课时冲关24 平面向量的概念及线性运算&课时冲关25 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　　课时冲关二十四　平面向量的概念及线性运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．在四边形ABCD中,AB∥CD,AB ＝３DC,E为BC的中点,则AE → ＝ (　　) A．２３AB → ＋１２AD → B．１２AB → ＋２３AD → C．５６AB → ＋１３AD → D．１３AB → ＋５６AD → ２．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R),d＝ a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且c与d 反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且c与d 反向 ３．(多选题)已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB的中点,且BC → ＝a,CA → ＝b,则下 列命题正确的是 (　　) A．AD → ＝１２a－b　　　B．BE → ＝a＋１２b C．CF → ＝－１２a＋ １ ２b D．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ ４．已知向量a,b是两个不共线的向量,若AB → ＝ λ１a＋b,AC → ＝a＋λ２b(λ１,λ２∈R),则“A,B,C 三点共线”是“λ１􀅰λ２－１＝０”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．已知非零不共线向量OA →、OB →,若 ２OP → ＝ xOA → ＋yOB →,且PA → ＝λAB →(λ∈R),则点 Q(x,y)的轨迹方程是 (　　) A．x＋y－２＝０ B．２x＋y－１＝０ C．x＋２y－２＝０ D．２x＋y－２＝０ ６．在△ABC中,点D 在线段BC 的延长线上, 且BC → ＝３CD → ,点O在线段CD上(与点C,D不 重合),若AO → ＝xAB → ＋(１－x)AC → ,则x的取值 范围是 (　　) A．０,１２ æ è ç ö ø ÷ B．０,１３ æ è ç ö ø ÷ C．－１２ ,０æ è ç ö ø ÷ D．－１３ ,０æ è ç ö ø ÷ ７．(２０２５􀅰 浙 江 二 模)在 △ABC 中,BD ＝ １ ３BC ,点E是AD 的中点,记AB → ＝a,AC → ＝ b,则BE → ＝ (　　) A．－１３a＋ １ ３b B．－ ２ ３a＋ １ ６b C．－１３a－ １ ３b D． ２ ３a－ １ ６b ８．设a,b不共线,AB → ＝２a＋pb,BC → ＝a＋b,CD → ＝a－２b,若A,B,D 三点共线,则实数p 的 值为 (　　) A．－２　　　B．－１　　　C．１　　　D．２ ９．已知两个非零向量a,b满足|a＋b|＝|a－b|, 则下列结论正确的是　　　　．(填序号) ①a∥b;②a⊥b;③|a|＝|b|;④a＋b＝a －b． １０．(２０２４􀅰上海卷)已知a＝(２,５),b＝(６,k), a∥b,则k的值为　　　　． １１．(双空填空题)如图所示, AD 是 △ABC 的 中 线,O 是AD 的中点,若CO → ＝λ AB → ＋μAC → ,其中λ,μ∈R, 则λ＝ 　, μ＝　　　　． １２．(２０２５􀅰上饶市二模)已知a,b为单位向 量,且a＋b＋c＝０,则|c|的 最 大 值 为 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 　　　　　　　　　 课时冲关二十五　平面向量的基本定理 及坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．下列各组向量中,可以作为基底的是 (　　) A．e１＝(０,０),e２＝(１,２) B．e１＝(－１,２),e２＝(５,７) C．e１＝(３,５),e２＝(６,１０) D．e１＝(２,－３),e２＝ １ ２ ,－３４ æ è ç ö ø ÷ ２．已知向量a＝(－１,２),b＝(λ,１)．若a＋b与 a平行,则λ＝ (　　) A．－５ B．５２ C．７ D．－ １ ２ ３．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(３, －２m),b＝(１,m－２),且平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ,μ为实 数),则实数m 的取值范围是 (　　) A．(－∞,２) B．６５ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．(－∞,－２)∪(－２,＋∞) D．－∞,６５ æ è ç ö ø ÷∪ ６５ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ ４．设向量a＝(１,－３),b＝(－２,４),c＝(－１, －２),若表示向量４a,４b－２c,２(a－c),d的 有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d ＝ (　　) A．(２,６) B．(－２,６) C．(２,－６) D．(－２,－６) ５．(多选题)(２０２５􀅰梅河口市一模)△ABC 是 边长为２的等边三角形,已知向量a,b满足 AB → ＝２a,AC → ＝２a＋b,则下列结论正确的是 (　　) A．|a|＝１ B．a⊥b C．a􀅰b＝１ D．(４a＋b)⊥BC → ６．(２０２５􀅰上海二模)已知向量a＝(１,２),b＝ (２,－２),c＝(１,λ)．若c∥(２a＋b),则λ＝ 　　　　　． ７．(２０２５􀅰柳州市模拟)设A(１,１),B ４,１１２ æ è ç ö ø ÷,点C 满足AC → ＝２CB → ,则点C 到原点O 的距离为 　　　　． ８．(双空填空题)在等腰梯形ABCD 中,AB → ＝ ２DC → ,点E是线段BC 的中点,若AE → ＝λAB → ＋μAD → ,则λ＝　　　　,μ＝　　　　． ９．如图,已知 △OCB 中,点 A 是BC 的中点,D 是将 OB → 分为２∶１的一个内分 点,DC和OA 交于点E,设OA → ＝a,OB → ＝b． (１)用a和b表示向量OC → ,DC → ; (２)若OE → ＝λOA → ,求实数λ的值． １０．已知点O(０,０),A(１,２),B(４,５)及OP → ＝OA → ＋ tAB → ,试问: (１)t为何值时,P 在x轴上? 在y轴上? P 在第三象限? (２)四边形OABP 能否成为平行四边形? 若能,求 出 相 应 的t值;若 不 能,请 说 明 理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 ６．解析:模型可简化为如图,在Rt△ADC 中,∠BAD＝４５°,∠CAD＝７５°,所 以 BD tan４５°×tan７５°－BD＝２０ ,而tan７５° ＝tan(４５°＋３０°)＝ tan４５°＋tan３０°１－tan４５°×tan３０° ＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝３＋ ３ ３－ ３ ,代 入 上 式 并 化 简 可 得BD＝７．３２米． 答案:７．３２ ７．解 析:根 据 题 意,在 △ABC 中,２ccosB ＝２a－b, 则２sinCcosB＝２sinA－sinB,变形可得２sinCcosB ＝２sin(B＋C)－sinB,则有２sinBcosC＝sinB,因为sinB＞ ０,所以cosC＝１２ ,因为C∈(０,π),则C＝π３． 答案:π ３ ８．解析:如图所示:记AB＝c,AC＝ b,BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得b＝１＋ ３, 由S△ABC ＝S△ABD ＋S△ACD ,可 得 １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD ×sin３０°＋１２×AD×b×sin３０° , 解得AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ ９．解:(１)因 为 cosA＝ － １３ ,A∈ (０,π)所 以 sinA＝ １－cos２A＝２ ２３ , 由正弦定理有asinC＝csinA＝２ ２３c＝４ ２ ,解得c＝６; (２)如图所示,若△ABC存在,设其BC边上的高为AD, 若选①,a＝６,因为c＝６,所以C＝A,因为cosA＝－１３ ＜０,这表明此时三角形 ABC 有两个钝角,而这是不可 能的,所以此时三角形 ABC 不存在,故BC 边上的高也 不存在; 若选②,asinB＝１０ ２３ ,由asinC＝４ ２ 有sinB sinC＝ ５ ６ ,即b c ＝ ５ ６ ,所以b＝５, a＝ b２＋c２－２bccosA＝ ５２＋６２－２×５×６×(－１３ )＝９, 由S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２a 􀅰AD 得 AD＝bcsinAa ＝ ６×５×２ ２３ ９ ＝ ２０ ２ ９ ． 若选③,△ABC的面积是１０ ２,则S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２b×６× ２ ２ ３ ＝１０ ２ , 解得b＝５,由 余 弦 定 理 可 得a＝ b２＋c２－２bccosA＝ ２５＋３６－２􀅰５􀅰６ －１３( ) ＝９可以唯一确定, 进一步由余弦定理可得cosB,cosC 也可以唯一确定, 即B,C可以唯一确定, 这表明此时三角形 ABC 是存在的,且 BC 边 上 的 高 满 足:S△ABC＝ １ ２a 􀅰AD＝９２AD＝１０ ２ ,即AD＝２０ ２９ ． １０．解:(１)设a＝２t,c＝３t,t＞０,则根据余弦定理得b２＝a２ ＋c２－２accosB, 即２５＝４t２＋９t２－２×２t×３t×９１６ ,解得t＝２(负值舍去); 则a＝４,c＝６． (２)因为B 为三角形内角,所以sinB＝ １－cos２B＝ １－ ９１６( ) ２ ＝５ ７１６ , 根据正弦定理得 a sinA＝ b sinB ,即 ４ sinA＝ ５ ５ ７ １６ , 解得sinA＝ ７４． (３)因为cosB＝９１６＞０ ,且B∈(０,π), 所以B∈ ０,π２( ) , 由(２)知sinB＝５ ７１６ , 因为a＜b,则A＜B,所以cosA＝ １－ ７ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４ , 则sin２A＝２sinAcosA＝２× ７４× ３ ４＝ ３ ７ ８ ,cos２A＝ ２cos２A－１＝２× ３４( ) ２ －１＝１８ , cos(B－２A)＝cosBcos２A＋sinBsin２A ＝９１６× １ ８＋ ５ ７ １６ × ３ ７ ８ ＝ ５７ ６４． 课时冲关二十四 １．A　[BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－２３AB → ＋AD →, AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋１２BC → ＝AB → ＋ １ ２ AD → －２３AB → ( )＝２３AB → ＋１２AD → ．] ２．D　[由题意可设c＝λd,即ka＋b＝λ(a－b), (λ－k)a＝(λ＋１)b．∵a,b不共线,∴ λ－k＝０ , λ＋１＝０．{ ∴k＝λ＝－１．∴c与d 反向．] ３．BCD ４．C　[A,B,C 三点共线等价于AC →,AB→共线,根据向量共 线的充要条件知,AC →、AB→共线,即存在实数λ,使得AC→＝λ AB →,即a＋λ２b＝λ(λ１a＋b),由于向量a,b不共线,根据平面 向量的基本定理得λ１􀅰λ＝１且λ２＝λ,消掉λ,得λ１􀅰λ２－１ ＝０．故“A,B,C 三点共线”是“λ１􀅰λ２－１＝０”的充分必要 条件．] ５．A　[由PA→＝λAB→,得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→),即OP→＝(１ ＋λ)OA→－λOB→．又２OP→＝xOA→＋yOB→,所以 x＝２＋２λ , y＝－２λ,{ 消 去λ得x＋y－２＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ６．D　[设CO → ＝yBC →,∵AO→＝AC→＋CO→ ＝AC → ＋yBC → ＝AC → ＋y(AC → －AB →) ＝－yAB → ＋(１＋y)AC → ． ∵BC → ＝３CD →,点O 在线段CD上(与点C,D不重合), ∴y∈ ０,１３( ) ,∵AO → ＝xAB → ＋(１－x)AC →, ∴x＝－y,∴x∈ －１３ ,０( )．] ７．B　[由题设BE → ＝１２ (BA → ＋BD →)＝ １ ２ BA → ＋１３BC → ( ) ＝１２ BA → ＋１３ (BA → ＋AC →)[ ] ＝－２３AB → ＋１６AC →,所以BE→＝－２３a＋ １ ６b． ] ８．B　[∵BC → ＝a＋b,CD → ＝a－２b, ∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝２a－b． 又∵A,B,D 三点共线,∴AB →,BD→共线． 设AB → ＝λBD →,∴２a＋pb＝λ(２a－b), ∵a,b不共线, ∴２＝２λ,p＝－λ,∴λ＝１,p＝－１．] ９．解析:根据向量加法、减法的几何意义可知, |a＋b|与|a－b|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形 的两条对角线的长,因为|a＋b|＝|a－b|,所以该平行四 边形为矩形,所以a⊥b． 答案:② １０．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ １１．解析:由题意知,CO → ＝１２ (CD → ＋CA →)＝１４CB → ＋１２CA → ＝ １ ４ (AB → －AC →)＋１２CA → ＝１４AB → －３４AC →, ∴λ＝１４ ,μ＝－ ３ ４． 答案:１ ４　－ ３ ４ １２．解析:因为a,b为单位向量,∴|a|＝|b|＝１, 又a＋b＋c＝０,∴c＝－a－b, ∴|c|＝|－a－b|≤|a|＋|b|＝１＋１＝２, ∴|c|的最大值为２． 答案:２ 课时冲关二十五 １．B　[对于 A,e１∥e２,e１,e２ 是两个共线向量,故不可作为 基底． 对于B,e１,e２ 是两个不共线向量,故可作为基底． 对于 C,e１∥e２,e１,e２ 是两个共线向量,故不可作为基底． 对于 D,e１ ∥e２,e１,e２ 是 两 个 共 线 向 量,故 不 可 作 为 基底．] ２．D　[∵向量a＝(－１,２),b＝(λ,１),∴a＋b＝(－１＋λ, ３),∵a＋b与a平行,∴－１＋λ－１ ＝ ３ ２ ,解得λ＝－１２． ] ３．D　[由题意可知a,b为一组基向量,故a,b不共线, ∴－２m≠３(m－２),即m≠６５． ] ４．D　[设d＝(x,y),由 题 意 知 ４a＝(４,－１２),４b－２c＝ (－６,２０),２(a－c)＝(４,－２),又４a＋４b－２c＋２(a－c)＋ d＝０,所以(４,－１２)＋(－６,２０)＋(４,－２)＋(x,y)＝ (０,０),解得x＝－２,y＝－６,所以d＝(－２,－６)．] ５．AD　[因为等边三角形 ABC 的边长 为 ２,AB → ＝２a,则 |AB → |＝|２a|＝２,所以|a|＝１,故选项 A正确;又AB →􀅰AC→ ＝|AB → ||AC → |cosA＝２×２×１２＝２ ,即２a􀅰(２a＋b)＝２,所以 ４a２＋２a􀅰b＝２,因为|a|＝１,所以a􀅰b＝－１,故选项 B, C错 误;因 为 ４a＋b＝AB → ＋AC →,BC→＝AC→－AB→,所 以 (４a＋b)􀅰BC → ＝(AB → ＋AC →)(AC→－AB→)＝AC→２－AB→２＝０, 所以选项 D正确．] ６．解析:因为２a＋b＝(４,２),且c∥(２a＋b), 所以１×２－λ×４＝０,解得λ＝１２． 答案:１ ２ ７．解析:∵AC → ＝２CB →, ∴OC → －OA → ＝２(OB → －OC →), ∴OC → ＝１３ (OA → ＋２OB →) ＝１３ (１,１)＋２４,１１２( )[ ]＝(３,４)． ∴|OC → |＝５,即点C到原点O 的距离为５． 答案:５ ８．解析:取AB 的中点F,连接CF,则由题可得CF∥AD, 且CF＝AD． ∵AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋１２BC → ＝AB → ＋１２ (FC → －FB →) ＝AB → ＋１２ AD → －１２AB → ( )＝３４AB → ＋１２AD →, ∴λ＝３４ ,μ＝ １ ２． 答案:３ ４　 １ ２ ９．解:(１)由题意知,A 是BC 的中点,且OD → ＝２３OB → ． 由平行四边形法则,得OB → ＋OC → ＝２OA → ． ∴OC → ＝２OA → －OB → ＝２a－b, DC → ＝OC → －OD → ＝(２a－b)－２３b＝２a－ ５ ３b． (２)如题图,EC → 与DC → 共线． 又∵EC → ＝OC → －OE → ＝(２a－b)－λa＝(２－λ)a－b, DC → ＝２a－５３b , ∴２－λ２ ＝ －１ －５３ ,∴λ＝４５． １０．解:(１)∵AB → ＝(３,３), ∴OP → ＝(１,２)＋(３t,３t)＝(３t＋１,３t＋２), 若点P 在x 轴上,则３t＋２＝０,解得t＝－２３ ; 若点P 在y 轴上,则１＋３t＝０,解得t＝－１３ ; 若点P 在第三象限,则 １＋３t＜０ , ２＋３t＜０．{ 解得t＜－２３． (２)不能,若四边形OABP 成为平行四边形, 则OP → ＝AB →,∴ １＋３t＝３,２＋３t＝３．{ ∵该方程组无解, ∴四边形OABP 不能成为平行四边形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案