第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

　　　第２节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．理解同角三角函数的基本关系式: sin２α＋cos２α＝１,sinαcosα＝tanα． α≠π２＋kπ ,k∈Zæ è ç ö ø ÷ ２．借助单位圆的对称性,能利用三角 函数线推导出诱导公式(π ２±α , π±α,－α的正弦、余弦、正切) １．同角三角函数的基本关系,发 展数学抽象和数学运算素养． ２．三角函数的诱导公式,提升数 学抽象和数学运算素养． ３．诱导公式、同角三角函数关系 式的活用,提升数学抽象和数 学运算素养 　　同角三角函数基本关系式及 诱导公式多与和角、差角的正弦、 余弦、正切公式及倍角公式综合命 题,题型一般为选择题、填空题形 式,属于中低档题目,考查学生的 运算求解能力、等价转化能力及方 程思想、整体思想的运用 [必备知识] １．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:　　　　　　　　． (２)商数关系: 　 α≠π２＋kπ ,k∈Zæ è ç ö ø ÷． ２．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２－α π ２＋α 正弦 sinα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 正切 tanα 　　　 　　　 　　　 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对于kπ２ ±α ,k∈Z 诱导公式可简记 为:奇变偶不变,符号看象限． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)sin２θ＋cos２φ＝１． (　　) (２)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任 意角． (　　) (３)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (　　) (４)诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限” 中的“符号”与α的大小无关． (　　) (５)若sin(kπ－α)＝１３ (k∈Z),则sinα＝１３． (　　) [小题查验] １．sin２０２５°的值为 (　　 ) A．－ ２２ B．－ ３ ２ C． １ ２ D． ２ ２ ２．(２０２５􀅰呼和浩特市一模)若sinα＝５１３ ,且α为第 二象限角,则tanα的值等于 (　　 ) A．１２５ B．－ １２ ５ C． ５ １２ D．－ ５ １２ ３．(２０２５􀅰泉州模拟)已知sinθ＋cosθ＝４３ ,θ∈ π ４ ,π ２[ ],则sinθ－cosθ＝ (　　) A．２３ B．－ ２ ３ C． １ ３ D．－ １ ３ ４．(２０２４􀅰潍坊二模)若３sinα－sinβ＝ １０,α＋β＝ π ２ ,则sinα＝　　　　,cos２β＝　　　　． ５．sin (２π－α)􀅰cos(π－α) cos５π２＋α æ è ç ö ø ÷sin５π２－α æ è ç ö ø ÷ ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形 考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式) [母题]　已知α是三角形的内角,且sinα＋cosα ＝１５． (１)求tanα的值; (２)把 １ cos２α－sin２α 用tanα表示出来,并求其值． [破题关键点]　(１)法一,利用已知条件及平方 关系先求出sinα与cosα的值,再利用商数关系 求出tanα的值．法二:利用已知条件及平方关 系先求出sinα－cosα的值,再求出sinα与cosα 的值,再利用商数关系求出tanα的值．(２)先进 行“１”的代换,即１＝sin２α＋cos２α,再化弦为切 求值． [子题１]　将母题中的条件和结论互换:已知α是 三角形的内角,且tanα＝－１３ ,求sinα＋cosα 的值． [子题２]　保持母题条件不变, 求:(１)sinα－４cosα５sinα＋２cosα ; (２)sin２α＋２sinαcosα的值． [子题３]　若母题条件变为sinα＋３cosα３cosα－sinα＝５ , 求tanα的值． 　　 (１)利用sin２α＋cos２α＝１可以实现角α的正 弦、余弦的互化,利用sinα cosα＝tanα 可以实 现角α的弦切互化． (２)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα＋ cosα,sinαcosα,sinα－cosα这三个式子,利用 (sinα±cosα)２＝１±２sinαcosα,可 以 知 一 求二． (３)注 意 公 式 逆 用 及 变 形 应 用:１＝sin２α＋ cos２α,sin２α＝１－cos２α,cos２α＝１－sin２α． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点二　三角函数的诱导公式(自主练透) [题组集训] 完成下列各题 (１)(２０２５􀅰济南市二模)已知sinα＋π６ æ è ç ö ø ÷＝１３ , 则sin５π６－α æ è ç ö ø ÷的值为　　　　． (２)设f(α)＝ ２sin (π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α) １＋sin２α＋cos３π２＋α æ è ç ö ø ÷－sin２ π２＋α æ è ç ö ø ÷ (１＋２sinα≠０),则f －２３π６ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． (３)已知sinα是方程５x２－７x－６＝０的根,α是第 三象限角,则 sin －α－３２π æ è ç ö ø ÷cos ３２π－α æ è ç ö ø ÷ cos π２－α æ è ç ö ø ÷sin π２＋α æ è ç ö ø ÷ 􀅰tan２(π －α)＝　　　　． 诱导公式应用的原则和步骤 ①原则:负化正、大化小、化到锐角为终了． ②步骤:利用诱导公式可以把任意角的三角 函数转化为０~π４ 之间角的三角函数,然后求 值,其步骤为: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研) 数学运算———三角函数式化简求值中的核心素养 　　三角运算是重要的“数学运算”,在正确分析条 件和所求的基础上明确运算的方向,灵活地选用三 角公式,完成三角运算． [典 例 ]　 (１)已 知 tan π６－α æ è ç ö ø ÷ ＝ ３３ ,则 tan５π６＋α æ è ç ö ø ÷＝　　　　． (２)已知θ是第四象限角,且sin θ＋π４ æ è ç ö ø ÷＝３５ , 则tan θ－π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 巧用相关角的关系、简化解题过程 (１)常见的互余的角:π３－α 与π ６＋α ;π ３＋α 与 π ６－α ;π ４＋α 与π ４－α 等． (２)常见的互补的角:π３＋θ 与２π ３－θ ;π ４＋θ 与 ３π ４－θ 等． [跟踪训练] １．已 知 sin π３－α æ è ç ö ø ÷ ＝ １２ ,则 cos π６＋α æ è ç ö ø ÷ ＝ 　　　　． ２．已知α∈(０,π),且３cos２α－８cosα＝５,则sinα＝ (　　) A．５３ B． ２ ３ C．１３ D． ５ ９ 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十九 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　上篇:第三章　三角函数、解三角形 考点四 1.D[300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故 sin300°<0：-305°=-360°+55°.则-305°是第一象限 角，故c0(-305)>0:而-号x=-8x十号，所以-号 3 π是第二象限角， 故16m（号)0，调为3<10<号，所以10是第三 象限角，故sin10<0.] 2.解析：法一：由sin200,得2kπ十r202kx十2r(k∈ Z),x十受<<kx十xk∈D》. 当k为奇数时，0的终边在第四象限： 当k为偶数时，0的终边在第二象限. 又因cos0≤0，所以0的终边在左半坐标平面（包括y 轴)，所以0的终边在第二豪限. 所以tan<0,cos<0,点P在第三象限. 法二：由cos0=-cos0,知cos0≤0，① 又sin20<0,即2sin0cos00,② 由①②可推出(sin>0 Icos 0<0' 因此0在第二象限，P(tan0,cos0)在第三象限. 答案：三 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)sina十cosa=1 (2)sin a=tan a 2.-sin a cos a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a 一c0sa sin a 一sin a tan a -tan a -tan a 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)√(5)× 小题查验 1A2D品A43治 45.-1 5 跃升·关键能力考点一 [母题][解](1)法一：联立方程 1 sina+cosa=5、① sina+cos2a=l,② 1 由①得cosa=方一sina,将其代入②，整理得 25sina-5sina-12=0.:a是三角形内角， 4 sin a=5 ,∴.tana= 4 3 3 cos a=- 1 法二：：sina十cosa=5' (sinac0sa)=(），1+2 2sin acosa-= 251 2sin acos a=- 4 25 ..(sin a-cos a)=1-2sin acos a=1+ 2449 2525· '"'sin acos a= 12<0,且0<a<r, .'sin a>0,cos a<0,sin a-cos a >0. 7 ,∴.sin a-cos a= 5 1 sina十co5a= sin a=5' 的 > 得 3 sin a-cos a= 5, cos a=- 5 ,∴.tana= 3 ·3 参考答案 (2) 1 sin'a+cos'a cos a-sin a cos'a-sin'a sin'a+cos a cos'a tana十1 tan a=- 4 cos'a-sin'a 1-tan'a' 3 cos'a 1 _tan'a+1 )+ 25 cos'a-sin'a 1-tan'a 71 [子题1]解：由tana=一 3，得sina= 3cos a, 将其代入sin2a十cosa=1, 得号osa=1osa=品易知as<0, .cos a=- 10 sin a=v10 310 10 故sina十cosa= √/10 5 [子题2]解：由母题解析可知：1ana=一 4 3 (1)sin a-4cos a 【ana-4 5sin a+2cos a 5tan a+2 L一4 3 8 (2)sin'a2sin acoss2sin acos sin a+cos'a 168 tan'a+2ian a 9 3 1+tan'a 1+ [子题3】解：由a十3c0se-5,得a0a十3=5，即ana 3cos a-sin a 3-tan a =2. 考点二 解析：sin(g-a）-sin[x-(语-o门 sim(a+晋）子 1 (2)f(a)=(-2sin a)(-cos a)+cosa 1+sin'a+sin a-cos'a 2 sin acos a十cose_cosa(1+2sina） 2sin'a+sin a sin a(1+2sin a) 1+2sma≠0.…f(-2g） tan a 1 1 1 an(-4x+）an晋 (3):方程5x-7x-6=0的根为-号或2 又a是第三象限角，∴.sima=一 3 5 'cos a=-1-sin'a=- 5 3 "tan a=sin a 5 3 cos a 4 4 5 原式=cosa二sina2.tan2a=-am'a= 9 sina·cosa 16 答案：1宁 (2W3(3)-16 9 5 艺考生文化课百日冲关·数学 考点三 [典例1[解桥]：(+a)十(-a）=, m(停+a)小m-(告-刀 =-am(答-c）-g (②)周为0是第四象限角，且i加(9+子）=子 所以0叶于是第一象限角，所以o(叶子）=专 所以m(-)）=im[-受+(+季)] m[受-(0+)门-o(0+)-青 os(0平)厂o[-受+(0+)] =o[-(0+)门-in(0+)-号 华 [答案] 跟踪训练 1.解析：“(-）十(+a-, ∴os(答+a）os[登-（停-aj] =sin(-a）-2 答案：之 2.A[原式化简得3cosa-4cosa-4=0,解得cosa= 3 或2（舍），又a∈(0，x),所以sina= 第3节 夯实·必备知识必备知识 2{eR.且x≠x+受k∈z [-1,1][-1,1] 2x元奇函数 受2x+] 2 [2kπ-元，2kπ] [2x+号2ka+]2,2x+司，0 (km+受0）x=m 思考辨析(1)√(2)√ (3)×(4)×(5)X 小题查验 1.C2.A3.BC4.AD5.[0.1] 跃升·关键能力考点一 1.解析：(1)法一（利用三角函数图象）：要？ 使函数有意义，必须使inx一cosx≥ 0.在同一坐标系中画出[0,2π]上牙 y=in,x和y=osr的图象，如图所示， - 在[0,2为内，满足血=msr的x为行要再结合正孩余 弦函数的周期是2π，所以函数y=√Six一cosx的定义域 为{女2x+开<r≤2x+平e公 法二（利用三角函数线）：画出满足条件 sinx≥cosx的角x的终边范围（如图阴 影部分所示)，∴.函教y=√inx一cOsx 的定义城为{2x+子 <r<2a+平keZ, ·31 法三（利用整体思想）：simx-c0osx=反n(x-开)）≥0， 将工一平视为一个整体，由正孩函数y=mx的国象和 性质可知2次x≤x-平≤x十2k,k∈乙，解得2张x十牙≤ r≤2kx+5还，k∈Z.所以函数y=√sint-cos江的定义 4 城为{2kx+平<xr<2kx+要∈Z (2)由in2之0得(2k2x2kx+,k∈Z 19-x2≥0,1-3x3. -3<-受0< .函数y=lg(sin2x）十√9-r的定义域 为-3-吾0<号} 答案：1{2x+<r≤2x+要k∈Z (2){x-3≤r<- 2.A[)=i血3(ar+音）=in(3ar+x)=-血3 ,由T一-，得w-号 即x)=-sin2,当xe[-是晋]时， 画出f(x)=-sin2x图象，如图， 由图可知，f(x)=-sin2x在 【音·]上单调递减。 所以，当=时 f()=-sin32.] 3 (2)解折：)=加(2r+受） 3cos 2=-cos 2r-3cos =一2m+受)厂+号周为[-1所以当mE =1时，f(x)取得最小值， f（r)n=-4. 答案：一4 考点二 [典例] （1)[解析]y=一sin(2x-苓）的减区间是 y=in(2x一吾)的增区间. 由2kx-受≤2-≤2kx+登k∈ 得kr一 12 故所给画载的减区间为[红一登x+]∈么 [答案] [a是+]z (2)[解析]方法一：第一步，求出f(x)=2 sin wr十1(u >0)的单调递增区间. 由2kx-受<ar<2k+吾，k∈Z. 的区同是[-元·2+]6 第二步，转化为集合之间的关系，即【一受，]是画数 f(x)单调递增区间的子区间.