课时冲关22 三角恒等变换&课时冲关23 正弦定理和余弦定理及其应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　课时冲关二十二　三角恒等变换　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．若sinα＝１３ ,则cos２α＝ (　　) A．８９ B． ７ ９ C．－ ７ ９ D．－ ８ ９ ２．(２０２５􀅰山西大同模拟)若sin(α＋β)＋cos(α ＋β)＝２ ２cos α＋ π ４ æ è ç ö ø ÷sinβ,则 (　　) A．tan(α－β)＝１ B．tan(α＋β)＝１ C．tan(α－β)＝－１ D．tan(α＋β)＝－１ ３．(２０２５􀅰东营质检)已知 sin(α＋β)＝ １ ３ , tanα＝４tanβ,则sin(α－β)＝ (　　) A．１５ B． ４ １５ C． １ １５ D． １ ４ ４．(２０２５􀅰江西景德镇模拟预测)已知cos(x＋ y)＝２sin(x－y),tan(x－y)＝ １３ ,则 tanxtany＝ (　　) A．３２ B． ２ ３ C． １ ５ D．－ １ ５ ５．(多选题)(２０２５􀅰合肥市二模)已 知 函 数 f(x)＝sinωx＋π６ æ è ç ö ø ÷＋cosωx(ω＞０)的最 小正周期为２,则 (　　) A．ω＝π B．曲线y＝f(x)关于直线x＝１６ 对称 C．f(x)的最大值为２ D．f(x)在区间 －１２ ,１ ２[ ]上单调递增 ６．(２０２５􀅰泰安模拟)已知tanα＝３,则tan２α＝ 　． ７．(２０２５􀅰北京卷)已知α,β∈[０,２π],且sin(α ＋β)＝sin(α－β),cos(α＋β)≠cos(α－β),写 出满足条件的一组(α,β)＝　　　　． ８．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角, β为第三象限角,tanα＋tanβ＝４,tanαtanβ ＝ ２＋１,则sin(α＋β)＝　　　　． ９．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的 正半轴重合,终边经过点P(－３,３)． (１)求sin２α－tanα的值; (２)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α) sinα,求函数g(x)＝ ３f π２－２x æ è ç ö ø ÷－２f２(x) 在区间 ０,２π３[ ]上的值域． １０．(２０２５􀅰人大附中模拟)已知函数 f(x) ＝sinxcosx－π３ æ è ç ö ø ÷． (１)求函数f(x)的最小正周期; (２)在锐角△ABC 中,若f(A)＝ ３２ ,AC＝ ２,BC＝ ３,求△ABC的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　　 　　　　　 第三章　三角函数、解三角形 　　　　　　　　　 课时冲关二十三　正弦定理和余弦 定理及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．在△ABC中,BC＝２,AB＝４,cosC＝－１４ , 则AC的值为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ２．(２０２５􀅰济南模拟)在△ABC 中,内角A,B, C所对的边分别为a,b,c,且bsinBsinA －a＝ (c－a)sinC sinA ,延长 BC 至点D,使得 BC＝ CD,若AD＝２ ３,AB＝２,则a＝ (　　) A．１ B．３ C．２ D．３ ３．(２０２５􀅰东营模拟)如图,在 平面四边形 ABCD 中,AB ＝AD＝２,∠B＝２∠D＝ １２０°,记 △ABC 与 △ACD 的面积分别为S１,S２,则S２ －S１ 的值为 (　　) A．２ B．３ C．１ D．３２ ４．(２０２５􀅰成都模拟)在△ABC 中,∠ACB＝ １２０°,BC＝２AC,D 为△ABC 内一点,AD⊥ CD,∠BDC＝１２０°,则tan∠ACD＝ (　　) A．２ ２ B．３ ３２ C．６ D． ３ ２ ５．(多选题)(２０２５􀅰全国一卷)已知△ABC的面 积为 １ ４ ,若 cos２A＋cos２B＋２sinC＝２, cosAcosBsinC＝１４ ,则 (　　) A．sinC＝sin２A＋sin２B B．AB＝ ２ C．sinA＋sinB＝ ６２ D．AC２＋BC２＝３ ６．(２０２５􀅰广东深圳模拟 预测)为了测量西藏被 誉称为“阿里之巅”冈仁 波齐山峰的高度,通常 采用人工攀登的方式进 行,测量人员从山脚开始,直到到达山顶分 段测量过程中,已知竖立在B 点处的测量 觇标高２０米,攀登者们在A 处测得,到觇标 底点B 和顶点C 的仰角分别为４５°,７５°,则 A,B 的高度差约为　　　　米．(精确到 ０．０１,３≈１．７３２) ７．(２０２５􀅰山西大同质检)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知２ccosB ＝２a－b,则C＝　　　　． ８．(２０２５􀅰重庆二模)已知△ABC中,∠BAC＝ ６０°,AB＝２,BC＝ ６,∠BAC的角平分线交BC 于点D,则AD＝　　　　． ９．(２０２５􀅰北京卷)在△ABC中,cosA＝－１３ , asinC＝４ ２． (１)求c: (２)再从条件①、条件②、条件③这三个条件 中选择一个作为已知,使得△ABC 存在,求 BC边上的高． 条件①:a＝６; 条件②:asinB＝１０ ２３ ; 条件③:△ABC的面积为１０ ２． 注:如果选择的条件不符合要求,第(２)问得 ０分;如果选择多个符合要求的条件分别解 答,按第一个解答得分． １０．(２０２４􀅰天津卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c．已知cosB＝９１６ ,b ＝５,ac＝ ２ ３． (１)求a的值; (２)求sinA 的值; (３)求cos(B－２A)的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 ９．解:(１)f(x)＝sin２x＋ ３sinx􀅰cosx＋２cos２x ＝ ３２sin２x＋cos ２x＋１＝ ３２sin２x＋ cos２x＋１ ２ ＋１ ＝sin ２x＋π６( )＋ ３ ２ , 函数的最小正周期为T＝２π２＝π． 令 π ２＋２kπ≤２x＋ π ６≤ ３π ２＋２kπ (k∈Z), 解得 π ６＋kπ≤x≤kπ＋ ２π ３ (k∈Z), 函数的单调递减区间为 π ６＋kπ ,２π ３＋kπ[ ](k∈Z)． (２)函数y＝sin２x的图象向左平移 π１２ 个单位长度得到 函数y＝sin ２x＋π６( ) 的图象,再将函数图象向上平移 ３ ２ 个单位长度得到f(x)＝sin ２x＋π６( )＋ ３ ２ 的图象． １０．解:(１)令X＝２x＋π６ ,则y＝sin ２x＋π６( )＝sinX． 列表: x －π１２ π ６ ５π １２ ２π ３ １１π １２ X ０ π２ π ３π ２ ２π y＝sin ２x＋π６( ) ０ １ ０ －１ ０ 描点,画出函数f(x)在 －π１２ ,１１π １２[ ] 上的图象: (２)因为 π１２≤x≤ π ２ ,所以 π ３≤２x＋ π ６≤ ７π ６ , 当２x＋π６＝ π ２ ,即x＝π６ 时,sin ２x＋π６( ) 最大值等于 １,即f(x)的最大值等于１; 当２x＋π６＝ ７π ６ ,即x＝π２ 时,sin ２x＋π６( ) 最小值等于 －１２ ,即f(x)的最小值等于－１２． 所以f(x)在 区 间 π１２ ,π ２[ ] 上 的 最 大 值 为 １,最 小 值 为－１２． (３)根 据 函 数 的 图 象 知,f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 －π３＋kπ ,π ６＋kπ[ ](k∈Z)． 课时冲关二十二 １．B　[cos２α＝１－２sin２α＝１－２９＝ ７ ９． ] ２．C　[由 已 知 得:sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－ sinαsinβ＝２(cosα－sinα)sinβ, 即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝０, 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝０,所以tan(α－β) ＝－１．] ３．A　[由tanα＝４tanβ得 sinα cosα＝４× sinβ cosβ ,即sinαcosβ＝ ４cosαsinβ,根 据 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ,sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ, 因为sin(α＋β)＝ １ ３ ,所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ３ ,所 以５cosαsinβ＝ １ ３ ,即cosαsinβ＝ １ １５ ,所以sinαcosβ＝ ４ １５ ,所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ ４ １５－ １ １５ ＝１５． ] ４．C　[∵cos(x＋y)＝２sin(x－y), ∴cosxcosy－sinxsiny＝２sinxcosy－２cosxsiny, 两边同时除以cosxcosy,∴１－tanxtany＝２tanx－２tany, ∵tan(x－y)＝ tanx－tany１＋tanxtany＝ １ ３ ,∴tanx－tany ＝１＋tanxtany３ , ∴１－tanxtany＝２×１＋tanxtany３ ,解 得,tanxtany ＝１５． ] ５．AB　[f(x)＝sin ωx＋π６( )＋cosωx ＝ ３２sinωx＋ １ ２cosωx＋cosωx＝ ３ ２sinωx＋ ３ ２cosωx ＝ ３sin ωx＋π３( ) ,由f(x)的最小正周期为２,故 ２π ω ＝ ２,即ω＝π,故 A正确;当x＝１６ 时,π×１６＋ π ３＝ π ２ ,由 x＝π２ 是函数y＝sinx 的对称轴,故曲线y＝f(x)关于 直线x＝１６ 对称,故B正确;又sin πx＋π３( ) ∈[－１,１], 故f(x)∈[－ ３,３],故 C错误;当x∈ －１２ ,１ ２[ ] 时, πx＋ π３ ∈ － π ６ ,５π ６[ ] ,由 － π ６ ,５π ６[ ] 不 是 函 数 y＝ sinx的单调递增区间,故 －１２ ,１ ２[ ] 不是函数f(x)的 单调递增区间,故 D错误．] ６．解析:tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝ ６１－９＝－ ３ ４． 答案:－３４ ７．解析:由sin(α＋β)＝sin(α－β),即 sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ, 得cosαsinβ＝０,故cosα＝０或sinβ＝０; 同理,由cos(α＋β)≠cos(α－β), 可得sinαsinβ≠０,故sinα≠０且sinβ≠０ 则必有cosα＝０且sinβ≠０ 故取α＝π２ ,β＝ π ６ 可满足题设要求． 答案: π ２ ,π ６( )(答案不唯一) ８．解析:sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ) ＝４cosαcosβ＝ －４ １＋tan２α １＋tan２β ＝ －４ (tanα＋tanβ) ２＋(tanαtanβ－１) ２ ＝ －４ ４２＋２ ＝－２ ２３ ． 答案:－２ ２３ ９．解:(１)∵角α的终边经过点P(－３,３), ∴sinα＝１２ ,cosα＝－ ３２ ,tanα＝－ ３３． ∴sin２α－tanα＝２sinαcosα－tanα ＝－ ３２＋ ３ ３＝－ ３ ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 (２)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx,x∈R, ∴g(x)＝ ３cos π２－２x( )－２cos ２x ＝ ３sin２x－１－cos２x＝２sin ２x－π６( )－１, ∵０≤x≤２π３ ,∴－π６≤２x－ π ６≤ ７π ６． ∴－１２≤sin ２x－ π ６( ) ≤１, ∴－２≤２sin ２x－π６( )－１≤１, 故函 数 g(x)＝ ３f π２－２x( ) －２f ２ (x)在 区 间 ０,２π３[ ] 上的值域是[－２,１]． １０．解:(１)f(x)＝sinx cosxcosπ３＋sinxsin π ３( ) ＝１２sinxcosx＋ ３ ２sin ２x ＝１４sin２x＋ ３ ２× １－cos２x ２ ＝１２ １ ２sin２x－ ３ ２cos２x æ è ç ö ø ÷＋ ３４ ＝１２sin ２x－ π ３( )＋ ３ ４ , 所以函数f(x)的最小正周期为T＝２π２＝π． (２)因为f(A)＝１２sin ２A－ π ３( )＋ ３ ４＝ ３ ２ , 所以sin ２A－π３( )＝ ３ ２ , 又A∈ ０,π２( ) , 所以２A－π３∈ － π ３ ,２π ３( ) ,所以２A－ π ３＝ π ３ , 即A＝π３ , 由正弦定理得 BC sinA＝ AC sinB , 即sinB＝AC 􀅰sinA BC ＝ ２sin π３ ３ ＝ ２２ , 又B∈ ０,π２( ) ,所以B＝ π ４． 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB ＝ ６＋ ２４ ． 所以△ABC的面积为 S＝ １２ ×AC×BC×sinC＝ １ ２ × ２× ３× ６＋ ２ ４ ＝３＋ ３４ ． 课时冲关二十三 １．B　[△ABC 中,a＝BC＝２,c＝AB＝４,cosC＝－１４ , ∴c２＝a２＋b２－２abcosC,即１６＝４＋b２－４b× －１４( ) , 化简得b２＋b－１２＝０,解得b＝３或b＝－４(不合题意,舍 去),∴b＝AC＝３．] ２．C　[由bsinBsinA －a＝ (c－a)sinC sinA , 得bsinB＝asinA＋(c－a)sinC, 由正弦定理得b２＝a２＋(c－a)c, 即a２＋c２－b２＝ac,所以cosB＝ a２＋c２－b２ ２ac ＝ ac ２ac＝ １ ２ ,又０＜B＜ π,所以B＝π３ ,如图． 可知BD＝２a,又AD＝２ ３,AB＝２,所以在△ABD 中, 由余弦定理得AD２＝４＋(２a)２－２×２×２a×cosπ３ ＝ ４＋４a２－４a＝１２,解得a＝２(负值舍去)．] ３．B 　 [在 △ABC 中,由 余 弦 定 理 得 cos B ＝ AB２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ,即 － １２ ＝ ４＋BC２－AC２ ４BC ,得 BC２ － AC２＝－２BC－４①,在△ACD 中,由余弦定理得cosD ＝AD ２＋CD２－AC２ ２AC􀅰CD ,即 １ ２ ＝ ４＋CD２－AC２ ４CD ,得 CD２－ AC２＝２CD－４②,又S１＝ １ ２AB 􀅰BCsin１２０°＝ ３２BC , S２＝ １ ２AD 􀅰CDsin６０°＝ ３２CD ,所以S２－S１＝ ３ ２CD － ３２BC＝ ３ ２ (CD－BC)③,由②－①,得CD２－BC２＝ ２(CD＋BC),由CD＋BC＞０,得CD－BC＝２,代入③得 S２－S１＝ ３．] ４．B　[设∠ACD＝θ,令AC＝x,则CB＝２x, Rt△ACD 中,CD＝xcosθ, △BCD 中,∠BCD＝１２０°－θ,∠CBD＝θ－６０°, ∴ BCsin１２０° ＝ CD sin∠CBD , ∴ ２x ３ ２ ＝ xcosθsin(θ－６０°) ＝ xcosθ １ ２sinθ－ ３ ２cosθ , ∴４ ３ ＝ １ １ ２tanθ－ ３ ２ ,∴tanθ＝３ ３２ ． ] ５．ABC　[由２＝cos２A＋cos２B＋２sinC＝１－２sin２A＋１ －２sin２B＋２sinC, 可得sin２A＋sin２B＝sinC,故选项 A正确． 由cosAcosBsinC＝１４ 可知A,B 皆为锐角; 若A＋B＜π２ ,则sin２A＋sin２B＜sinAcosB＋sinBcosA＝ sinC,不合题意, 若A＋B＞π２ ,则sin２A＋sin２B＞sinAcosB＋sinBcosA＝ sinC,也不合题意, 所以A＋B＝π２ ,C＝π２． ∴由cosAcosB＝１４ ,可知sinAsinB＝１４ ,由面积可知 ab＝１２ , 所以c２＝ absinAsinB＝２ ,故AB＝ ２,选项B正确． sinA＋sinB＝ １＋２sinAsinB＝ ６２ ,选项C正确． AC２＋BC２ ＝AB２ ＝２,选 项 D 错 误．故 本 题 正 确 选 项 为 ABC．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 ６．解析:模型可简化为如图,在Rt△ADC 中,∠BAD＝４５°,∠CAD＝７５°,所 以 BD tan４５°×tan７５°－BD＝２０ ,而tan７５° ＝tan(４５°＋３０°)＝ tan４５°＋tan３０°１－tan４５°×tan３０° ＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝３＋ ３ ３－ ３ ,代 入 上 式 并 化 简 可 得BD＝７．３２米． 答案:７．３２ ７．解 析:根 据 题 意,在 △ABC 中,２ccosB ＝２a－b, 则２sinCcosB＝２sinA－sinB,变形可得２sinCcosB ＝２sin(B＋C)－sinB,则有２sinBcosC＝sinB,因为sinB＞ ０,所以cosC＝１２ ,因为C∈(０,π),则C＝π３． 答案:π ３ ８．解析:如图所示:记AB＝c,AC＝ b,BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得b＝１＋ ３, 由S△ABC ＝S△ABD ＋S△ACD ,可 得 １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD ×sin３０°＋１２×AD×b×sin３０° , 解得AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ ９．解:(１)因 为 cosA＝ － １３ ,A∈ (０,π)所 以 sinA＝ １－cos２A＝２ ２３ , 由正弦定理有asinC＝csinA＝２ ２３c＝４ ２ ,解得c＝６; (２)如图所示,若△ABC存在,设其BC边上的高为AD, 若选①,a＝６,因为c＝６,所以C＝A,因为cosA＝－１３ ＜０,这表明此时三角形 ABC 有两个钝角,而这是不可 能的,所以此时三角形 ABC 不存在,故BC 边上的高也 不存在; 若选②,asinB＝１０ ２３ ,由asinC＝４ ２ 有sinB sinC＝ ５ ６ ,即b c ＝ ５ ６ ,所以b＝５, a＝ b２＋c２－２bccosA＝ ５２＋６２－２×５×６×(－１３ )＝９, 由S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２a 􀅰AD 得 AD＝bcsinAa ＝ ６×５×２ ２３ ９ ＝ ２０ ２ ９ ． 若选③,△ABC的面积是１０ ２,则S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２b×６× ２ ２ ３ ＝１０ ２ , 解得b＝５,由 余 弦 定 理 可 得a＝ b２＋c２－２bccosA＝ ２５＋３６－２􀅰５􀅰６ －１３( ) ＝９可以唯一确定, 进一步由余弦定理可得cosB,cosC 也可以唯一确定, 即B,C可以唯一确定, 这表明此时三角形 ABC 是存在的,且 BC 边 上 的 高 满 足:S△ABC＝ １ ２a 􀅰AD＝９２AD＝１０ ２ ,即AD＝２０ ２９ ． １０．解:(１)设a＝２t,c＝３t,t＞０,则根据余弦定理得b２＝a２ ＋c２－２accosB, 即２５＝４t２＋９t２－２×２t×３t×９１６ ,解得t＝２(负值舍去); 则a＝４,c＝６． (２)因为B 为三角形内角,所以sinB＝ １－cos２B＝ １－ ９１６( ) ２ ＝５ ７１６ , 根据正弦定理得 a sinA＝ b sinB ,即 ４ sinA＝ ５ ５ ７ １６ , 解得sinA＝ ７４． (３)因为cosB＝９１６＞０ ,且B∈(０,π), 所以B∈ ０,π２( ) , 由(２)知sinB＝５ ７１６ , 因为a＜b,则A＜B,所以cosA＝ １－ ７ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４ , 则sin２A＝２sinAcosA＝２× ７４× ３ ４＝ ３ ７ ８ ,cos２A＝ ２cos２A－１＝２× ３４( ) ２ －１＝１８ , cos(B－２A)＝cosBcos２A＋sinBsin２A ＝９１６× １ ８＋ ５ ７ １６ × ３ ７ ８ ＝ ５７ ６４． 课时冲关二十四 １．A　[BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－２３AB → ＋AD →, AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋１２BC → ＝AB → ＋ １ ２ AD → －２３AB → ( )＝２３AB → ＋１２AD → ．] ２．D　[由题意可设c＝λd,即ka＋b＝λ(a－b), (λ－k)a＝(λ＋１)b．∵a,b不共线,∴ λ－k＝０ , λ＋１＝０．{ ∴k＝λ＝－１．∴c与d 反向．] ３．BCD ４．C　[A,B,C 三点共线等价于AC →,AB→共线,根据向量共 线的充要条件知,AC →、AB→共线,即存在实数λ,使得AC→＝λ AB →,即a＋λ２b＝λ(λ１a＋b),由于向量a,b不共线,根据平面 向量的基本定理得λ１􀅰λ＝１且λ２＝λ,消掉λ,得λ１􀅰λ２－１ ＝０．故“A,B,C 三点共线”是“λ１􀅰λ２－１＝０”的充分必要 条件．] ５．A　[由PA→＝λAB→,得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→),即OP→＝(１ ＋λ)OA→－λOB→．又２OP→＝xOA→＋yOB→,所以 x＝２＋２λ , y＝－２λ,{ 消 去λ得x＋y－２＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学