第1节 数列的概念与简单表示法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第１节　数列的概念与简单表示法 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．了解数列的概念和几种简单 的表示方法(列表、图象、通项 公式)． ２．了解数列是自变量为正整数 的一类特殊函数 １．由数列的前几项求数列的通项公式,达成 数学抽象素养． ２．由an 与Sn 的关系求通项an,发展逻辑 推理和数学运算素养． ３．由数列的递推关系求数列的通项公式,增 强逻辑推理和数学运算素养 　　简单数列的通项公式 的求解,数列的前n项和与 通项 的 关 系,求 数 列 的 各 项,及由Sn 求an 是高考的 热点．高考中三种题型都有 可能出现,试题难度中等 [必备知识] １．数列的概念 (１)数列的定义:按照　　　　排列的一列数称为 数列,数 列 中 的 每 一 个 数 叫 做 这 个 数 列 的 　　　． (２)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看 成以　　　　　　　　　　为定义域的函数 an＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次 取值时所对应的一列函数值． (３)数列有三种表示法,它们分别是　　　　　　、 　　　　　　　和　　　　　　． ２．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数　　 无穷数列 项数　　 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋１　　an 递减数列 an＋１　　an 常数列 an＋１＝an 其中n∈N∗ 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M,使|an|≤M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的 前一项,有些项小于它的前一 项的数列 ３．数列的两种常用的表示方法 (１)通项公式:如果数列{an}的第n项an 与　　　　 之间的关系可以用一个式子　　　　来表示,那 么这个公式叫做这个数列的通项公式． (２)递推公式:如果已知数列{an}的第１项(或前几 项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an 与它的前一项an－１(或前几项)间的关系可以 用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式． ４．已 知 数 列 {an }的 前 n 项 和 Sn,则 an ＝ 　　　　　(n＝１), 　　　　　　(n≥２)．{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．一些常见数列的通项公式 (１)数列１,２,３,４,􀆺的通项公式为an＝n; (２)数列２,４,６,８,􀆺的通项公式为an＝２n; (３)数列１,３,５,７,􀆺的通项公式为an＝２n－１; (４)数列１,２,４,８,􀆺的通项公式为an＝２n－１; (５)数列１,４,９,１６,􀆺的通项公式为an＝n２; (６)数列１,１２ ,１ ３ ,１ ４ ,􀆺的通项公式为an＝ １ n． (７)数 列 １,－１,１,－１,􀆺 的 通 项 公 式 为an ＝ (－１)n－１或(－１)n＋１; (８)数列－１,１,－１,１,􀆺的通项公式为an＝(－１)n． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８􀅰 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋２．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋１＝an＋f(n) 累加法 a１＝１, an＋１＝an＋２n an＋１＝anf(n) 累乘法 a１＝１, an＋１＝２nan an＋１＝pan＋q (p≠０,１,q≠０) 构造等 比数列 a１＝１, an＋１＝２an＋１ an＋１＝pan＋q􀅰pn＋１ (p≠０,１,q≠０) 构造等 差数列 a１＝１,an＋１ ＝３an＋３n＋１ 其中(１)an＋１＝pan＋q(p≠０,１,q≠０)的求解方 法是:设an＋１＋λ＝p(an＋λ),即an＋１＝pan＋ pλ－λ,与an＋１＝pan ＋q 比 较 即 可 知 只 要λ ＝ qp－１． (２)an＋１＝pan＋q􀅰pn＋１(p≠０,１,q≠０)的求解方 法是两端同时除以pn＋１,即得 an＋１ pn＋１ － an pn ＝q, 数列 an pn{ }为等差数列． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)１,１,１,１,􀆺不能构成一个数列． (　　 ) (２)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列． (　　 ) (３)所有数列的第n项都能使用公式表达． (　　 ) (４)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式 可能不止一个． (　　 ) (５)已知an＋２＝f(an＋１,an)时,如果要确定这个 数列,则必须知道初始值a１,a２． (　　 ) (６)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈ N∗ ,都有an＋１＝Sn＋１－Sn． (　　 ) [小题查验] １．(２０２５􀅰长沙市模拟)已知数列的前４项为２,０,２,０, 则依此归纳该数列的通项不可能是 (　　 ) A．an＝(－１)n－１＋１　　B．an＝ ２,n为奇数, ０,n为偶数{ C．an＝２sin nπ ２ D．an＝cos (n－１)π＋１ ２．数列{an}的通项公式为an＝２n－１１,Sn 为其前n项 和,则Sn 的最小值为 (　　) A．－９　　 B．－７　　 C．－３　　 D．－１９ ３．(２０２５􀅰柳州质检)嫦娥二号卫星在完成探月任务 后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳 飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球 绕日周期的比值,用到数列{bn}:b１＝１＋ １ a１ ,b２＝ １＋ １ a１＋ １ a２ ,b３＝１＋ １ a１＋ １ a２＋ １ a３ ,􀆺,依此类推,其中 ak∈N∗(k＝１,２,􀆺)．则 (　　) A．b１＜b５ B．b３＜b８ C．b６＜b２ D．b４＜b７ ４．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝x－１x , 设an＝f(n)(n∈N∗),则{an}是　　　　数列(填 “递增”或“递减”)． ５．在数列{an}中,a１＝１,an＋２＝an＋１－an(n∈N∗),则 a１００＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透) [题组集训] １．已知n∈N∗,给出４个表达式: ①an＝ ０,n为奇数, １,n为偶数,{ ②an＝ １＋(－１)n ２ , ③an＝ １＋cosnπ ２ ,④an＝ sin nπ ２ ． 其中能作为数列:０,１,０,１,０,１,０,１,􀆺的通项公式 的是 (　　 ) A．①②③　　　　　　　　B．①②④ C．②③④ D．①③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 ２．根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (１)４,６,８,１０,􀆺; (２)－ １１×２ ,１ ２×３ ,－ １３×４ ,１ ４×５ ,􀆺; (３)１,０,１,０,􀆺; (４)９,９９,９９９,９９９９,􀆺． 用观察法求数列的通项公式的技巧 (１)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注 意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关 系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化 为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符 号变化,可用(－１)n 或(－１)n＋１来调整． (２)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的 思想． [提醒]　不是所有的数列都有通项公式,若有, 也不一定唯一． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　由an 与Sn 的关系求通项an(师生共研) [典例]　(１)记Sn 为数列{an}的前n项和．若Sn＝２an ＋１,则S６＝　　　　　 　． (２)若数列{an}的前n项和Sn＝３n＋２n＋１,则{an} 的通项公式是an＝　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 已知Sn,求an 时应注意的问题 (１)应重视分类讨论思想的应用,分n＝１和n≥２ 两种情况讨论;特别注意an＝Sn－Sn－１中 需n≥２． (２)由Sn－Sn－１＝an 推得an,当n＝１时,a１ 也适 合“an 式”,则需统一“合写”． (３)由Sn－Sn－１＝an,推得an,当n＝１时,a１ 不适 合“an 式”,则数列的通项公式应分段表示(“分 写”),即an＝ S１(n＝１) Sn－Sn－１(n≥２)．{ 提醒:在利用数列的前n项和求通项时,往往容 易忽略先求出a１,而是直接把数列的通项公式 写成an＝Sn－Sn－１的形式,但它只适用于n≥２ 的情形． [跟踪训练] １．已知数列{an}的前n项和Sn＝２n２－３n,则{an}的通 项公式为　　　　． ２．已知数列{an}的前n项和Sn 满足Sn＝３n＋b,则 an＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　由数列的递推关系求数列的通项公式(多维探究) [命题角度１]　形如an＋１＝an＋f(n),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(１)在数列{an}中,a１＝２,an＋１＝an＋ １ n(n＋１) ,求数 列{an}的通项公式; (２)若数列{an}满足a１＝１,an＋１＝an＋２n,求数列 {an}的通项公式． [命题角度２]　形如an＋１＝anf(n),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．在数列{an}中,a１＝１,前n项和Sn＝ n＋２ ３ an． 求数列 {an}的通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [命题角度３]　形如an＋１＝Aan＋B(A≠０且A≠ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋３．已知数列{an}满足a１＝１,an＋１＝３an＋２,求数列 {an}的通项公式． [命题角度４]　形如an＋１＝ Aan Ban＋C (A,B,C为常 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 数),求an 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．已知数列{an}中,a１＝１,an＋１＝ ２an an＋２ ,求数列{an}的 通项公式． 　　 由数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系 为an＋１＝an＋f(n)或an＋１＝f(n)􀅰an,则可 以分别通过累加、累乘法求得通项公式,另外, 通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公 式,(如角度１)．注意:有的问题也可利用构造 法,即通过对递推式的等价变形,(如角度３、４) 转化为特殊数列求通项． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关二十八 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　等差数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过生活中的实例,理解等差数列的 概念和通项公式的意义． ２．探索并掌握等差数列的前n 项和公 式,理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系． ３．能在具体的问题情境中,发现数列的 等差关系,并解决相应的问题． ４．体会等差数列与一元一次函数的关系 １．等差数列的基本运算,达 成逻辑 推 理 和 数 学 运 算 素养． ２．等差数列的判定与证明, 发展数学抽象和数学运算 素养． ３．等差数列的性质,提升逻 辑推理和数学运算素养 　　等差数列的定义、通项公 式及前n项和公式、等差数列 的性质是高考的热点,以求a１、 d、an、Sn 为主要考查内容．高 考题型多样,以选择题、填空题 的形式考查等差数列的基本运 算和性质,难度不大．在解答题 中常与等比数列、数列求和等 问题综合考查,难度中等 [必备知识] １．等差数列的概念 (１)如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前 一项的差等于　　　　　,那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　,公 差通常用字母d表示． 数学语言表达式:an＋１－an＝d(n∈N∗,d为常 数),或an－an－１＝d(n≥２,d为常数)． (２)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且 A＝　　　　．数列{an}是等差数列⇔２an＝an－１＋ an＋１(n≥２,n∈N∗)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　上篇:第五章　数　列 ３．B　[先求出复数z,再根据复数模的公式即可求出．由 i􀅰z＋２＝２i可 得,z＝ －２＋２ii ＝２＋２i ,所 以|z|＝ ２２＋２２＝２ ２．] ４．C　[依题意,z＝２i＋ (a－２)i２ i２ ＝(a－２)－２i,由z为纯虚 数,得a－２＝０,所以a＝２．] 考点二 １．A　[z＝１－i２＋i＝ (１－i)(２－i) (２＋i)(２－i)＝ １－３i ５ ,∴z＝１５＋ ３ ５i． 故 复平面内对应的点在第一象限．] ２．D　[z２＝ ３＋i ２－i＝ (３＋i)(２＋i) (２－i)(２＋i)＝ ５＋５i ５ ＝１＋i ,所以复数 z２ 对应的点为(１,１),因为复数z１ 对应的点与复数z２ 对 应的点关于实轴对称,所以复数z１ 对应的点为(１,－１), 所以z１＝１－i．] ３．AC　[设z＝x＋yi(x,y∈R),则|x－１＋(y＋１)i|＝ |x＋yi|,所以 (x－１)２＋(y＋１)２＝ x２＋y２,整理得 x－y－１＝０,故 A 项正确,B项错误;由前面知z对应点 的轨迹为直线x－y－１＝０,则|z|的最小值为原点到该 直线的距离d,则d＝ |－１| １２＋１２ ＝ ２２ ,故 C项正确,D 项 错误．] ４．解析:由条件得OC → ＝(３,－４),OA → ＝(－１,２), OB → ＝(１,－１), 根据OC → ＝λOA → ＋μOB →,得(３,－４)＝λ(－１,２)＋ μ(１,－１)＝(－λ＋μ,２λ－μ), ∴ －λ＋μ＝３ , ２λ－μ＝－４,{ 解得 λ＝－１, μ＝２．{ ∴λ＋μ＝１． 答案:１ 考点三 １．C　[zi＝－１－i ,则z＝i(－１－i)＝－i－i２ ＝１－i．] ２．B　[由 题 意 可 得z＝ ２＋i １＋i２＋i５ ＝ ２＋i１－１＋i＝ i(２＋i) i２ ＝ ２i－１ －１ ＝１－２i ,则z＝１＋２i．] ３．A　[由题设,z＝１－２i,􀭵z＝１＋２i,代入有a＋b＋１＋(２a －２)i＝０,故a＝１,b＝－２．] ４．解析:ai＋ ２a＋i＝ai＋ ２(a－i) (a＋i)(a－i)＝ai＋ ２a－２i a２＋１ ＝ ２a a２＋１ ＋ a－ ２a２＋１( )i＝１,所以 ２a a２＋１＝１ a－ ２a２＋１＝０ ì î í ïï ï , 解得a＝１． 答案:１ 第五章　　第１节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)一定顺序　项　(２)正整数集N∗ (或它的有限子集) (３)列表法　图象法　通项公式法　２．有限　无限　＞　＜ ３．(１)序号n　an＝f(n)　４．S１　Sn－Sn－１ 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　(５)√　(６)√ 小题查验 １．C　２．D　３．D　４．递增　５．－１ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．A　[检验知①②③都是所给数列的通项公式．] ２．解:(１)各数都是偶数,且最小为４,所以通项公式 an＝２(n＋１),n∈N∗ ． (２)这个数列的前４项的绝对值都等于序号与序号加１ 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个 通项公式an＝(－１)n× １ n(n＋１) ,n∈N∗ ． (３)这是一个摆动数列,奇数项是１,偶数项是０,所以此 数列的一个通项公式an＝ １,n为奇数, ０,n为偶数．{ 或 an＝(－１)n＋１ １ ２＋ １ ２ ,n∈N∗ ． (４)这个数列的前４项可以写成１０－１,１００－１, １０００－１,１００００－１,所以它的一个通项公式an＝１０n－ １,n∈N∗ ． 考点二 [典例]　[解析]　(１)根据Sn＝２an＋１,可得Sn＋１＝２an＋１ ＋１, 两式相减得an＋１＝２an＋１－２an,即an＋１＝２an, 当n＝１时,S１＝a１＝２a１＋１,解得a１＝－１, 所以数列{an}是以－１为首项,以２为公比的等比数列, 所以S６＝ －(１－２６) １－２ ＝－６３． (２)因为当n＝１时,a１＝S１＝６; 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝(３n＋２n＋１)－[３n－１＋２(n －１)＋１]＝２􀅰３n－１＋２, 由于a１ 不适合此式, 所以an＝ ６,n＝１, ２􀅰３n－１＋２,n≥２．{ [答案]　(１)－６３　(２) ６ ,n＝１, ２􀅰３n－１＋２,n≥２．{ 跟踪训练 １．解析:a１＝S１＝２－３＝－１, 当n≥２时,an ＝Sn －Sn－１＝(２n２ －３n)－[２(n－１)２ － ３(n－１)]＝４n－５,由于a１ 也适合此等式,∴an＝４n－５． 答案:an＝４n－５ ２．解析:a１＝S１＝３＋b, 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝(３n＋b)－(３n－１＋b) ＝２􀅰３n－１． 当b＝－１时,a１ 适合此等式．当b≠－１时,a１ 不适合此等式． ∴当b＝－１时,an＝２􀅰３n－１; 当b≠－１时,an＝ ３＋b,n＝１, ２􀅰３n－１,n≥２．{ 答案:３＋b,n＝１, ２􀅰３n－１,n≥２．{ 考点三 １．解:(１)由题意,得an＋１－an＝ １ n(n＋１)＝ １ n－ １ n＋１ , an＝(an－an－１)＋(an－１－an－２)＋􀆺＋(a２－a１)＋a１ ＝ １n－１－ １ n( ) ＋ １ n－２－ １ n－１( ) ＋ 􀆺 ＋ １ ２－ １ ３( ) ＋ １－１２( )＋２＝３－ １ n． (２)由题意知an＋１－an＝２n, an＝(an－an－１)＋(an－１－an－２)＋􀆺＋(a２－a１)＋a１ ＝２n－１＋２n－２＋􀆺＋２＋１＝１－２ n １－２＝２ n－１． ２．解:由题设知,a１＝１． 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝ n＋２ ３ an－ n＋１ ３ an－１． ∴ an an－１ ＝n＋１n－１． ∴ an an－１ ＝n＋１n－１ ,􀆺,a４ a３ ＝５３ ,a３ a２ ＝４２ ,a２ a１ ＝３． 将以上n－１ 个 式 子 的 等 号 两 端 分 别 相 乘,得 到ana１ ＝ n(n＋１) ２ ． 又∵a１＝１,∴an＝ n(n＋１) ２ ． ３．解:∵an＋１＝３an＋２,∴an＋１＋１＝３(an＋１), ∴ an＋１＋１ an＋１ ＝３, ∴数列{an＋１}为等比数列,公比q＝３, 又a１＋１＝２,∴an＋１＝２􀅰３n－１,∴an＝２􀅰３n－１－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ４．解:∵an＋１＝ ２an an＋２ ,a１＝１,∴an≠０, ∴ １an＋１ ＝１an ＋１２ ,即 １ an＋１ －１an ＝１２ , 又a１＝１,则 １ a１ ＝１, ∴ １an{ }是以１为首项, １ ２ 为公差的等差数列． ∴１an ＝１a１ ＋(n－１)×１２＝ n ２＋ １ ２ , ∴an＝ ２ n＋１ (n∈N∗ )． 第２节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)２　同一个常数　公差　(２)a＋b２ 　２． (１)a１＋(n－１)d　 (n－m)d　(２)na１＋ n(n－１) ２ d　３． (２)递增　递减　常数 列　(３)md　４．大　小 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)×　(６)√ 小题查验 １．C　２．B　３．C　４．１２　５．９５ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．C　[设公差为d,则a４＋a５＝a１＋３d＋a１＋４d＝２４,S６ ＝６a１＋ ６×５ ２ d＝４８ ,联立得 ２a１＋７d＝２４　 ①, ６a１＋１５d＝４８　②,{ ①×３－②得(２１－１５)d＝２４,６d＝ ２４,所以d＝４．] ２．A　 [五 人 分 得 的 鹿 构 成 等 差 数 列 {an},d＜０．a１ ＝ １＋２３＝ ５ ３ ,S５＝５,∴５× ５ ３＋ ５×４ ２ d＝５ ,解得d＝－１３ , ∴a５＝ ５ ３－ １ ３×４＝ １ ３． ] ３．B　[因为S３＝３a２＝６,所以a２＝２,因为S５＝５a３＝－５, 所以a３＝－１,所以{an}的公差d＝a３－a２＝－３,所以a１ ＝５,所以S６＝６a１＋１５d＝６×５－１５×３＝－１５．] 考点二 [母题]　[解]　(１)证明:当n≥２时,由an＋２SnSn－１＝０, 得Sn－Sn－１＝－２SnSn－１,所以 １ Sn － １Sn－１ ＝２, 又 １ S１ ＝ １a１ ＝２,故 １Sn{ } 是 首 项 为 ２,公 差 为 ２ 的 等 差 数列． (２)由(１)可得１Sn ＝２n,∴Sn＝ １ ２n． 当n≥２时, an＝Sn－Sn－１＝ １ ２n－ １ ２(n－１)＝ n－１－n ２n(n－１) ＝－ １２n(n－１)． 当n＝１时,a１＝ １ ２ 不适合上式． 故an＝ １ ２ ,n＝１, － １２n(n－１) ,n≥２． ì î í ïï ï [子题１]　解:(１)证明:当n≥２时,an＝Sn－Sn－１且Sn(Sn －an)＋２an＝０． ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－１)]＋２(Sn－Sn－１)＝０, 即SnSn－１＋２(Sn－Sn－１)＝０． 即１ Sn － １Sn－１ ＝１２． 又１ S１ ＝１a１ ＝１２． 故数列 １ Sn{ }是以首项为 １ ２ ,公差为１ ２ 的等差数列． (２)由(１)知１Sn ＝n２ ,∴Sn＝ ２ n ,当n≥２时, an＝Sn－Sn－１＝－ ２ n(n－１) 当n＝１时,a１＝２不适合上式, 故an＝ ２,n＝１, － ２n(n－１) ,n≥２．{ [子题２]　解:一、选择条件①③ 已知{an}为等差数列,a２＝３a１,设公差为d, 则a２＝３a１＝a１＋d,即d＝２a１, 因为Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝n ２a１, 则 Sn＝ a１􀅰n(a１＞０), 所以数列{ Sn}为等差数列． 二、选择条件①② 已知{an}为等差数列,数列{ Sn}为等差数列,设{an}的 公差为d,则an＝a１＋(n－１)d,Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ １ ２n ２d＋ a１－ d ２( )n,若数列{ Sn}为等差数列,则a１＝ d ２ ,所以a２＝a１＋d＝３a１． 三、选择条件②③ 已知数列{ Sn}为等差数列,a２＝３a１,设公差为d, 则 S２－ S１＝d,即 ４a１－ a１＝d, 则a１＝d２, Sn＝ S１＋(n－１)d＝nd, 则Sn＝n２d２, an＝Sn－Sn－１＝２d２n－d２, 所以数列{an}为等差数列． 考点三 [典例]　(１)B　[因为数列{an}为等差数列,所以a４＋２a９ ＋a２０＝２a１２＋２a９＝２４,所 以a１２＋a９＝１２,所 以 S２０＝ ２０(a１＋a２０) ２ ＝１０ (a１＋a２０)＝１０(a１２＋a９)＝１２０．] (２)[解析]　由题意,可知 S偶 ＋S奇 ＝３５４, S偶 S奇 ＝ ３２ ２７ ,{ ∴ S偶 ＝１９２, S奇 ＝１６２．{ 又项数为１２的等差数列中S偶 －S奇 ＝６d＝１９２－１６２, ∴d＝５． [答案]　５ (３)解:①由于 ２Sn n ＋n＝２an＋１ ,变形为２Sn＝２nan＋n－ n２,记为i式,又当n≥２时,２Sn－１＝２(n－１)􀅰an－１＋n－ １－(n－１)２,记为ⅱ式, ⅰ－ⅱ可得(２n－２)an－(２n－２)an－１＝２n－２, n≥２,n∈N∗ , 即an－an－１＝１,n≥２,n∈N∗ , 所以{an}是等差数列． ②由题意可知a２７＝a４a９,即(a１＋６)２＝(a１＋３)(a１＋８),解得 a１＝－１２,所以an＝－１２＋(n－１)×１＝n－１３,其中a１＜a２ ＜􀆺＜a１２＜０,a１３＝０, 则Sn 的最小值为S１２＝S１３＝－７８． 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)２　同一个　公比　q　(２)等比中项　± ab ２．(１)a１qn－１　(２) a１(１－qn) １－q 　３． (１)apaq　(２)递增 递减　常数列　(３)qm　(４)qn 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案