第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

４．解:∵an＋１＝ ２an an＋２ ,a１＝１,∴an≠０, ∴ １an＋１ ＝１an ＋１２ ,即 １ an＋１ －１an ＝１２ , 又a１＝１,则 １ a１ ＝１, ∴ １an{ }是以１为首项, １ ２ 为公差的等差数列． ∴１an ＝１a１ ＋(n－１)×１２＝ n ２＋ １ ２ , ∴an＝ ２ n＋１ (n∈N∗ )． 第２节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)２　同一个常数　公差　(２)a＋b２ 　２． (１)a１＋(n－１)d　 (n－m)d　(２)na１＋ n(n－１) ２ d　３． (２)递增　递减　常数 列　(３)md　４．大　小 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)×　(６)√ 小题查验 １．C　２．B　３．C　４．１２　５．９５ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[设公差为d,则a４＋a５＝a１＋３d＋a１＋４d＝２４,S６ ＝６a１＋ ６×５ ２ d＝４８ ,联立得 ２a１＋７d＝２４　 ①, ６a１＋１５d＝４８　②,{ ①×３－②得(２１－１５)d＝２４,６d＝ ２４,所以d＝４．] ２．A　 [五 人 分 得 的 鹿 构 成 等 差 数 列 {an},d＜０．a１ ＝ １＋２３＝ ５ ３ ,S５＝５,∴５× ５ ３＋ ５×４ ２ d＝５ ,解得d＝－１３ , ∴a５＝ ５ ３－ １ ３×４＝ １ ３． ] ３．B　[因为S３＝３a２＝６,所以a２＝２,因为S５＝５a３＝－５, 所以a３＝－１,所以{an}的公差d＝a３－a２＝－３,所以a１ ＝５,所以S６＝６a１＋１５d＝６×５－１５×３＝－１５．] 考点二 [母题]　[解]　(１)证明:当n≥２时,由an＋２SnSn－１＝０, 得Sn－Sn－１＝－２SnSn－１,所以 １ Sn － １Sn－１ ＝２, 又 １ S１ ＝ １a１ ＝２,故 １Sn{ } 是 首 项 为 ２,公 差 为 ２ 的 等 差 数列． (２)由(１)可得１Sn ＝２n,∴Sn＝ １ ２n． 当n≥２时, an＝Sn－Sn－１＝ １ ２n－ １ ２(n－１)＝ n－１－n ２n(n－１) ＝－ １２n(n－１)． 当n＝１时,a１＝ １ ２ 不适合上式． 故an＝ １ ２ ,n＝１, － １２n(n－１) ,n≥２． ì î í ïï ï [子题１]　解:(１)证明:当n≥２时,an＝Sn－Sn－１且Sn(Sn －an)＋２an＝０． ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－１)]＋２(Sn－Sn－１)＝０, 即SnSn－１＋２(Sn－Sn－１)＝０． 即１ Sn － １Sn－１ ＝１２． 又１ S１ ＝１a１ ＝１２． 故数列 １ Sn{ }是以首项为 １ ２ ,公差为１ ２ 的等差数列． (２)由(１)知１Sn ＝n２ ,∴Sn＝ ２ n ,当n≥２时, an＝Sn－Sn－１＝－ ２ n(n－１) 当n＝１时,a１＝２不适合上式, 故an＝ ２,n＝１, － ２n(n－１) ,n≥２．{ [子题２]　解:一、选择条件①③ 已知{an}为等差数列,a２＝３a１,设公差为d, 则a２＝３a１＝a１＋d,即d＝２a１, 因为Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝n ２a１, 则 Sn＝ a１􀅰n(a１＞０), 所以数列{ Sn}为等差数列． 二、选择条件①② 已知{an}为等差数列,数列{ Sn}为等差数列,设{an}的 公差为d,则an＝a１＋(n－１)d,Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ １ ２n ２d＋ a１－ d ２( )n,若数列{ Sn}为等差数列,则a１＝ d ２ ,所以a２＝a１＋d＝３a１． 三、选择条件②③ 已知数列{ Sn}为等差数列,a２＝３a１,设公差为d, 则 S２－ S１＝d,即 ４a１－ a１＝d, 则a１＝d２, Sn＝ S１＋(n－１)d＝nd, 则Sn＝n２d２, an＝Sn－Sn－１＝２d２n－d２, 所以数列{an}为等差数列． 考点三 [典例]　(１)B　[因为数列{an}为等差数列,所以a４＋２a９ ＋a２０＝２a１２＋２a９＝２４,所 以a１２＋a９＝１２,所 以 S２０＝ ２０(a１＋a２０) ２ ＝１０ (a１＋a２０)＝１０(a１２＋a９)＝１２０．] (２)[解析]　由题意,可知 S偶 ＋S奇 ＝３５４, S偶 S奇 ＝ ３２ ２７ ,{ ∴ S偶 ＝１９２, S奇 ＝１６２．{ 又项数为１２的等差数列中S偶 －S奇 ＝６d＝１９２－１６２, ∴d＝５． [答案]　５ (３)解:①由于 ２Sn n ＋n＝２an＋１ ,变形为２Sn＝２nan＋n－ n２,记为i式,又当n≥２时,２Sn－１＝２(n－１)􀅰an－１＋n－ １－(n－１)２,记为ⅱ式, ⅰ－ⅱ可得(２n－２)an－(２n－２)an－１＝２n－２, n≥２,n∈N∗ , 即an－an－１＝１,n≥２,n∈N∗ , 所以{an}是等差数列． ②由题意可知a２７＝a４a９,即(a１＋６)２＝(a１＋３)(a１＋８),解得 a１＝－１２,所以an＝－１２＋(n－１)×１＝n－１３,其中a１＜a２ ＜􀆺＜a１２＜０,a１３＝０, 则Sn 的最小值为S１２＝S１３＝－７８． 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)２　同一个　公比　q　(２)等比中项　± ab ２．(１)a１qn－１　(２) a１(１－qn) １－q 　３． (１)apaq　(２)递增 递减　常数列　(３)qm　(４)qn 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 小题查验 １．D　２．D　３．A　４．C　５．２ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．B　[设等比数列{an}的公比为q,则由a１＝３,a１＋a３＋ a５＝２１,得３(１＋q２＋q４)＝２１,解得q２＝－３(舍去)或q２ ＝２,于是a３＋a５＋a７＝q２(a１＋a３＋a５)＝２×２１＝４２．] ２．AD　[由题可知 a１＋a１q＋a１q２＝７ a１q２＝１ q＞０ { ,解得 q＝ １ ２ a１＝４{ 所以an＝４× １ ２( ) n－１ ＝ １２( ) n－３ ,则a５＝ ( １２ ) ５－３ ＝ １ ４ ,S５＝ ４× [１－ ( １２ ) ５ ] １－１２ ＝３１４ , an＋Sn＝ ( １２ ) n－３ ＋ ４× [１－ ( １２ ) n ] １－１２ ＝ ( １２ ) n－３ ＋８－ ８× ( １２ ) n ＝８．] ３．解析:S６＝３＋６＋１２＋２４＋４８＋９６＝１８９． 答案:１８９ 考点二 [典例]　[解]　(１)由条件可得an＋１＝ ２(n＋１) n an． 将n＝１代入得,a２＝４a１,而a１＝１,所以a２＝４． 将n＝２代入得,a３＝３a２,所以a３＝１２． 从而b１＝１,b２＝２,b３＝４． (２){bn}是首项为１,公比为２的等比数列． 由条件可得 an＋１ n＋１＝ ２an n ,即bn＋１＝２bn,又b１＝１, 所以{bn}是首项为１,公比为２的等比数列． (３)由(２)可得 an n ＝２ n－１,所以an＝n􀅰２n－１． 跟踪训练 　解:(１)证明:由题意得a１＝S１＝１＋λa１, 故λ≠１,a１＝ １ １－λ ,a１≠０． 由Sn＝１＋λan,Sn＋１＝１＋λan＋１,得an＋１＝λan＋１－λan,即 an＋１(λ－１)＝λan, 由a１≠０,λ≠０,得an≠０,所以 an＋１ an ＝ λλ－１． 因此{an}是首项为 １ １－λ ,公比为 λ λ－１ 的等比数列, 于是an＝ １ １－λ λ λ－１( ) n－１ ． (２)由(１)得Sn＝１－ λ λ－１( ) n ． 由S５＝ ３１ ３２ ,得１－ λλ－１( ) ５ ＝３１３２ ,即 λ λ－１( ) ５ ＝１３２． 解得λ＝－１． 考点三 [典例]　(１)A　[由等差数列性质得a２＋a１２＝２a７,所以 ４a７－a２７＝０,又a７≠０,所以a７＝４,b７＝４,由等比数列性 质得b３b１１＝b２７＝１６．] (２)[解析]　设数列{an}的公比为q, 由a１a２a３＝４＝a３１q３ 与a４a５a６＝１２＝a３１q１２, 可得q９＝３,an－１anan＋１＝a３１q３n－３＝３２４, 因此q３n－６＝８１＝３４＝q３６,所以n＝１４． [答案]　１４ (３)[解析]　因为函数f(x)＝x２－４x＋４的零点为２,所以 等比数列{an}的公比q＝２．因为a２７＝a５􀅰a９＝４,所以a７＝２, 所以a１２＝a７􀅰q５＝２６,所以log２a１２＝log２２６＝６． [答案]　６ 跟踪训练 １．C　[各项均为正数的等比数列{an}中,因为(a１＋a３)(a５ ＋a７)＝４a２４ 成立,即a１a５＋a１a７＋a３a５＋a３a７＝４a２４ 成立．利 用等比数列的定义和性质化简可得a２３＋a２４＋a２４＋a２５＝ ４a２４,进一步化简得a２３＋a２５＝２a２４．设公比为q,则得a２１q４ ＋a２１q８＝２a２１q６,化简可得１＋q４＝２q２,即(q２－１)２＝０,所 以q２＝１,故q＝１(由于各项均为正数的等比数列,故q＝ －１舍去)．故此等比数列是常数列．] ２．解析:由 S１０ S５ ＝３１３２ ,a１＝－１,知公比q≠１, S１０－S５ S５ ＝－１３２． 由 等比数列前n项和的性质知S５,S１０－S５,S１５－S１０成等比数 列,且公比为q５,故q５＝－１３２ ,q＝－１２． 答案:－１２ 第４节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１) n(a１＋an) ２ 　na１＋ n(n－１) ２ d　na１　 a１(１－qn) １－q a１－anq １－q 思考辨析　(１)√　(２)√　(３)×　(４)√　(５)√ 小题查验 １．B　２．D　３．A　４．n２＋１－１ ２n 　５．４ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．A　[因为a２,a４,a８ 成等比数列,所以a２４＝a２􀅰a８,所以 (a１＋６)２＝(a１＋２)􀅰(a１＋１４),解得a１＝２．所以Sn＝ na１＋ n(n－１) ２ d＝n (n＋１)．] ２．解析:公共项为１,７,１３,􀆺,数列{an}是以１为首项６为 公差的等差数列,其前n项和为１＋６n－５２ n＝３n ２－２n． 答案:３n２－２n ３．解:(１)设{an}的公比为q(q＞０且q≠１),由题设得 ２q２＝４q＋１６,即q２－２q－８＝０． 解得q＝－２(舍去)或q＝４． 因此{an}的通项公式为an＝２×４n－１＝２２n－１． (２)由(１)得bn＝(２n－１)log２２＝２n－１,因此数列{bn}的 前n项和为１＋３＋􀆺＋２n－１＝n２． 考点二 [典例]　[解]　(１)设等差数列{an}的公差为d(d≠０), Sn S２n ＝k． 因为a１＝１,则n＋ n(n－１) ２ d＝k ２n＋ ２n(２n－１) ２ d[ ] , 整理得(４k－１)dn＋(２k－１)(２－d)＝０, 因为对任意n∈N∗ 上式均成立, 所以 (４k－１)d＝０, (２k－１)(２－d)＝０,{ 解得d＝２,k＝ １ ４ , 所以数列{an}的通项公式为an＝２n－１． 因为b２n＋１＝bnbn＋２,b１＝２,又 b２ b１ ＝２, 所以数列{bn}是首项为b１＝２,公比为２的等比数列． 所以bn＝２n． (２)由(１)知an＝２n－１,bn＝２n． 因为cn＝an＋bn,数列{cn}的前n项和为Tn, 所以Tn ＝ (a１ ＋a２ ＋ 􀆺 ＋an)＋ (b１ ＋b２ ＋ 􀆺 ＋bn) ＝[１＋３＋ 􀆺 ＋ (２n－１)]＋ (２＋２２ ＋ 􀆺 ＋２n ) ＝n [１＋(２n－１)] ２ ＋ ２(１－２n) １－２ ＝n２＋２n＋１－２． 所以数列{cn}的前n项和Tn＝２n＋１＋n２－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 第３节　等比数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过生活中的实例,理解等比数列的概念 和通项公式的意义． ２．探索并掌握等比数列的前n项和公式,理 解等比数列的通项公式与前n项和公式 的关系． ３．能在具体的问题情境中,发现数列的等比 关系,并解决相应的问题． ４．体会等比数列与指数函数的关系 １．等比数列的基本运算,达成 逻辑推理和数学运算素养． ２．等比数列的判定与证明,发 展 数 学 抽 象 和 数 学 运 算 素养． ３．等比数列的性质及应用,提 升 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素养 　　等比数列的定义、通项公 式及前n项和公式,等比数列的 性质,以及求a１、q、an、n、Sn 的 基本运算是高考的热点．高考 考查形式多样,选择题、填空题 主要考查等比数列的基本运算 和性质,难度不大．在解答题中 常与等差数列、数列求和等问 题综合考查,难度中等 [必备知识] １．等比数列的概念 (１)如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前 一项的比等于　　　　常数,那么这个数列叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　, 公比通常用字母q(q≠０)表示． 数学语言表达式:an an－１ ＝　　(n≥２,q为非零 常数),或an＋１ an ＝q(n∈N∗ ,q为非零常数)． (２)如果三个数a,G,b成等比数列,那么 G 叫做 a与b的　　　　　　,其中G＝　　　　． ２．等比数列的通项公式及前n项和公式 (１)若等比数列{an}的首项为a１,公比是q,则其通 项公式为an＝　　　　; 通项公式的推广:an＝amqn－m． (２)等比数列的前n 项和公式:当q＝１时,Sn＝ na１;当q≠１时,Sn＝　　　　＝ a１－anq １－q ． 推广:当q≠０,１时,{an}是等比数列⇔Sn＝ Aqn－A(A 为常数且A≠０)． ３．等比数列的性质 已知{an}是等比 数 列,Sn 是 数 列 {an}的 前n 项和． (１)若m＋n＝p＋q,则aman＝　　　　,其中 m, n,p,q∈N∗ ,特别地,若２s＝p＋q,则apaq＝ a２s,其中p,s,q∈N∗． (２)等比数列{an}的单调性 当q＞１,a１＞０或０＜q＜１,a１＜０时,数列{an} 是　　　　数列; 当q＞１,a１＜０或０＜q＜１,a１＞０时,数列{an} 是　　　　数列; 当q＝１时,数列{an}是　　　　． (３)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,ak＋m,ak＋２m,􀆺仍是等比数列,公比为 　 (k,m∈N∗)． (４)当q≠－１,或q＝－１且n为奇数时,Sn,S２n－Sn, S３n－S２n仍成等比数列,其公比为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　等比数列的主要性质 设数列{an}是首项为a１,公比是q的等比数列,Sn 是其前n项和． １．若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列, 则数列{ban},{pan􀅰qbn}和 pan qbn{ }(其中b,p,q 是非零常数)也是等比数列． ２．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn． ３．若a１􀅰a２􀅰􀆺􀅰an＝Tn,则Tn, T２n Tn ,T３n T２n ,􀆺成 等比数列． ４．若数列{an}的项数为２n,则 S偶 S奇 ＝q ;若项数为 ２n＋１,则 S奇－a１ S偶 ＝q． ５．等比数列{an}的单调性 当 a１＞０, q＞１{ 或 a１＜０, ０＜q＜１{ 时,{an}为递增数列,当 a１＞０, ０＜q＜１{ 或 a１＜０, q＞１{ 时,{an}为递减数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)若一个数列从第２项起每一项与它的前一项 的比都是常数,则这个数列是等比数列．(　　) (２)三 个 数a,b,c 成 等 比 数 列 的 充 要 条 件 是 b２＝ac． (　　) (３)满足an＋１＝qan(n∈N∗ ,q为常数)的数列 {an}为等比数列． (　　) (４)如果{an}为等比数列,bn＝a２n－１＋a２n,则数 列{bn}也是等比数列． (　　) (５)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是 等差数列． (　　) [小题查验] １．设{an}是等比数列,且a１＋a２＋a３＝１,a２＋a３＋ a４＝２,则a６＋a７＋a８＝ (　　) A．１２　　　B．２４　　　C．３０　　　D．３２ ２．(２０２５􀅰上饶质检)已知等比数列{an}的前３项 和为１６８,a２－a５＝４２,则a６＝ (　　) A．１４ B．１２ C．６ D．３ ３．(２０２５􀅰东营二模)已知正项等比数列{an}中,a１ ＝１,且－a５,a４,a６ 成等差数列,则a２＝ (　　) A．２ B．３ C．４ D．６ ４．(２０２５􀅰济宁三模)记Sn 为等比数列{an}的前n 项和,若S４＝－５,S６＝２１S２,则S８＝ (　　) A．１２０ B．８５ C．－８５ D．－１２０ ５．(２０２５􀅰全国一卷)若一个等比数列的各项均为 正数,且前４项的和等于４,前８项的和等于６８, 则这个数列的公比等于　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　等比数列的基本运算(自主练透) [题组集训] １．已知等比数列{an}满足a１＝３,a１＋a３＋a５＝２１, 则a３＋a５＋a７＝ (　　 ) A．２１ B．４２ C．６３ D．８４ ２．(多选题)(２０２５􀅰全国二卷)记Sn 为等比数列 {an}的前n项和,q为{an}的公比,q＞０．若S３＝ ７,a３＝１,则 (　　) A．q＝１２ B．a５＝ １ ９ C．S５＝８ D．an＋Sn＝８ ３．(２０２５􀅰滁州质检)已知首项为３,公比为２的等 比数列,设等比数列的前n项和为Sn,则S６＝ 　． 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (１)方程的思想:等比数列中有五个量a１,n,q, an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程 (组)求关键量a１ 和q,问题可迎刃而解． (２)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式 涉及对公比q的分类讨论,当q＝１时,{an} 的前n项和Sn＝na１;当q≠１时,{an}的前 n项和Sn＝ a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ． 提醒:运用等比数列的前n项和公式时,必须 对q＝１与q≠１分类讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　已知数列{an}满足a１＝１,nan＋１＝２(n＋１) an．设bn＝ an n． (１)求b１,b２,b３; (２)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (３)求{an}的通项公式． 逻辑推理———等比数列判定与证明中的核心素养 　　根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否 是等比数列作出判断与证明,是从一般到特殊的推 理,使学生学会有逻辑地思考问题,形成合乎逻辑 的思维品质,是高中生必须具备的最基础又应用最 广的一种核心素养． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 信息提取 信息解读 数学运算、逻辑推理 已知数列{an} 满足a１＝１, nan＋１＝２(n＋１) an 的递推关系 式,求b１,b２,b３ 先求出a２, a３,再 利 用 bn ＝ an n 求 b１,b２,b３ 着眼点１:数学运算: (１)先求出a２,a３; (２)再求出b１,b２,b３ 判断数列 {bn} 是否为等比数 列,并说明理由 由b１,b２,b３ 判断数列的 类型并证明 着眼点２:逻辑推理: 定 义 法 证 明 数 列 {bn}为等比数列 求{an}的通项 公式 先求出数列 {bn}的通项 公式 着眼点３:数学运算: (１)先求出数列{bn} 的通项公式; (２)再求出{an}的通 项公式 [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 等比数列的判定方法 (１)定义法:若 an＋１ an ＝q(q为非零常数,n∈N∗ ) 或 an an－１ ＝q(q为非零常数且n≥２,n∈N∗ ), 则{an}是等比数列． (２)中项公式法:若数列{an}中,an≠０且a２n＋１ ＝an􀅰an＋２(n∈N∗ ),则数列{an}是等比 数列． (３)通项公式法:若数列通项公式可写成an＝c 􀅰qn－１(c,q均是不为０的常数,n∈N∗),则 {an}是等比数列． (４)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和 Sn＝k􀅰qn－k(k为常数且k≠０,q≠０,１), 则{an}是等比数列． 提醒:(１)前两种方法是判定等比数列的常用 方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定． (２)若要判定一个数列不是等比数列,则只需 判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练] 已知数列{an}的前n项和Sn＝１＋λan,其中λ ≠０． (１)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (２)若S５＝ ３１ ３２ ,求λ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　等比数列的性质及应用(师生共研) [典例]　(１)已知各项不为０的等差数列{an}满足 ２a２－a２７＋２a１２＝０,数列{bn}是等比数列,且b７＝a７, 则b３b１１＝ (　　 ) A．１６ B．８ C．４ D．２ (２)在正项等比数列{an}中,已知a１a２a３＝４, a４a５a６＝１２,an－１anan＋１＝３２４,则n＝　　　　． (３)正项等比数列 {an}的公比恰 好 等 于 函 数 f(x)＝x２－４x＋４的零点,且a５􀅰a９＝４,则 log２a１２＝　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 (３)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略 题型 求解策略 求基本 量的值 在解决等比数列的有关问题时, 利用性质“若m＋n＝p＋q,则am 􀅰an＝ap􀅰aq”可以减少运算量, 提高解题速度．要注意性质成立 的前提条件,有时需要进行适当 变形．此外,解题时注意设而不求 思想的运用 确定 单调性 利用数列相邻两项的大小关系或 求出公比,从而判断单调性 求最大(小) 值或比 较大小 根据题目条件,认真分析,确定首项与 公比,发现具体的变化特征,利用等比 数列的单调性或基本不等式求解 [跟踪训练] １．在各项均为正数的等比数列{an}中,(a１＋a３)(a５＋ a７)＝４a２４,则下列结论中正确的是 (　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是常数列 D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减 数列 ２．等比数列{an}的首项a１＝－１,前n项和为Sn, 若 S１０ S５ ＝３１３２ ,则公比q＝　　　　． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关三十 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第４节　数列求和 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．熟练掌握等差、等比 数 列 的 前 n 项 和 公式． ２．掌握非等差数列、非 等比数列求和的几 种常见方法 １．公式法求和,达成数学抽象和数学运算素养． ２．分组转化法求和,发展逻辑推理和数学运算 素养． ３．裂项相消法求和,提升逻辑推理和数学运算 素养． ４．错位相减法求和,增强逻辑推理和数学运算 素养 　　本节主要考查:(１)等差数列 和等比数列的求和．(２)使用裂项 法、错位相减法求和．(３)根据周期 性、奇偶数项的不同的分组求和． 一般以数列的基本问题为先导,在 解决数列基本问题后考查数列求 和,在求和后有时与不等式、函数、 最值等问题综合．以解答题为主, 难度中等或稍难 [必备知识] 　求数列的前n项和的方法 (１)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝　　　　＝　　　　　　　　． ②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝１时,Sn＝　　　; (ⅱ)当q≠１时,Sn＝　　　　＝　　　　． (２)分组转化法 把数列适当拆分,分为几个等差、等比数列,先 分别求和,然后再合并,形如: ①{an±bn},其中{an}是等差数列,{bn}是等比 数列; ②an＝ f(n),n＝２k－１, g(n),n＝２k(k∈N∗)．{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学