课时冲关36 直线、平面垂直的判定与性质-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　　课时冲关三十六　直线、平面垂直的判定与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．(多选题)设直线m,n是两条不同的直线,α, β是两个不同的平面,下列事件中是必然事 件的是 (　　) A．若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β B．若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β C．若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β D．若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β ２．设α,β,γ为不同的平面,m,n 为不同的直 线,则m⊥β的一个充分条件是 (　　) A．α⊥β,α∩β＝n,m⊥n B．α∩γ＝m,α⊥γ,β⊥γ C．α⊥β,β⊥γ,m⊥α D．n⊥α,n⊥β,m⊥α ３．(２０２５􀅰 东 营 三 模)在 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,E,F 分别 为AB,BC 的 中 点,则 (　　) A．平面B１EF⊥平面BDD１ B．平面B１EF⊥平面A１BD C．平面B１EF∥平面A１AC D．平面B１EF∥平面A１C１D ４．(多选题)(２０２５􀅰南京质检)已知四棱锥 PＧABCD的底面ABCD 是正方形,则下列关 系能同时成立的是 (　　) A．“AB＝PB”与“PB＝BD” B．“PA⊥PC”与“PB⊥PD” C．“PB⊥CD”与“PC⊥AB” D．“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥ 平面PBD” ５．(２０２５􀅰合肥质检)已知△ABC 为等腰直角 三角形,AB为斜边,△ABD 为等边三角形, 若二面角C－AB－D 为１５０°,则直线CD 与 平面ABC所成角的正切值为 (　　) A．１５　　　B． ２ ５　　　C． ３ ５　　　D． ２ ５ ６．(多选题)(２０２５􀅰济宁质检)在正三棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,AB＝AA１＝１,点P 满足 BP → ＝λBC → ＋μBB１ → ,其 中λ∈ [０,１],μ∈ [０,１],则 (　　) A．当λ＝１时,△AB１P 的周长为定值 B．当μ＝１时,三棱锥P－A１BC 的体积为 定值 C．当λ＝１２ 时,有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得 A１P⊥BP D．当μ＝ １ ２ 时,有且仅有一个点 P,使得 A１B⊥平面AB１P ７．如 图 所 示,在 四 棱 锥 PＧABCD 中,PA ⊥ 底 面 ABCD,且底面各边都相 等,M 是 PC 上 的 一 动 点,当 点 M 满 足 　　　　时,平面 MBD⊥平面 PCD．(只 要填写一个你认为是正确的条件即可) ８．如图,PA⊥圆O 所在的平面, AB是圆O 的直径,C是圆O 上 的一 点,E、F 分 别 是 点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列 结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥ 平面PBC． 其中正确结论的序号是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 ９．(２０２５􀅰山东实验中学押 题 密 卷)如 图,四 面 体 ABCD 中,AD⊥CD,AD ＝CD,∠ADB＝∠BDC,E为AC 的中点． (１)证明:平面BED⊥平面ACD; (２)设 AB＝BD＝２,∠ACB＝６０°,点F 在 BD 上,当△AFC 的面积最小时,求三棱锥 F－ABC的体积． １０．在三棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,AB⊥AC,B１C⊥平面 ABC,E,F 分别是 AC, B１C的中点． (１)求证:EF∥平面AB１C１; (２)求证:平面AB１C⊥平面ABB１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 第六章　立体几何 ＝DE ２＋AD２－AE２ ２DE􀅰AD ＝ ２２＋( １０)２－(２ ３)２ ２×２× １０ ＝ １０２０ , sin∠ADE＝ １－ １０ ２０ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３９ ４０ ,S△ADE ＝ １ ２ ×２× １０× ３９ ４０＝ ３９ ２ ． 设点 M 到平面ADE 的距离为h,所以VMＧADE＝ １ ３S△ADE 􀅰h＝１３S△AOE 􀅰DM,h＝ ３ ３ ２ ×２ ３９ ２ ＝６ １３１３ ,故点 M 到 ADE 的距离为６ １３１３ ． １０．解:(１)过 点 E 作 EE′⊥AB 于 点 E′,过 点 F 作 FF′⊥BC于点F′,连接E′F′． ∵底 面 ABCD 是 边 长 为８的 正 方 形,△EAB、△FBC 均为正 三 角 形,且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面 ABCD 垂直, ∴EE′⊥AB,FF′⊥BC, ∴EE′⊥平面ABCD,FF′⊥平面ABCD, ∴EE′∥FF′且EE′＝FF′, ∴四边形EE′F′F 为平行四边形． ∴EF∥E′F′,∵E′F′⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD． (２)同理,过点G,H 分别作 GG′⊥CD,HH′⊥DA,交 CD,DA 于点G′,H′,连 接 F′G′,G′H′,H′E′,AC,由 (１)及 题 意 可 知,G′,H′分 别为CD,DA 的中点,EFＧ GHＧE′F′G′H′为长方体, 故该包装盒可分成一个长 方体和四个相等的四棱锥 组合而成． 由底面ABCD 是边长为８的正方形可得:E′F′＝H′E′ ＝１２AC＝４ ２ , ∴ 所 求 该 包 装 盒 的 容 积 为 V ＝ VEFGH－E′F′G′H′ ＋４VA－EE′H′H ＝E′F′×E′H′×EE′＋４×１３×SEE′H′H × １ ４AC ＝４ ２×４ ２×４ ３＋４３×４ ２×４ ３×２ ２ ＝６４０ ３３ ． 课时冲关三十六 １．BD　[若m∥α,n∥β,m⊥n,则α、β位置关系不确定,选 项 A不正确;若m∥α,则α中存在直线c与m 平行,m∥ n,n⊥β,则c⊥β,又∵c⊂α,∴α⊥β,选项 B正确;若 m⊥ α,n∥β,m⊥n,则α、β可以相交,选项C不正确;若m⊥α, m∥n,n⊥β,∴α∥β,选项 D正确．故选BD．] ２．D　[A不对,m 可能在平面β 内,也可能与β平行;B,C 不对,满足条件的 m 和β 可能相交,也可能平行;D 对, 由n⊥α,n⊥β可知α∥β,结合m⊥α知m⊥β,故选 D．] ３．A　[对于 A 选项:在正方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中,因 为 E、F 分别为AB,BC 的中点, 易知EF⊥BD,EF⊥DD１,又 BD∩DD１＝D,从而 EF⊥平 面B１BDD１,又 因 为 EF⊂ 平 面B１EF,所 以 平 面 B１EF⊥ 平面 BDD１,所 以 A 选 项 正 确;对 于 B 选 项:因 为 平 面 A１BD∩平面BDD１＝BD,由 上述过程易知平面B１EF⊥平面 A１BD 不成立;对于 C 选项:由题意 知 直 线 AA１ 与 直 线 B１E 必 相 交,故 平 面 B１EF 与平面A１AC有公共点,从而 C选项错误;对于 D 选项:连 接 AC,AB１,B１C,易 知 平 面 AB１C∥ 平 面 A１C１D,又因为平面 AB１C 与平面B１EF 有公共点B１, 故平面AB１C与平面B１EF 不平行,所以 D选项错误．] ４．BC　[对 于 A,显 然 AB＝ PB 时,而底面ABCD 是正 方形,AB≠DB,所以PB＝ BD 不成立,故 A 错 误;对 于B,设底面正方形中心为 O,则P 在以O 为球心,以 OA 为 半 径 的 球 面 上 时 可 符合题意,故 B正确;对于 C,当平面PBC⊥底面ABＧ CD 时,由面面垂直的性质 可知AB⊥平面PBC,DC⊥平面PBC,显然符合题意,故 C正 确;对 于 D,若 “平 面 PAB⊥ 平 面 PBD”与 “平 面 PCD⊥平面PBD”同时成立, 易知P 为平面PAB 与平面PCD 一个公共点,可设平面 PAB∩平面PCD＝l,则P∈l,则l⊥平面PBD, 易知AB∥CD,AB⊄平面PCD,所以AB∥面PCD,则l ∥AB, 则有 AB⊥ 平 面 PBD,显 然 AB⊥BD 不 成 立,故 D 错误．] ５．C　[取 AB 的 中 点E,连 接 CE,DE,因 为△ABC 是 等 腰 直角三 角 形,且 AB 为 斜 边, 则有CE⊥AB, 又△ABD 是等边三 角 形,则 DE⊥AB,从 而 ∠CED 为 二 面角C－AB－D 的平 面 角, 即∠CED＝１５０°, 显然CE∩DE＝E,CE,DE⊂ 平面 CDE,于 是 AB⊥ 平 面 CDE,又AB⊂平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC ＝CE, 直线CD⊂平面CDE,则直线CD 在平面ABC 内的射影 为直线CE, 从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角,令AB＝ ２,则CE＝１,DE＝ ３,在△CDE 中,由余弦定理得: CD＝ CE２＋DE２－２CE􀅰DEcos∠CED ＝ １＋３－２×１× ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ７, 由正弦定理 DE sin∠DCE＝ CD sin∠CED , 得sin∠DCE＝ ３sin１５０° ７ ＝ ３ ２ ７ , 显 然 ∠DCE 是 锐 角,cos∠DCE＝ １－sin２∠DCE＝ １－ ３ ２ ７ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ５ ２ ７ , 所以直 线 CD 与 平 面ABC 所 成 的 角 的 正 切 为 ３５． 故 选 C．] ６．BD　[由点P 满足BP → ＝λBC → ＋μBB１ →,可知点P 在正方 形BCC１B１ 内． A选项,当λ＝１时,可知点P 在线段CC１(包括端点)上 运动． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 △AB１P 中,AB１ ＝ ２,AP ＝ １＋μ ２,B１P ＝ １＋(１－μ) ２,因此周长L＝AB＋AP＋B１P 不为定值; 所以选项 A错误． B选项,当μ＝１时,可知点P 在线段B１C１(包括端点)上 运动． 由图可知,线段B１C１∥平面A１BC,即点P 到平面A１BC 的距离处 处 相 等,△A１BC 的 面 积 是 定 值,所 以 三 棱 锥 PＧA１BC的体积为定值,所以选项B正确． C选项,当λ＝ １２ 时,分别 取 线 段 BC,B１C１ 中 点 为 D, D１,可知点P 在线段DD１(包括端点)上运动． 很显然若点P 与D 或D１ 重合,均满足题意,所以选项C 错误． D选项,当μ＝ １ ２ 时,分别取线段BB１,CC１ 中点为M,N,可 知点P在线段DD１(包括端点)上运动． 此时,有且只有点P 与N 点重合时,满足题意． 所以选项 D正确．] ７．解析:由定理可知,BD⊥PC．所以当 DM⊥PC 时,即有 PC⊥平面 MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面 MBD⊥ 平面PCD． 答案:DM⊥PC(答案不唯一) ８．解析:由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC． 又AC⊥BC,PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC． ∴BC⊥AF．∵AF⊥PC,BC∩PC＝C, ∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC． 又AE⊥PB,AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF． ∴PB⊥EF．故①②③正确． 答案:①②③ ９．解:(１)由于AD＝CD,E 是AC 的中点,所以AC⊥DE． 由于 AD＝CD BD＝BD ∠ADB＝∠CDB{ ,所以△ADB≌△CDB, 所以AB＝CB,故AC⊥BE, 由于DE∩BD＝D,DE、BD⊂平面BED, 所以AC⊥平面BED, 由于AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD． (２)依题意AB＝BD＝BC＝２,∠ACB＝６０°,三角形ABC 是等边三角形, 所以AC＝２,AE＝CE＝１,BE＝ ３, 由于AD＝CD,AD⊥CD,所以三角形ACD 是等腰直角 三角形,所以DE＝１． DE２＋BE２＝BD２,所以DE⊥BE, 由于AC∩BE＝E,AC,BE⊂平面ABC, 所以DE⊥平面ABC． 由于△ADB≌△CDB,所以∠FBA＝∠FBC, 由于 BF＝BF ∠FBA＝∠FBC, AB＝CB{ 所以△FBA≌△FBC, 所以AF＝CF,所以EF⊥AC, 由于S△AFC＝ １ ２ 􀅰AC􀅰EF,所以当EF 最短时,三角形 AFC的面积取得最小值． 过E 作EF⊥BD,垂足于F, 在 Rt△BED 中,１２ 􀅰BE􀅰DE＝ １２ 􀅰BD􀅰EF,解 得 EF＝ ３２ , 所以 DF＝ １２－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １２ ,BF ＝２－DF＝３２ , 所以BF BD＝ ３ ４． 过F 作FH⊥BE,垂足为 H,则FH∥DE,所以FH⊥平 面ABC,且FHDE＝ BF BD＝ ３ ４ , 所以FH＝３４ , 所以VF－ABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC 􀅰FH＝ １ ３× １ ２×２× ３× ３ ４ ＝ ３４． １０．解:(１)因为E,F 分别是AC,B１C的中点, 所以EF∥AB１, 因为EF⊄平面AB１C１,AB１⊂平面AB１C１, 所以EF∥平面AB１C１． (２)因 为 B１C ⊥ 平 面 ABC,AB⊂ 平 面 ABC１, 所以B１C⊥AB． 又AB⊥AC,AC∩B１C＝ C,AC⊂平 面 AB１C,B１C ⊂平面AB１C, 所以AB⊥平面AB１C, 又AB⊂平面ABB１, 所 以 平 面 AB１C ⊥ 平 面ABB１． 课时冲关三十七 １．B　[∵OP → ＝３４OA → ＋１８OB → ＋１８OC →,且 ３ ４＋ １ ８＋ １ ８＝ １．∴P,A,B,C四点共面．] ２．A　[由题意知(λ＋１)􀅰２λ＝２×６,可得λ＝－３或２,由０ 􀅰２λ＝２(２u－１)得 u＝ １２ ,分 析 选 项 知 A 正 确．故 选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学