课时冲关26 平面向量的数量积与平面向量应用举例&课时冲关27 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

艺考生文化课百日冲关·数学 课时冲关二十六 1.A[由已知得a十b2=10,a-b2=6,两式相减，得a ·b=1. 2.D[因为a=b=1,则a-2b=a2-4a·b十4b= 5一40·b=1,得ab=-合，所以a在b方向上的投影 向量为6的.6=-子] 3.C[因为(a十b)⊥(3a-2b),所以(a+b)·(3a-2b) 0,则a·b=2b-3a,又a=22b,对a·b 3 2-(9)-号65，所以ma a·b a·b2亚b·b 2 .又0≤(a,b》≤π，则a 3 与6的夫角为票] 4,D先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可以用向 量OA,OB表示出2CA十AB.即可解出」 因为OA=OB=√2，AB=2, 由AB=OB-OA单方，可得OA·OB=0,所以(OA.OB =受.2CA+AB=20A-0C)+0i-0A=0A+0i 20C,0C1=√3+4F=5, 所以，2CA+AB2=OA+OB+4OC-4(OA+OB) ·0C=2+2+4×25-4(OA+OB)·0C=104-4(0A +OB)·OC 又(OA+0B).0元≤0A+0i10=5×V2+2 10,即-10≤(0A十OB)·OC≤10. 所以2CA+AB2∈[64,144]，即|2CA+AB∈[8， 12]. 5.ACD[对于A,因为b在a上的投影向量为a,即a:也 a ·日=0所以9-1，中产-1解得=3，我A (W5)2 正确：对于B,a=(一1,2)，b=(1,3),所以(-1)×3-2 ×1≠0，故B错误：对于C,a·(b一a)=(一1,2)·(2,1) =-2+2=0,所以a⊥(b-a),故C正确：对于D,cosa, =日合后灵后号所以a与6的夫角为。 故D正确.门 6.解析：根据题意，因为a一2b=a一2b,所以a十2b日 =a-2b2,所以(a十2b)2=(a-2b),所以a+4a·b 十4b=a2-4a·b+4b,所以a·b=0,a·b=(-1, -2)·(m,2)=-m-4=0,∴.m=-4,此时b=（-4, 2),则b=√2+(-4)F=√/20=2√5. 答案：2√5 7.解析：因为2a+b=√3，所以4a°十4a·b+b=3,所以 a:b=-是，则(a-b产=-2a·b+6=3,故a-b =5 答案：w5 ·38 8.解析：如图，因为E为CD的中 点，则ED十EC=0, 可得E+0=4d AE+EC=AC 两式相加，可得到2AE=AD A +AC, 卑2AE=名0+b:期A证=a+b: 因为B亦=BC,对2FB+FC-0. 可得A+匹-AG AF+FB=AB 得到AF+FC+2(AF+FB)=AC+2AB. 即3护=a+6,即示=号a十子8 手是AE·A=(仔+)（号a+) =b(2a+50·b2b). 记AB=x,AC=y, 则A正.AF=是2a+5a·b+2b) =2r2+5oms60+2y) =(x+受+2） 2 在△ABC中，根据余弦定理： BC=x'+y-2xycos 60=x+y-xy=1. 于是A正·A示=(y+受+2） =(受+小 由x+y2-xy=1和基本不等式，x2十y-xy=1≥2xy -xy=zy, 故xy≤1，当且仅当x二y=1取得等号， 则=y=1时，A正·AF有最大值是 答案+0员 13 9.解：(1)a=(1,2),b=(2,-2), ,.c=4a十b=(4,8)十(2，-2)=(6,6). .b·c=2×6-2×6=0,.(b·c)a=0·a=0. (2)a十b=(1,2)十1(2，-2)=(2a+1,2-2a), 由于a十λb与a垂克， 2以+1+22-20=0A=号.a的值为号 (3)设向量a与b的夹角为9，向量a在b方向上的投影 数量为acos0. ÷aos9=a:b_1X2+2x(-2--2=-2 b 2+(-2222· 10,解：1)：A店.AC=-号，A店·AC· ∠BAC=A丽.C=一号 即AB·AC=15, ∴Saw=A店·Aclsin∠BAC =x15×9-155 2 (2)法一：由AB=5,得AC=3, 延长AD到E,使AD=DE,连 接BE.,BD=DC, D .四边形ABEC为平行四边 形，，.∠ABE=60,且BE=AC =3. 参考答案 设AD=x,则AE=2x,在△ABE中，由余孩定理得： (2x)=AB+BE-2AB·BEcos∠ABE=25+9-15= 虚教，则y=00,故C正确：对于选项D,若-1十i,则 19解得=要，即AD的长为雪 (1十i)=1,即(x+3i)(1十i)=1,所以(x一y)十(x十y)i=1, 则x一y=1x十y=0,故D错误.] 法二：由AB=5,得AC=3, 8.BD[A选项，得到的一列值为、√2,2,4,16，不是收敛点；B 在△ABC中，由余弦定理得BC=AB+AC-2AB· 选项，得到的一列值为一i,一1,1,1,1,1，…是收敛点：C选 AC cos.∠BAC=25十9+15=49，得BC=7. BC 项，得到的一列值为1一i,一21，一4,16，…不是收敛点；D选 AB 由正孩定理得n一BAC-sin乙ACD 项得到的一列值为}一号9.一号+9.一号 得sin∠ACD=ABsin∠BAC_ X③ BC 7 14 …是收纸点] :0<∠ACD<90°， 9.解析：由图形可得，A点表示的复数1为，B点表示的 ∴os∠ACD=-ZACD= 复数x:为2-i, 在△ADC中，AD2=AC+CD2-2AC· …三=2-2=-1-21 i i·(-i) CDc∠ACD=9+9-2X3X名×号-号 4 答案：-1-2i 1解析：因为片-一兽-i袋次代入 (1+i) 解得AD= 19 2 法三：由AB=5,得AC=3,在△ABC中，由余弦定理得 t1,发现n=4时等式第一次成立，所以() BC=AB+AC-2AB·ACcos∠BAC=25+9+15=49, 得BC=7.在△ABC中， =ai)=4. COs/ACB-ACBC-AB949-2511 答案：4 2AC·BC 2×3×714 课时冲关二十八 在△ADC中，由AD=AC十CD-2AC· L.B[观察知已知数列的通项公式是an=√2n-T,令a。 CDas∠ACD=9+9-2X8X子×贵-是 4 =√2m-I=35=√45，得n=23.] 解得AD= 2.B[依题意，a1=1,S。-S-1=a,=2a.-2a-1-1→a. 21 =2a。-1十1→a。十1=2"，所以a1=127.] 课时冲关二十七 3.B[由0、2、4、8、12、18、24、32、40.50…， 1.A-a+)2-D 可得偶数项的通项公式：a2。=2n, 5 则此数列第20项=2×10=200.] 2a+3+6-=,则2a+3=0,故a=-是.] ,an为偶数 5 4.D[因为数列{an}满足a.+1 ,且a 2.B[因为(1+i)z=√5-i=√(W3)2+(-1)2=2,所以 (3a。十1，a。为奇数 2(1-i) =1, 市年五=1-i,所以=1+i] 3c=+(+)-(（)+(+) 所以a2=3a1十1=3+1=4，a1= 2 =2=2,a= 所以=（写）（+小所以在复面内时 号=1a,=3a+1=3+1=4] 应的，点位于第三象限，门 五AD[由题意得a=(学)×[（学）-]-1× 4.C[根据题意有：因为复数满足x2一2x十2=0，即(z (1-1)=0, 一1)=1，故=1十i或=1一i,因为复数z所对应的 点在第四象限，故复数2=1一i,所以z2=一2i.1 当m>1时，0<（号）<1，（号）-1<0， 5,D[因为一1十√②i是关于x的实系数方程x2十mx十n =0的一个复数根，所以一1一√②是关于x的实系数方 a=(号)·[（传）-小o. 程x十mr十n=0的另一个复数根，由韦达定理得一m {an}的最大项为a1=0 =-1+√②i+(-1-√2i),解得m=2,n=(-1十√②i)( 4=(号)广×[()广-小×（停）-号 1一√②i)=1一2=3，则m十n=5,故D正骑，门 6.C [z=x+yi,lz=1,-1=-il, 4(号)×[（号）-小×(÷-)器 ② 则+y=1 2 x-1)+y2=x2+y-1) ()×[(号)-小×（倍） ② 2 a-a=(号)×[（号）-]（号）× =-号 兽号(9别 (小()× 2 =W2+√2i=2.] -(号)[哈-（学）] 7,ABC[对于选项A,因为x=x十yi,则x十i=x十(y十 .当n≥3时，a+1一a>0: 1)i,十i=√+(y+1),若|：十i=1,则x2+(y+ 当n<3时，a+1a<0, 1)产=1，故A正确：对于选项B,:=x十y,若：是实数 则y=0,故B正确；对于选项C,因为i=iy,若i是纯 .{an}的最小项为a=一 ·385·　　　　　　　　　 课时冲关二十六　平面向量的数量积 与平面向量应用举例　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．设向量a,b满足|a＋b|＝ １０,|a－b|＝ ６, 则a􀅰b＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．５ ２．(２０２５􀅰四川成都模拟预测)已知单位向量 a,b满足|a－２b|＝ ７,则a在b上的投影向 量是 (　　) A．１２a B．－ １ ２a C． １ ２b D．－ １ ２b ３．(２０２５􀅰南京调研)已知非零向量a,b满足 |a|＝２ ２３ |b| ,若(a＋b)⊥(３a－２b),则a 与b的夹角为 (　　) A．π４ B． π ２ C． ３π ４ D．π ４．(２０２５􀅰北京卷)已知平面直角坐标系xOy 中,|OA → |＝|OB → |＝ ２,|AB → |＝２,若C(３, ４),则|２CA → ＋AB → |的取值范围是 (　　) A．[６,１４] B．[６,１２] C．[８,１４] D．[８,１２] ５．(多选题)(２０２５􀅰济宁质检)已知向量a＝ (－１,２),b＝(１,λ),若b在a 上的投影向量 为a,则 (　　) A．λ＝３ B．a∥b C．a⊥(b－a) D．a与b的夹角为４５° ６．(２０２５􀅰山师大附中三模)已知向量a＝ (－１,－２),b＝(m,２),若|a＋２b|＝|a－２b|,则 |b|＝　　　　． ７．(２０２５􀅰四川质检)已知单位向量a,b满足 |２a＋b|＝ ３,则|a－b|＝　　　　． ８．(双空填空题)(２０２５􀅰重庆模拟)在△ABC中, ∠A＝π３ ,|BC → |＝１,点D为线段AB的中点,点 E为线段CD的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示为　　　;若BF → ＝１３BC →,则AE → 􀅰AF → 的最大值为　　　　． ９．已知向量a＝(１,２),b＝(２,－２)． (１)设c＝４a＋b,求(b􀅰c)a; (２)若a＋λb与a垂直,求λ的值; (３)求向量a在b方向上的投影． １０．已知如图,△ABC 中,AD 是BC边的中线,∠BAC＝ １２０°,且AB → 􀅰AC → ＝－１５２． (１)求△ABC的面积; (２)若AB＝５,求AD 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 　　　　　　　　　　课时冲关二十七　数系的扩充与复数的引入　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．若复数a＋３i２＋i 是纯虚数,则实数a＝ (　　) A．－３２ B． ３ ２ C．－ ２ ３ D． ２ ３ ２．(２０２５􀅰福州市５月质检)已知复数z满足 (１＋i)z＝|３－i|,i为虚数单位,则􀭵z＝ (　　) A．１－i B．１＋i C．２－２i D．２＋２i ３．(２０２５􀅰天津模拟)已 知 复 数z＝(１＋i) １ ２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷,则在复平面内􀭵z对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ４．(２０２５􀅰烟台模拟)若复数z所对应的点在 第四象限,且满足z２－２z＋２＝０,则z２＝ (　　) A．１＋i B．１－i C．－２i D．２i ５．(２０２５􀅰山东潍坊二模)已知－１＋ ２i是关 于x的实系数方程x２＋mx＋n＝０的一个 复数根,则m＋n＝ (　　) A．－５ B．－１ C．１ D．５ ６．(２０２５􀅰山东省实验中学押题密卷)已知复 数z１,z２,z１≠z２,若z１,z２ 同时满足|z|＝１ 和|z－１|＝|z－i|,则|z１－z２|为 (　　) A．１ B．３ C．２ D．２ ３ ７．(多选题)(２０２５􀅰遂宁市模拟)关于复数z＝ x＋yi(x,y∈R),下列说法正确的是 (　　) A．若|z＋i|＝１,则x２＋(y＋１)２＝１ B．若z是实数,则y＝０ C．若zi是纯虚数,则x≠０,y＝０ D．若１z＝１＋i ,则x＋y＝１ ８．(多选题)(２０２５􀅰武汉市模拟)定义域是复数 集的子集的函数称为复变函数,f(z)＝z２ 就是 一个多项式复变函数．给定多项式复变函数 f(z)之后,对任意一个复数z０,通过计算公式 zn＋１＝f(zn),n∈N可以得到一列值z０,z１,z２, 􀆺,zn,􀆺,如果存在一个正数M,使得|zn|＜M 对任意n∈N都成立,则称z０ 为f(z)的收敛 点;否则,称z０ 为f(z)的发散点．则下列选项 中是f(z)＝z２ 的收敛点的是 (　　) A．２ B．－i C．１－i D．１２－ ３ ２i ９．如图所示,在复平面内,网 格中的每个小正方形的边 长都为１,点A,B对应的复 数分 别 是z１,z２,则 z２ z１ ＝ 　　　　． １０．设z是复数,a(z)表示满足zn＝１时的最小正 整数n,i是虚数单位,则a１＋i１－i æ è ç ö ø ÷＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号: