课时冲关30 等比数列及其前n项和&课时冲关31 数列求和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　课时冲关三十　等比数列及其前n项和　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．在等比数列{an}中,a２＝２,a５＝１６,则a６＝ (　　) A．２８ B．３２ C．６４ D．１４ ２．已知数列{an}为等比数列,且a２a３a４＝－a２７ ＝－６４,则tana４a６３ 􀅰π æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．３ B．－ ３ C．－ ３３ D．± ３ ３．(２０２５􀅰北京卷)已知 {an}是公差不为０的 等差数列,a１＝－２,若a３,a４,a６ 成等比数 列,则a１０＝ (　　) A．－２０ B．－１８ C．１６ D．１８ ４．(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下 列命题正确的是 (　　) A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋１}是等比数列 C．数列 １an{ }是等比数列 D．数列{lga２n}是等比数列 ５．数列{an}为正项递增等比数列,满足a２＋a４ ＝１０,a２３＝１６,则log２a１＋log２a２＋􀆺＋ log２a１０＝ (　　) A．－４５ B．４５ C．－９０ D．９０ ６．(２０２５􀅰济南质检)已知{an}为等比数列, a２a４a５＝a３a６,a９a１０＝－８,则a７＝　　　　． ７．(双空填空题)已知等比数列{an}的各项均 为正数,其前n项和为Sn,若S２＝ ３ ４ ,S４＝ １５ ４ ,则a６＝　　　　,an＝　　　　． ８．(２０２４􀅰上海卷)等比数列{an}的首项a１＞ ０,公比q＞１,记In＝{x－y|x,y∈[a１,a２] ∪[an,an＋１]},若对任意正整数n,In 是闭 区间,则q的取值范围是　　　　． ９．(２０２５􀅰深圳市二模)已知等差数列{an}的公差 为２,前n项和为Sn,且S１,S２,S４ 成等比数列． (１)求数列{an}的通项公式; (２)若bn＝ an anan＋１＋６ ,n∈N∗ ,求数列{bn} 的最大项． １０．(２０２４􀅰全国甲卷(文))已知等比数列{an} 的前n项和为Sn,且２Sn＝３an＋１－３． (１)求{an}的通项公式; (２)求数列{Sn}的前n项和． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　数　列 　　　　　　　　　课时冲关三十一　数列求和　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．数列{an}中,an＝ １ n(n＋１) ,若{an}的前n项 和为２０１９ ２０２０ ,则项数n为 (　　) A．２０１９ B．２０１６ C．２０１７ D．２０１８ ２．１２＋ １ ２＋ ３ ８＋ 􀆺＋n ２n ＝ (　　) A．２ n－n－１ ２n B．２ n＋１－n－２ ２n C．２ n－n＋１ ２n D．２ n＋１－n＋２ ２n ３．已知数列{an}: １ ２ ,１ ３＋ ２ ３ ,１ ４＋ ２ ４＋ ３ ４ ,１ ５＋ ２ ５＋ ３ ５＋ ４ ５ ,􀆺,那么数列{bn}＝ １ anan＋１{ }的 前n项和为 (　　) A．４１－ １n＋１ æ è ç ö ø ÷ B．４ １２－ １ n＋１ æ è ç ö ø ÷ C．１－ １n＋１ D． １ ２－ １ n＋１ ４．(２０２５􀅰湖北模拟预测)已知等差数列{an} 的公差d＝１,且a３,a５＋１,２a６ 成等比数列, 则数列{(－１)n＋１an}的前２０２５项和为 (　　) A．－１０１３ B．－５０５ C．５０５ D．１０１３ ５．(多选题)(２０２５􀅰湖北八市联考)已知数列 {an}满足a１＋２a２＋􀆺＋２n－１an＝n􀅰２n,an 的前n项和为Sn,则 (　　) A．a１＝２ B．数列{an}是等比数列 C．Sn,S２n,S３n构成等差数列 D．数列 １an􀅰an＋１{ }前１００项和为 ２５ ５１ ６．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n２,若bn ＝２an,则数列{bn}的前n项和Tn＝ 　． ７．(双空填空题)已知数列{an}满足a１＝２,a２ ＝５,an＋２＋４an＝５an＋１,n∈N∗ ,则a５＝ 　　　　　　． 设bn＝[log４an＋１],其中[x]表示不超过x 的最大整数,Sn 为数列 ２０２３ bnbn＋１{ } 的前n项 和,若 [Sn]＝２０２１,则 n 的 取 值 范 围 为 　　　　． ８．(２０２５􀅰佛山市三模)“数学王子”高斯是近 代数学奠基者之一,他的数学研究几乎遍及 所有领域,并且高斯研究出很多数学理论, 比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每 一个n阶代数方程必有n 个复数解等．若函 数f(x)＝log２ ２x １－x ,设a１＝１,an＝f １ n æ è ç ö ø ÷ ＋f ２n æ è ç ö ø ÷＋f ３n æ è ç ö ø ÷＋􀆺＋f n－１n æ è ç ö ø ÷(n∈N∗ , n≥２),则a１＋a２＋􀆺＋a１０＝　　　　． ９．(２０２４􀅰全国甲卷(理))记Sn 为数列{an}的 前n项和,已知４Sn＝３an＋４． (１)求{an}的通项公式; (２)设bn＝(－１)n－１nan,求数列{bn}的前n 项和Tn． １０．(２０２５􀅰南宁市三模)设等差数列{an}的公差 为d,且d＞１．令bn＝ n２＋n an ,记Sn,Tn 分别为 数列{an},{bn}的前n项和． (１)若３a２＝３a１＋a３,S３＋T３＝２１,求{an} 的通项公式; (２)若{bn}为等差数列,且S９９－T９９＝９９, 求d． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 8.解析：由an=2n-10(n∈N)知{an}是以-8为首项，2 为公差的等差数列， 又由a,=2n-10≥0，得n≥5， ,∴·当n5时，a,0,当n>5时，a>0, ∴a1l+a2+…+a1s =-(a1十a,十a,十a,）十(a6十a十…十a1s） =20+110=130. 答案：130 9.解：(1)设等差数列的公差为d, 由题意可得a十-1 {s=1m,+1b24=40 即a+d=1 2a十9d=8解得2=18 ld=-2 所以a。=13-2(n-1)=15-2n, 故a.=15一2n. （2)因为S,=n13+5-2m=14n-n. 2 令a,=15-2n>0,解得m<受且nEN 当n≤7时，则an>0,可得T.=a1十a2十…十an =a1十a:十…十an=Sn=14n-n2: 当n≥8时，则an<0,可得T.=a1十a十…十an =(a1十a2十…十a）一(a8十…十a.) =S-(S.-S,)=2S,-S =2(14×7-7产)-(14n-n)=n2-14n十98. 袋上所，-28 10.解：(1)首先，设数列aa,am+的公差为d,则d≠0. 由于一个教列同时加上一个数或者乘以一个非零数后 是等差数列，当且仅当该数列是等益数列， 故可以对该数列进行适当的变形a,'=+1(k 1,2,…,4m十2)， 得到新数列a'=k(k=1,2,…,4m十2)，然后对a1', a:'·,aw+'进行相应的讨论即可. 不妨设a=k(k=1,2,…,4m十2)，此后的讨论均建立 在该假设下进行， 回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个 数i和j(i心)，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3， 4,5,6. 所以所有可能的(i,j)就是(1,2)，(1,6)，(5,6). (2)当m=3时，注意到a1a,a7a1oag,a4,a,a1eas a,a11a11是(2,13)可分的数列，对于m>3的部分，取 {ar+3,a+1,a+5,a+}即可， (3)证明：由（②）得数列a1a4…,a+:是(i,j)一可分数列 台1,2，…，4m十2是(Gij)一可分数列. 则1,2，…，41十2是(4k十1,4k十2)可分的，因可分为(1,2 3,4),(5,6.7,8),…,(4k-3,4k-2,4k一1,4k)和(4(8+1)一 1,4(s十1)，4(s十1)十1,4(s十1)十2)，·，(471-1,4m,4m 1,4m+2),共有C1十m+1=m1m±2种. 2 而1…4k和4s十2…4m十2是可分的，只需证4k十1,4k 十3,4k十4，…，4s-1,4s,4s十2是可分的. 令t=s-k∈N”,只要证1,3,4,5，…，4t-1,4t,4t十2 是可分的，1…4t十2去掉2和t十1.当t=1时，(1,3， 4,6)不满足：当t=2时，(1,3,5,7)，(4.6,8,10)满足： 当t=3时，(1,4,7,10)，(3,6,9,12)，(5,8,11,14) 满足： ·38 参考答案 当t=4时，(1,5,9,13)，(3,7,11,15)，(4,8,12,16) (6,10,14,18)满足： 当≥2时，可划分为t组： (1,t1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t3,3t十3)，(4，t1 4,21十4,31十4)，*，(1,21,31,41)，(1,21十2,31+2,41 2). 本质即：(i,t十i,2t+i,3t十i),i=1,2.3,…,t,且把2代 换为4t一2，则(k,k十t),t≥2均符合，共C+1一m三 m(m-1》组，而(0,1)，(1,2)，(m-1,m)不合要求 2 综上可得：符合要求的(4k十2,41十1)与(4k十1,41十2) 至少 m(m-12+ 2 (m十1D(m+2组，故P。≥ (2m+2m+2） 2 m十m十1 8m+6m+1 8- 2m十7 m2十m十1 > 课时冲关三十 1.B[设等比数列{a,}的公比为q, :a2=2as=16y .a19=2,a1g=16,解得a1=1,g=2 则a.=2=32.] 2.B[数列{an}为等比数列，且aaa=一a=-64=a, 则a1=一4，a=±8， 根据等比数列的性质可得a:=8合去， .a,=-8,.a1ae=a·a,=32, .tan 32 =am(10x+x-晋）) =-tan 3 =-√5.] 3.C[由等比中项的性质结合等差教列的基本量运算即 可求解， 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为aaa1ae成等比教列，且a1=一2， 所以a=a1a,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 解得d=2或d=0(舍去)， 所以aw=a1十9d=-2十9×2=16.] 4.ABC[因为教列{a,}是等比教列，所以8山=4.对于 A:2- =g,所以数列{a}是等比数列， a. A正确：对于B,巴a兰=g,所以数列{aa1}是等比 anant1 1 数列，B正确：对于C,“兰=三。，所以载列 1 an+l a. {}是等比教列.C正确；对于D.ga=2ga山= ta.s Ig a 21g a ga出，不一定是常数，所以D错误.] Ig a. 5.D[因为{a.}为正项递增等比教列， 所以a>a,1>0,公比q>1. 因为a2十a1=10,①且a=16=a1·a=ag·a1,② 由①@解得a2=2,a1=8.又因为a,=a:·q,得q=2或 q=一2（含）.则得45=16，au=32, 因为logra1十logra:十…十logra=5 logra:a6 =51ogr16×32=5×9logr2=45×2log√2=90.] 6.解析：设{an的公比为g(q≠0)，则a2a,aa=a:a=a9· ag:显然a,≠0， 则a1=g,即a1g=g,则a19=1, 因为aa1o=-8,则a1g·a1g=一8， 则g5=(g)°=-8=(-2)2，则g=-2, 则a:=a19·9=1×(-2)=-2. 答案：-2 艺考生文化课百日冲关·数学 7.解析：由题知数列{a,}为等比数列，公比9>0且q≠1， S-3 a1(1-g)_3 4 由 得 1-q 解得 15 a1=4'故a6= S,=4 a1(1-q)15 4 (=2, 1-g ag=×2=8a,=a=×21=2。 4 答案：82”- 8.解析：由题意不坊设x>y,若x,y均在[a1,a:],则有x -y∈[0，aa-a1],若x,y均在[an,amt1],则有x一y∈ [0,a+1一an],若r,y分别在两个区间，则x一y∈[an a2a+1一a],又因为g>1,总有1。是闭区间，则a。一a ≤a+1一an恒成立即可，化简得1(g-2)十g≥0，所以 有q≥2恒成立. 答案：[2，十o∞) 9.解：(1)由题意知S。=a1十n(n-1), 又因为S=S1·S· 即(2a1十2)=a1·(4a1十12)，解得a=1, 又d=2.所以a.=2n-1. 2n-1 .2n-1 (2)由(1)知6.=(2m-—1)2m+1)+64n+5 设t=2n-1,(t=1,3,5,…), t 所以n三1，又周为t>0,所以f(t)= (t+1)+5 1 +2+6+号+2 ,(t=1,3,5,…) 因为函数在t≥3时递减，所以f(t)的最大值可能出现在 t=1或t=3时， 1 1 1=1时，n=16=1+6+29' 1 1、1 1=3时n=2,b=3+2+2-7>9, 1 所以数列{b}的最大项为山：=7 10.解：(1)因为2S。=3ar1-3,所以2S1=3a+2一3，两式相 减可得2a+=3a+2一3a+1,即3a+=5a+1,所以等比教 5 列{a,}的公比g=号，又因为2S=3a:-3=5a-3,即 2a1=5a1一3，所以a1=1,所以{an}的通项公式为an =() (2)因为2Sn=3a.+1-3, 所以8=a1-1D=[(号)）-小 设数列{S,}的前n项和为T。 3× 则T= -)山 3 1-号 =9×()--卓 课时冲关三十一 1 1A[a,=nm十=方n中 81-++--1 28器片以=2019.] 2B[a-◆8=名十号++叶尝0 ·38 1 1 2 2[-()] 1 2 法二：取n=1时，受=弓，代入各选项脸证可知选B] 品A[由题知=十品十十…叶 3 n+ 1+2十3十…十”=n」 n+1 0.b=一=41 a.a+1 nn十1 所 以6+6十…+6，=4(1-)+4(-3)）十… nn+l 1 4.D[设首项为a1,因为a1,a:十1,2a6成等比数列，所以 (a5十1)=a1×2ae·则(a1+5)=(a1十2)×2(a1十5)， 解得a1=1或a1=一5，当a1=-5时，a6=0,此时与a4, a十1,2a6成等比数列矛盾，故排除，当a1=1时，a,=1 十n一1=n,此时令b.=（一1)+a=(一1)n,而其前 2025项和为1一2+3一4十·-2024十2025，=(1-2) +(3-4)+…+(2023-2024)+2025=1012×(-1) +2025=1013.J 5.AD[对于A,当n=1时，可得a1=1×2=2,故A正 确，对于B,a1十2a4十…十2-an=n·2”,当n≥2时，a 十2a,十…十2"-2a,-1=(n-1)·2”-,两式相减可得 2-a,=n·2”-(n-1)·2"-t=(n十1)2"-1，所以a,=n 十1，当n=1a,=2适合上式，所以a.=n十1：由8 a。-t ”亡不是常数，所以数列{a}不是等比数列，故B错误： 对于C,由a.=n十1可知，a,一a.1=n十1一n=1,所以 {a.}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以Sn=2n十 mm,卫，所以S.=4n+2m20-D,S.=6m+ 2 3n31=,S.+S.=2m+u",D+6n+3n3g-D 2 2 2 8n十5n-2n,又2S。=8n十4n-2m,所以Sn十S.≠ 2Sn,所以S.,Sn,Sm不构成等差数列，故C错误；对于 1 1 D。8m中m+2②方中2所以Ti 1 -+1一+1 1 一= 1-1十 a·a:ag·a3a3·at a·a1o23 1 1 1 150 品就D正确】 6.解析：S=n,① 当n=1时，S=a1=1, 当n≥2时，S。-1=(n-1)产，② 由①一②可得a.=2n一1，当n=1时地成立： .'.a.=2n-1. 6=2=2xr…T=29二=号- 1-4 答案：号4-D 7.解析：：a1=2,a=5,a*2十4am=5a+1.ax+2一an+1= 4(aw+1-a.）, .{a+1一a}是以3为首项，4为公比的等比数列， a+1-a=3·4-. a.=3·4-2+a-1=3·4"-+3·4-1+…十3·4+ 、3·4°+2=3：4+2=41+1. 8 参考答案 ∴.a6=4+1=257, 又1og1an+1=log,(4°+1)∈(n,n+1), 当a=2d时，a,=(n+1)d,6=”+=着+n a。 (n+1)a ∴.b,=[og1a+1]=[10g1(4"+1)]=n, 盟器2（） 合，ts=m234,.-, 2 2d 又S-Tn=99, :S.=20231-2+2 11 1 3 即99X102d_99X100=99,即51d-d-50=0,所以 2 2d d=- （合）减d-1合 :[s,]=[2o23(-点) =2021, 嫁上可知：d=0 51 2021≤223-）202222≤n< 2 课时冲关三十二 2022,∴.1011≤n≤2021，n∈N+ 1.B[A不正确，棱锥的侧面为三角形：C不正确，如球的 答案：2571011≤≤2021，n∈N 表面就不能展成平面图形：D不正确，棱柱的各条侧棱都 品解折：周为画数)=l0产的定义线为0，D,设 相等，但侧棱与底面的棱不一定相等：B正确.] 2.BD 工1y),N(2)是函数y=f(x)图象上的两点，其中 3.B[根据底面周长等于侧面展开图孤长，设母线为1，底 x∈(0,1)，且十x:=1,则有为十=f()十 fx)=1og1F五 2匹=10g1-(中x 2x十1og1一x4 Axx: 面本径为测有2加 ·2πl,化简得=2r=2√2.] =2,从而有x∈(0,1)时，有f(x)十f(1一x)=2,当n≥2时， 4,B[由条件得，△OAB为等边三角形，有OC=5,CD a=()+()+()++a 2-5,所以=2+2=5=2+1=45-1=4E] 2 2 2 (量)十()+…+（日）相加得a, 5.D[四校锥的底面是边长为4 的正方形，且PA=PB=4,PC= [()(号门+()+()] PD=2√瓦，如图，设AB,CD的中 E 点分别为E,F,则PE⊥AB,PFB [/(元)十f(0)]2m-2,所以a=-1.又a=1.所 ⊥CD,连接EF,:EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩PF=F,EF 1,n=1 C平面PEF,PFC平面PEF,,.CD平面PEF,又CD 以对一切正整数n,有a,={1,m≥2故有a十a,十… C平面ABCD,,.平面PEF⊥平面ABCD,且平面PEE 十a1。=1+(1十2+3+…十9)=46. ∩平面ABCD=EF.过点P作PO⊥EF于点O,则PO 答案：46 C平面PEF,则PO平面ABCD.在△PEF中，由题可 9.解：(1)因为4Sn=3a。十4，所以4Sn+1=3a.+1十4，两式相 求得PE=2√5，PF=2,EF=4,.PE十PF=EF, 减可得4an+1=3an+1-3a。· 即a,+1=-3a,又因为4S=3a1十4，所以a1=4,故数列 .∠EPF=90°，根搭面积相等可得PO·EF=PE· {a}是首项为4，公比为一3的等比数列，a,=4·(一3)”. PF,即4PO=23×2,得PO=√3.] (2)b,=(-1)-'a.=4n·3-1, 6.解析：将侧面ABB,A:与上底面A,B,CD,展开在同一 所以T=4(1×3+2×3十3X3+…十n×3"-), 平面上，连接AC,则线段AC的长即为所求.如图， 3T.=4(1×3+2×3+3×3+…+n×3"),两式相减 AC=25. 可得：-2T.=4(1十3十32十…十3”-1-n·3") 9 4（作高-·3）-2-n)3-2工-2m-13+1 2 10.解：(1)因为3a,=3a十a4,故3d=a,=a十2d,即a B d故a,=,将以6==宁8=空 2 d 2 T.=m”3》,又S,+T=21,即3X4d+3×5=21,即 2d 2 2d 答案：25 2d-7d+3=0,故d=3或d=(舍)，故a的道项 7,解析：折叠后，易知①②均可围成三棱锥，即四面体，且 公式为an=3m. 各侧棱都相等，而③①折叠后只能围成无底的四棱锥， e)易物6a园 答案：①② 8.解析：如图所示，作出等腰稀形ABCD的直观图。 所以-是4=6a 12 因为{b,1是等差数列，所以2b=b1十b, 所以a吕 D EC 整理得(a1一2d)(a1一d)=0. 所以a1=2d或a1=d. 当a1=d时，a.=d,a1=d>l. 国为0E=√=1，所以0E-，EF=9 于是6="，s="d,T=2 2 2d, 而S一工，=9，所以50d一号-1.解得d=品友d 则直观图A'B'CD'的面积S=1中3×巨-互 2 42 -1(舍去). 答案号 ·389·