第五章 第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第3节　等比数列及其前n项和 1．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝(　　) A．28　　　　　　　 B．32 C．64 D．14 解析：B　[设等比数列{an}的公比为q， ∵a2＝2，a5＝16， ∴a1q＝2，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2. 则a6＝25＝32.] 2．已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64，则tan＝(　　) A. B．－ C．－ D．± 解析：B　[数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64＝a，则a3＝－4，a7＝±8， 根据等比数列的性质可得a7＝8舍去， ∴a7＝－8，∴a4a6＝a3·a7＝32， ∴tan＝tan ＝tan ＝－tan ＝－.] 3．(2025·北京卷)已知 {an} 是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　) A．－20 B．－18 C．16 D．18 解析：C　[由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解． 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2， 所以a＝a3a6，即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d＝2或d＝0(舍去)， 所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16.] 4．(多选题)已知数列{an}是等比数列， 则下列命题正确的是(　　) A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋1}是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 解析：ABC　[因为数列{an}是等比数列，所以＝q.对于A，＝＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，A正确；对于B，＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，＝＝，所以数列是等比数列，C正确；对于D，＝＝，不一定是常数，所以D错误．] 5．数列{an}为正项递增等比数列，满足a2＋a4＝10，a＝16，则loga1＋loga2＋…＋loga10＝(　　) A．－45　 B．45　　 C．－90　 D．90 解析：D　[因为{an}为正项递增等比数列， 所以an＞an－1＞0，公比q＞1. 因为a2＋a4＝10，①且a＝16＝a3·a3＝a2·a4，② 由①②解得a2＝2，a4＝8.又因为a4＝a2·q2，得q＝2或q＝－2(舍)．则得a5＝16，a6＝32， 因为loga1＋loga2＋…＋loga10＝5loga5a6 ＝5log16×32＝5×9log2＝45×2log＝90.] 6．(2025·济南质检)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1， 因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2， 则a7＝a1q·q5＝1×(－2)＝－2. 答案：－2 7．(双空填空题)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若S2＝，S4＝，则a6＝____________，an＝____________. 解析：由题知数列{an}为等比数列，公比q>0且q≠1，由得解得故a6＝a1q5＝×25＝8，an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－3. 答案：8　2n－3 8．(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞1，记In＝{x－y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an＋1]}，若对任意正整数n，In是闭区间，则q的取值范围是________． 解析：由题意不妨设x＞y，若x，y均在[a1，a2]，则有x－y∈[0，a2－a1]，若x，y均在[an，an＋1]，则有x－y∈[0，an＋1－an]，若x，y分别在两个区间，则x－y∈[an－a2，an＋1－a1]，又因为q＞1，总有In是闭区间，则an－a2≤an＋1－an恒成立即可，化简得qn－1(q－2)＋q≥0，所以有q≥2恒成立． 答案：[2，＋∞) 9．(2025·深圳市二模)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，n∈N*，求数列{bn}的最大项． 解：(1)由题意知Sn＝na1＋n(n－1)， 又因为S＝S1·S4， 即(2a1＋2)2＝a1·(4a1＋12)，解得a1＝1， 又d＝2，所以an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝＝， 设t＝2n－1，(t＝1,3,5，…)， 所以n＝，又因为t＞0，所以f(t)＝＝＝，(t＝1,3,5，…) 因为函数在t≥3时递减，所以f(t)的最大值可能出现在t＝1或t＝3时， t＝1时，n＝1，b1＝＝， t＝3时，n＝2，b2＝＝＞， 所以数列{bn}的最大项为b2＝. 10．(2024·全国甲卷(文))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和． 解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3，两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，即3an＋2＝5an＋1，所以等比数列{an}的公比q＝，又因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，即2a1＝5a1－3，所以a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n－1. (2)因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝(an＋1－1)＝. 设数列{Sn}的前n项和为Tn 则Tn＝×－n ＝×n－n－. 学科网（北京）股份有限公司 $