝１ (yi－̂yi)２,残差平方和 越小,模型拟合效果越好． 决定系 数R２ R２＝１－ ∑ n i＝１ (yi－̂yi)２ ∑ n i＝１ (yi－􀭵y)２ ,R２ 越大,残差平 方和越小,模型的拟合效果越好;R２ 越 小,残差平方和越大,即模型的拟合效果 越差． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．相关关系与函数关系的异同 共同点:二者都是指两个变量间的关系; 不同点:函数关系是一种确定性关系,体现的是因 果关系,而相关关系是一种非确定性关系,体现的 不一定是因果关系,也可能是伴随关系． ２．相关系数:r＝ 􀰐 n i＝１ xiyi－n􀭺x􀭵y (􀰐 n i＝１ x２i－n􀭺x２)(􀰐 n i＝１ y２i－n􀭵y２) ,当 r＞０时,两变量正相关,当r＜０时,两变量负相关, 当|r|≤１且|r|越接近于１,相关程度越高,当|r| ≤１且|r|越接近于０,相关程度越低． 七、分类变量 １．分类变量:用一种特殊的随机变量,以区别不同 的现象或性质,这类随机变量称为分类变量． ２．取值:分类变量的取值可以用　　　　表示． ３．范围:本节主要讨论取值于　　　　的分类变量的 关联性问题． 八、２×２列联表 将如下表所示这种形式的数据统计表称为２× ２列联表,它给出了成对分类变量数据的交叉 分类频数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第八章　统计与成对数据的统计分析 性别 锻炼 不经常(Y＝０) 经常(Y＝１) 合计 女生 (X＝０) １９２ ３３１ ５２３ 男生 (X＝１) １２８ ４７３ ６０１ 合计 ３２０ ８０４ １１２４ 它包含了X 和Y 如下信息:最后一行的前两个 数分别是事件{Y＝０}和{Y＝１}中样本点的个 数;最后一列的前两个数分别是事件{X＝０}和 {X＝１}中样本点的个数;中间的四个格中的数 是表格的核心部分,给出了事件{X＝x,Y＝y} (x,y＝０,１)中样本点的个数;右下角格中的数 是样本空间中样本点的　　　　． 九、独立性检验 １．零假设H０:分类变量X 和Y 独立． ２．公式:χ２＝ n(ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)． ３．临界值:忽略χ２ 的实际分布与该近似分布的误 差后,对于任何小概率值α,可以找到相应的正实 数xα,使下面关系式成立:P(χ２≥xα)＝α． 我们称xα 为α的临界值,这个临界值可作为判断 χ２ 大小的标准．概率值α越小,临界值xα 越大． ４．独立性检验 基于小概率值α的检验规则是: 当　　　　时,我们就推断H０ 　　　　,即认为X 和Y 　　　　,就推断犯错误的概率　　　　; 当　　　　时,我们　　　　充分证据推断 H０ 不成立,可以认为X 和Y 　　　　． 这种利用χ２ 的取值推断分类变量 X 和Y 是否 独立的方法称为χ２ 独立性检验,读作“　　　　 　　　　”,简称独立性检验． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量 的关系是否可以用线性关系去表示． (　　) (２)经验回归直线ŷ＝̂bx＋̂a恒过样本中心点(􀭺x, 􀭵y),且至少过一个样本点． (　　) (３)在一元线性回归模型中,e是bx＋a与y 的随 机误差,它是一个可观测的量． (　　) (４)事件X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得 到的χ２ 的观测值越大． (　　) (５)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度 越窄,其模型拟合的精度越高． (　　) (６)由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过１％ 的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关,某人 数学成绩优秀,则他有９９％的可能物理优秀． (　　) [小题查验] １．(２０２４􀅰天津卷)下列图中,线性相关系数最大 的是 (　　) ２．(２０２５􀅰济宁三模)根据变量Y１ 和x的成对样本 数 据, 由 一 元 线 性 回 归 模 型 ① Y１＝b１x＋a１＋e１ E(e１)＝０,D(e１)＝σ２１{ ,得到经验回归模型ŷ＝ b̂１x＋̂a１,对应的残差如图(１)所示．根据变量Y２ 和x的成对样本数据,由一元线性回归模型② Y２＝b２x＋a２＋e２ E(e２)＝０,D(e２)＝σ２２{ ,得到经验回归模型ŷ＝ b̂２x＋̂a２,对应的残差如图(２)所示,则 (　　) A．模型 ① 的 误 差 满 足 一 元 线 性 回 归 模 型 的 E(e１)＝０的假设,不满足D(e１)＝σ２１ 的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的 E(e１)＝０的假设,满足D(e１)＝σ２１ 的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的 E (e２)＝０的假设,不满足D(e２)＝σ２２ 的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的 E(e２)＝０的假设,满足D(e２)＝σ２２ 的假设 ３．(２０２４􀅰上海卷)已知沿海地区气温和海水表层 温度相关,且样本相关系数为正数,对此描述正 确的是 (　　) A．沿海地区气温高,海水表层温度就高 B．沿海地区气温高,海水表层温度就低 C．随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度 呈上升趋势 D．随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度 呈下降趋势 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点一　相关关系的判断(自主练透) １．(２０２５􀅰扬州三模)某校５０名学生的身高与体重 的散点图如下:根据身高和体重散点图,下列说法 正确的是 (　　) A．身高越高,体重越重 B．身高越高,体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 ２．已知变量x和y 满足关系y＝－０．１x＋１,变量y 与z正相关．下列结论中正确的是 (　　) A．x与y 负相关,x与z负相关 B．x与y 正相关,x与z正相关 C．x与y 正相关,x与z负相关 D．x与y 负相关,x与z正相关 ３．(多选题)已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i＝１, ２,􀆺,n},求得的回归直线方程为 ŷ＝１􀆰５x＋ ０􀆰５,且 􀭺x＝３,现发现两个数据点(１􀆰２,２􀆰２)和 (４􀆰８,７􀆰８)误差较大,去除后重新求得的回归直 线l的斜率为１􀆰２,则 (　　) A．变量x与y 具有正相关关系 B．去除后的回归方程为ŷ＝１．２x＋１．４ C．去除后y的估计值增加速度变快 D．去除后相应于样本点(２,３．７５)的残差为０．０５ (１)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个 变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两 个变量负相关． (２)相 关 系 数:r＞０ 时,正 相 关;r＜０ 时,负 相关． (３)线性回归方程中:̂b＞０时,正相关;̂b＜０时, 负相关． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　回归分析(多维探究) [命题角度１]　线性回归分析 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰盐城市二模)某公司对项目A 进行生产 投资,所获得的利润有如下统计数据表: 项目A 投资 金额x/百万元 １ ２ ３ ４ ５ 所获利润 y/百万元 ０．３ ０．３ ０．５ ０．９ １ (１)请用线性回归模型拟合y与x 的关系,并用 相关系数加以说明; (２)该公司计划用７百万元对A,B 两个项目进 行投资,若公司对项目B投资x′(１≤x′≤６)百万 元所获 得 的 利 润 y′近 似 满 足:y′＝０．１６x′－ ０．４９ x′＋１＋０．４９ ,求A,B两个项目投资金额分别为 多少时,所获得的总利润最大? 附:①对于一组数据(x１,y１),(x２,y２),􀆺,(xn,yn), 其回归直线ŷ＝̂bx＋̂a的斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为̂b＝ 􀰑 n i＝１ xiyi－nx􀅰y 􀰑 n i＝１ x２i－nx２ ,̂a＝y－̂bx． ②线性相关系数r＝ 􀰑 n i＝１ xiyi－nx􀅰y (􀰑 n i＝１ x２i－nx２)(􀰑 n i＝１ y２i－n􀭵y２ ．一 般地,相关系数r的绝对值在０．９５以上(含０．９５)认 为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱． 参考数据:对项目A 投资的统计数据表中􀰑 ５ i＝１ xiyi ＝１１,􀰑 ５ i＝１ y２i＝２．２４,４．４≈２．１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第八章　统计与成对数据的统计分析 　　 (１)在分析实际中两个变量的相关关系时,可根 据样本数据作出散点图来确定两个变量之 间是否具有相关关系,也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系,则可通过 线性回归方程估计和预测变量的值． (２)正确运用计算b̂,̂a的公式和准确的计算,是 求线性回归方程的关键．并充分利用回归直 线ŷ＝̂bx＋̂a必过样本点的中心(x,y)进行 求值． [命题角度２]非线性回归分析 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．噪声污染已经成为影响 人们身体健康和生活质 量的严重问题．为了了解 声音强度 D 与声音能量 I之间的关系,将测量得 到的声音强度Di 和声音能量Ii(i＝１,２,􀆺,１０) 数据做初步处理,得到下面的散点图及一些统计 量的值． I D W ∑ １０ i＝１ (Ii－I)２ １．０４×１０－１１ ４５．７ －１１．５ １．５６×１０－２１ ∑ １０ i＝１ (Wi－W)２ ∑ １０ i＝１ (Ii－I)􀅰(Di－D) ∑ １０ i＝１ (Wi－W)􀅰 (Di－D) ０．５１ ６．８８×１０－１１ ５．１ 表中Wi＝lgIi,W＝ １ １０∑ １０ i＝１ Wi． (１)根据表中数据,求声音强度D 关于声音能量 I的回归方程D̂＝̂a＋̂blgI; (２)当声音强度大于６０分贝时属于噪音,会产生 噪声污染．城市中某点 P 共受到两个声源的影 响,这两个声源的声音能量分别是I１ 和I２,且 １ I１ ＋４I２ ＝１０１０．已知点P 的声音能量等于声音能量 I１ 与I２ 之和,请根据(１)中的回归方程,判断P 点是否受到噪声污染的干扰,并说明理由． 附:对于一组数据 (u１,v１),(u２,v２),􀆺,(un, vn),其回归直线v̂＝̂α＋̂βu的斜率和截距的最小 二乘估计分别为β̂＝ ∑ n i＝１ (ui－u)(vi－v) ∑ n i＝１ (ui－u)２ ,̂α＝̂v－ β̂u． 　　 非线性回归分析问题的处理方法 (１)描点,选模．画出已知数据的散点图,把它与 已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对 数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散 点拟合最好的函数． (２)解模．先对变量进行适当地变换,再利用线 性回归模型来解模． (３)比较检验．通过回归分析比较所建模型的 优劣． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点三　独立性检验(师生共研) [典例]　(２０２４􀅰上海卷)为了解某地初中学生体 育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区２９０００ 名学生中随机抽取５８０人,得到日均体育锻炼时 长(单位:小时)与学业成绩的数据如表所示: 时间范围 [０,０．５)[０．５,１)[１,１．５)[１．５,２)[２,２．５) 学业 成绩 优秀 ５ ４４ ４２ ３ １ 不优秀 １３４ １４７ １３７ ４０ ２７ (１)该地区２９０００名学生中日均体育锻炼时长 不小于１小时的人数约为多少? (２)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精 确到０．１小时)． (３)是否有９５％的把握认为学业成绩优秀与日 均体育锻炼时长不小于１小时且小于 ２小时 有关? 附:χ２＝ n(ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ,n＝a＋b＋ c＋d．P(χ２≥３．８４１)≈０．０５． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 (１)在２×２列联表中,如果两个变量没有关系, 则应满足ad－bc≈０．|ad－bc|越小,说明两 个变量之间关系越弱;|ad－bc|越大,说明两 个变量之间关系越强． (２)解决独立性检验的应用问题,一定要按照独 立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一 般步骤: ①根据样本数据制成２×２列联表; ②根据公式􀱽２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d) 计算χ２ 的观测值xα; ③比较x０ 与临界值的大小关系,作统计推断． 提醒:准确计算􀱽２ 的值是正确判断的前提． [跟踪训练] 　(２０２５􀅰全国一卷)为研究某疾病与超声波检查 结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调 查了１０００人,得到如下列联表: 组别 超声波检查结果 正常 不正常 合计 患该疾病 ２０ １８０ ２００ 未患该疾病 ７８０ ２０ ８００ 合计 ８００ ２００ １０００ (１)记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概 率为p,求p的估计值; (２)根据小概率值α＝０．００１的独立性检验,分析 超声波检查结果是否与患该疾病有关． P(χ２≥k) ０．０５０ ０．０１０ ０．００１ k ３．８４１ ６．６３５ １０．８２８ 附:χ２＝ n(ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 学习至此,请完成配套训练　课时冲关五十 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第八章　统计与成对数据的统计分析