课时冲关60 正态分布-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　课时冲关六十　正态分布　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．已知随机变量ξ服从正态分布N(２,σ２),且 P(ξ＜４)＝０．８,则P(０＜ξ＜２)＝ (　　) A．０．６　　　　　　　　　　B．０．４ C．０．３ D．０．２ ２．已知随机变量X~B(２,p)、Y~N(２,σ２),若 P(X≥１)＝０􀆰３６,P(０＜Y ＜２)＝p,则 P(Y＞４)＝ (　　) A．０􀆰１ B．０􀆰２ C．０􀆰３ D．０􀆰４ ３．(２０２５􀅰黑龙江大庆三模)若随机变量ξ~N (３,σ２),且P(ξ≤a)＝P(ξ≥b),则a２＋２b２ 的最小值为 (　　) A．１８ B．１８ ２ C．２４ D．２７ ４．(２０２５􀅰六安市三模)已知连续型随机变量ξ 服从正态分布 N １２ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷,记函数f(x)＝ P(ξ≤x),则f(x)的图象 (　　) A．关于直线x＝１２ 对称 B．关于直线x＝１４ 对称 C．关于点 １２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷成中心对称 D．关于点 １４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷成中心对称 ５．(多选题)(２０２５􀅰咸阳质检)在一次数学学 业水平测试中,某市高一全体学生的成绩X ~N(μ,σ２),且E(X)＝８０,D(X)＝４００,规 定测试成绩不低于６０分者为及格,不低于 １２０分者为优秀,令 P(|X－μ|≤σ)＝m, P(|X－μ|≤２σ)＝n,则 (　　) A．μ＝８０,σ＝４００ B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学 生,该生测试成绩及格但不优秀的概率 为m＋n ２ C．从该市高一全体学生中(数量很大)依次 抽取两名学生,这两名学生恰好有一名 测试成绩优秀的概率为１－n ２ ２ D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学 生,在已知该生测试成绩及格的条件下, 该生测试成绩优秀的概率为１－n １＋m ６．已知正态总体的数据落在区间(－３,－１)上 的概率和落在区间(３,５)上的概率相等,则 这个正态总体的均值为　　　　． ７．黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃 至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世 界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗 寨的游客人数ξ是服从正态分布N(２０００, １００００)的随机变量．则每天到西江苗寨的 游客人数超过２１００的概率为　　　　．(参 考数据:若ξ服从N(μ,σ２),有P(μ－σ≤ξ≤ μ＋σ)＝０􀆰６８２７,P(μ－２σ≤ξ≤μ＋２σ)＝ ０􀆰９５４５, P(μ－３σ≤ξ≤μ＋３σ)＝０􀆰９９７３) ８．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服 从正态分布,且使用寿命不少于２年的概率 为０􀆰８,使用寿命不少于６年的概率为０􀆰２．某 校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头, 则在４年内这两个摄像头都能正常工作的概 率为　　　　． ９．(２０２５􀅰济宁三模)每年的４月２３日是世界 读书日,设立的目的是推动更多的人去阅读 和写作,享受阅读带来的乐趣某高校为了解 在校学生的每周阅读时间 X(单位:小时), 对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取 了１００名学生的数据,统计如下表: 每周阅 读时间X [９,１１)[１１,１３)[１３,１５)[１５,１７)[１７,１９)[１９,２１)[２１,２３] 频率 ０．０５ ０．１ ０．１５ ０．４ ０．２ ０．０６ ０．０４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　　第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (１)根据频率分布表,估计这１００名学生每 周阅读时间的平均值􀭺x(同一组数据用该组 数据区间的中点值表示); (２)若认为目前该校学生每周阅读时间 X 服从正态分布N(μ,σ２),用(１)中的平均值􀭺x 近似代替μ,且P(１４≤X≤１７．７６)＝０．５,若 某学生周阅读时间不低于１４小时,该同学 可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励 方案:“阅读之星”可以获赠２次随机购书 卡,其他同学可以获赠１次随机购书卡．每 次获赠的随机购书卡的金额和对应的概 率为: 购书卡的 金额(单位:元) ２０ ５０ 概率 ３ ４ １ ４ 记Y(单位:元)为甲同学参加问卷调查获赠 的购 书 卡 的 金 额,求Y 的 分 布 列 与 数 学 期望． １０．某市为提升中学生的环境保护意识,举办 了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复 赛两个环节,预赛成绩排名前三百名的学 生参加复赛．已知共有１２０００名学生参加 了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机 地抽取１００人的预赛成绩作为样本,得到 如下频率分布直方图: (１)规定预赛成绩不低于８０分为优良,若 从上述样本中预赛成绩不低于６０分的学 生中随机地抽取２人,求至少有１人预赛 成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人 数的数学期望; (２)由频率分布直方图可认为该市全体参 加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N (μ,σ２),其中μ可近似为样本中的１００名学 生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区 间的中点值代替),且σ２＝３６２,已知小明的预 赛成绩为９１分,利用该正态分布,估计小明 是否有资格参加复赛? (３)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均 为１００分;②参赛学生可在开始答题前自 行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉 (即减去)一定分数来获取答题资格,规定 答第k题时“花”掉的分数为０．２k(k＝１,２, 􀆺,n);③每答对一题加２分,答错既不加 分也不减分;④答完n题后参赛学生的最 终分数即为复赛成绩,已知参加复赛的学 生甲答对每道题的概率均为０．８,且每题答 对与否都相互独立．若学生甲期望获得最 佳的复赛成 绩,则 他 的 答 题 数 量n 应 为 多少? 附:若Z~N(μ,σ２),则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ) ≈０．６８２７,P(μ－２σ≤Z≤μ＋２σ)≈ ０．９５４５,P(μ－３σ≤Z≤μ＋３σ)≈０．９９７３; ３６２≈１９． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 课时冲关五十九 LD[PI)=1-PE=2=1-S=÷故选D] C 2.A[3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C× 0.6×(1一0.6)，投中3次的概率为P(k=3)=0.6,所以 通过测试的概率为P(k=2)十P(k=3)=C×0.6×(1 0.6)+0.6=0.648.故选A.] 3.BLX一B(10,p),所以10p(1-p)=2.4,且C。p(1 p)°<C。p(1-p)'. p=号或=号 3 即 .p=0.6.] 1 4ACD[对于A,易知D)=4X子×(1-子）子，而 72十1，所以D(7)=2×D()=3.A正确：对于B,共 有7个数据，而7×60%=4.2，故第60百分位数为9，B 错误：对于C,若样本数据1·x,…,工，的平均数为2，则 3x1十1,3x2十1，…，3z,十1的平均数为3×3+1=10，C 正确：对于D,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个 体，年个个体被抽到的概率都是号D正确] 5.ABL已知：服从正态分布N(120,g),则正态曲线的 对称轴为直线以=120， 因为132-120=120一108=12， 所以P(108)=P(≥132)=0.1， 那么P(108<×132)=1-P(108)-P(≥132)=1 一0.1一0.1=0.8，故选项A正确：从一批药品中随机抽 取3盒，每盒药品有效成分含量在区间(108,132)的概率 为0.8，且各盒之间相互独立，所以X一B(3,0.8),所以 E(X)=3×0.8=2.4,所以E(2X十1)=2E(X)十1=2 ×2.4+1=5.8,故选项B正确：所以D(X)=3×0.8× (1一0.8)=3×0.8×0.2=0.48，则D(3X)=3×D(X) =9×0.48=4.32,故选项C错误：P(X≥1)=1一P(X =0)=1一0.2=0.992，故选项D错误.」 6,解析：因为X一B(2,p),所以P(X≥1)=1一P(X=0)= 1-C91-p=号，解得p=子 又YB(3,p), 所以PY>1D-1-PY-0)=1-CG1-p-器 答案号 7解析：恰好有2辆共享自行车被粗用的概率为P= C 器2= = 答案： 8.解析：本题考查了条件概率， 二项分布的期望， 设，A,表示第一次跑5圈， A,表示第二次跑5图 B表示一周跑11圈. P(B)=P(A).P(A:/A)-P(A)P(A./A) =0.5×0.6+0.5×0.6 =0.3+0.3=0.6. 1周运动量不达标，每次5图和周均10图. P(A)·P(A2/A1)=0.5×0.4=0.2. .1周运动量达标为1一0.2=0.8， 则X一B(4,0.8) .E(X)=np=4×0.8=3.2. 答案：0.63.2 9.解：(1)依题意，X的所有可能取值为一10,0,10. PX=-10)-（-号)×2-号 Px=o)-号×2+(0-号)(0-）=是· ·41 参考答案 P(X=10)= ×(-）品 所以X的分布列为 X-100 10 P 11 52 所以BX0=(-10)×号+0X号+10X是=1 3 (2)在一轮比赛中记甲实验班不输给乙实验班为事件A, 4 所以5轮比赛，甲实险班至少有4轮不输给乙实脸班的 桃奉为P-c(传)×+C(信)-器+器 =2304 3125 10.解：(1)由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同 的，因为甲，乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比 为6：7：5， 所以若只取】个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率 7 7 为P=6+7+5-18 (2)设事件A,B,C分别表示随机抽取的1个音乐片段 分别是由甲、乙、丙工作宣录制的， 若只取1个音乐片段，则P(A)=6+7-5一言， 61 所以由乙或丙工作室录制的概率为P(A)=1一P(A) = 2 3 依题意可知X的可能取值为01.2，且XB(2号)） 所以PX=0)=G×(付)广×（学）=音P(x=1) 2 3 ,Px=2)=C×()广×（号） =6 所以X的分布列为 X 0 4 9 9 数学期望BC0=0X合+1x号+2X号=号 (3)设事件D表示音乐片段被录用，由(1)(2)知P(B) -P(C) 5 所以P(DA)=0.8,P(DB)=0.6,P(DC)=0.6. P(D)=P(ADUBDUCD)=P(AD)+P(BD)+ P(CD)=P(A)P(DA)+P(B)P(D B)+P(C) P(DO=号×0.8+0×0,6+是×0,6=号≈0,67， 即《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为 0.67. 又0.67>0.65，所以此次音乐片段的可用率高于以往 平均可用率 课时冲关六十 1.C[画出正态分布曲线如图，结 合图象知： P(<0)=P(>4)=1- P(<4)=1-0.8=0.2,7 P0<<2)=2P(0<K4)= 0 21-P8×0)-P(>40]=21-0.2-0.2)=0.3] 艺考生文化课百日冲关·数学 2.C[.随机变量X-B(2,p),Y~-V(2,g),P(X≥1)= 0.64,.P(X≥1)=P(X=1)十P(X=2)=Cp(1-p) 十Cp=0.36,可得p=0.2,进而P(0<Y<2)=p 0.2,由此能求出P(Y>4)=P(Y<0)=0,3. 3.C[由题意可得宁中=3，则b=6-a,所以a'+26=a 2 +2(6-a)2=3a2-24a+72=3(a-4)+24,易知当a= 4时，a2十2b的最小值为24.] 4C[由连续型随机变量服从正态分布N(侵，)可 得=立口=子可得=名=子，所以正态害度曲 线关于x=子对称，即P长)=P(≥1-，由f =P(长x),可得(z)=P(≤x)在r≤2时增加较快， 在x>之时增加越来越授，所以f()无对称轴，故AB 错误；f(x)十f(1一x)=P(x)十P(1一x)=P( 1-x)+P(1-x)=1, 所以fx)关于点（侵，号）成中心对称，故C正确，D 错误.] 5.BCD[对A:由E(X)=80,D(X)=400,则4=80，a2 400,故A错误；对于B:由=80，g=400,则XV(80, 20),则4-0=80-20=60,4十26=80十2×20=120，故 有P(60X100)=m,P(40≤X120)=n,则P(100 ≤X≤120)=”m,则P(60≤X≤120)=”，m+m= m十”，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，这 生测试成绩及格但不优秀的概率为””，故B正确；对 2 C:P(X>120)=,”,则从该市高一全体学生中（数量 很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试 成续优秀的概率为P=2×2×(-）=2, 故C正确：对D:P(X≥60)=是+受，又P(X2120) 气，故从该布高一全体学生中随机抽取一名学生，该 生测这成绩及格的概率为了十受，接生测试咸续优秀的 概单为，则在巴知演生测孩成维及格的条件下，谊 1-n 2 生调武成绩优秀的概率为1 1一”，故D正确.门 1十m 6.解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明 在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外， 因为区间（一3，一1）和区间(3,5)的长度相等，说明正态 曲线在这两个区间上是对称的.因为区间（一3，一1）和 区间(3,5)关于x=1对称，所以正态总体的均值为1. 答案：1 7.解析：：服从正态分布N(,)的随机变量在区间[ 0,4十0内取值的概率分别为0.6827，随机变量服从正 态分布V(2000,100),,每天到西江苗素的游客人数 超过2100的城率为7×(1-0,6827)≈0.1587， 答案：0.1587 8.解析：由题意知P(≥2)=0.8，P(≥6)=0.2， .P(<2)=P(≥6)=0.2.∴.正态曲线的对称轴为直 线x=4,即P(≥)=立即每个摄像头在4年内能正 常工作的概率为2心两个该品牌的摄像头在4年内都 能正常工作的概率为之×了= 答案： ·41 9.解：(1)x=10×0.05十12×0.1+14×0.15+16×0.4十 18×0.2+20×0.06+22×0.04=15.88. (2)由P(14X17.76)=0.5,且正态密度曲线关于x =4=15.88对称， 所以P(X<14)=P(X>17.76) 1-P(14≤X≤17.762=1 PX≥1)=1-PX<1=1-= 由题意甲为“阅读之星”的概奉为子 甲获赠胸书卡金额Y的可能取位为20,40,50,70,100， PY=20)=×=：PY=40)=××号 .3 PY=50)-×-PY=7o)=C×× 1 1 4 -是 3 64 故Y的分布列为： Y 20 a 50 70 100 27 9 16 64 6 32 64 所以EYD=20×i X31A0×+50X16千70X32+ 9 64 +100 ×=3020=48 1 故甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额为 48.125元. 10.解：(1)预赛成绩在[60,80)范国内的样本量为：0.0125 ×20×100=25,预赛成绩在[80,100)范围内的样本量 为：0.0075×20×100=15， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,可能取值为 012,XeD-S94号+C高又PX=0 8 C题3·P(X=1)= C 3P(X=2) C 7 52 则X的分布列为： X 0 1 2 P 25 13 5252 故E(0=0X音1×多+2×品 3 (2)4=x=(10×0.005+30×0.01+50×0.015十70× 0.0125十90×0.0075)×20=53， g=362,则G=19,又Z~V(53,362), 故P(Z>91)=P(Z≥n+2o)=71-P-2a<Z<r +2a)]≈0.02275， 故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有120000 ×0.02275=273人，因为273<300，故小明有资格参 加复赛 (3)设学生甲答对的题目数为：，复赛成绩为Y,则 SB(n,0.8),故E(3=0.8n, Y=100-0.2(1+2+3十…十n)十2， 故E(Y)=100-0.2(1十2+3+…十n)十2E()= 1 因为n∈N”,所以答题数量为7或8时，学生甲可获得 最佳的复赛成绩