课时冲关14 函数模型及应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

　　　　　　　　　课时冲关十四　函数模型及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图,下面的四个容器高度都相同,将水从 容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止．用下面对应的图象表示该容器中 水面的高度h和时间t之间的关系,其中不 正确的有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ２．在某个物理实验中,测量得变量x和变量y 的几组数据,如下表: x ０．５０ ０．９９ ２．０１ ３．９８ y －０．９９ ０．０１ ０．９８ ２．００ 则对x,y最适合的拟合函数是 (　　) A．y＝２x B．y＝x２－１ C．y＝２x－２ D．y＝log２x ３．某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规 定:每位职工每月用水不超过１０立方米的, 按每立方米３元收费;用水超过１０立方米 的,超过的部分按每立方米５元收费．某职 工某月缴水费５５元,则该职工这个月实际 用水为 (　　) A．１３立方米 B．１４立方米 C．１５立方米 D．１６立方米 ４．(２０２５􀅰北京二中模拟)２０２１年诺贝尔物理 学奖揭晓,获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯􀅰哈塞尔曼(KlatHasselＧ mann)的杰出贡献之一是建立了地球气候 物理模型,该模型能够可靠地预测全球变暖 情况．研究表明大气中二氧化碳的含量对地表 温度有明显的影响:当大气中二氧化碳的含量 每增加２５％,地球平均温度就要上升０．５℃． 若到２０５０年,预测大气中二氧化碳的含量是 目前的４倍,则地球平均温度将上升约(参考 数据:lg２≈０．３０１０) (　　) A．１℃ B．２℃ C．３℃ D．４℃ ５．(２０２５􀅰黄冈中学诊断性考试)某公司为实 现利润目标制定奖励制度,其中规定利润超 过１０万元且少于１０００万元时,员工资金总 额y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增 加而增加,且资金总额不超过５万元,则y 关于x 的函数可以为 (　　) (参考数据:１．００２１０００≈７．３７,lg７＝０．８４５) A．y＝１．００２x B．y＝log７x＋１ C．y＝x １ ３ －５ D．y＝５＋sinx ６．某市出租车收费标准如下:起步价为８元, 起步里程为３km(不超过３km 按起步价付 费);超过３km 但不超过８km时,超过部分 按每千米２．１５元收费;超过８km时,超过部分 按每千米２．８５元收费,另每次乘坐需付燃油 附加费１元．现某人乘坐一次出租车付费 ２２．６元,则此次出租车行驶了　　　　km． ７．一个容器装有细沙acm３,细沙从容器底下 一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后 剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm３),经过８min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 　　　　min,容器中的沙子只有开始时的 八分之一． ８．(双空填空题)某种物质在时刻t(min)的浓 度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art ＋２４(a,r为常数)．在t＝０min和t＝１min 测得 该 物 质 的 浓 度 分 别 为１２４mg/L和 ６４mg/L,那么在t＝４min时,该物质的浓 度为　　　　mg/L;若该物质的浓度小于 ２４．００１mg/L,则 最 小 的 整 数 t 的 值 为 　　　　．(参考数据:lg２≈０．３０１０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３２􀅰 班级:　　　　　姓名:　　　　　　学号:　　　　　　　　　　　　　 ９．A,B两城相距１００km,在两城之间距A 城 x(km)处建一核电站给 A,B 两城供电,为 保证城市安全,核电站距城市距离不得小于 １０km．已知供电费用等于供电距离(km)的 平方与供电量(亿度)之积的０．２５倍,若A 城供电量为每月２０亿度,B 城供电量为每 月１０亿度． (１)求x的取值范围; (２)把月供电总费用y表示成x 的函数; (３)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用 y最少? １０．如图,GH 是一条东西方向 的公路,现准备在点B 的 正北方向的点A处建一仓 库,设AB＝y千米,并在公路旁边建造边长 为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中 边EF在公路GH 上)．若从点A向公路和中 转站分别修两条道路AB,AC,已知AB＝AC ＋１,且∠ABC＝６０°． (１)求y关于x 的函数解析式; (２)如果中转站四周围墙的造价为１０万元 /千米,道路的造价为３０万元/千米,问x 取何值时,修建中转站和道路的总造价 M 最低? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学　　　　　　　　　　　 　　　　　 第二章　函数、导数及其应用 ６．解析:由题意知f[f(x)]＝－１, 由f[f(x)]＝ f (x)＋１,f(x)≤０, log２f(x),f(x)＞０,{ 得函数y＝f[f(x)]＋１的零点就是 使f(x)＝－２或 f(x)＝１２ 的x值, 解f(x)＝－２,得x＝－３或x＝１４ ; 解f(x)＝１２ ,得x＝－１２ 或x＝ ２, 从而 函 数 y＝f[f(x)]＋１ 的 零 点 构 成 的 集 合 为 －３,－１２ ,１ ４ ,２{ }． 答案: －３,－１２ ,１ ４ ,２{ }． ７．解析:性质①说明函数图象关于x＝１轴对称,我们首先 想到的应该就是二次函数y＝x２－２x＋c,然后对照②③ 进行修正,②说明Δ＞０,③要求二次函数开口向上,因此 y＝x２－２x＋c是正确的,只需要对c进行赋值使其满足 题目要求即可,c可以是小于１的任何一个数,c＝０最简 单,相比其他结果,这个答案相对来说是用时最短的． 答案:x２－２x(答案不唯一) ８．解析:因为f(x)＝ tan π２ (x－１)[ ] ,０＜x≤１ lnx,x＞１{ , 所以f(e)＝lne＝１, f(f(e))＝f(１)＝tan０＝０, 若０＜x≤１,f(x)＝１⇒tan π２ (x－１)[ ]＝１,方程无解; 若x＞１,f(x)＝１⇒lnx＝１⇒x＝e． 答案:０　e ９．解:(１)当a＝１,b＝－２时,f(x)＝x２－２x－３, 令f(x)＝０,得x＝３或x＝－１． ∴函数f(x)的零点为３或－１． (２)依题意,f(x)＝ax２＋bx＋b－１＝０有两个不同实根, ∴b２－４a(b－１)＞０恒成立, 即对于任意b∈R,b２－４ab＋４a＞０恒成立, 所以有(－４a)２－４×(４a)＜０⇒a２－a＜０,解得０＜a＜ １,因此实数a的取值范围是(０,１)． １０．解:(１)如图所示． (２)∵f(x)＝ １－１x ＝ １ x－１ ,x∈(０,１], １－１x ,x∈(１,＋∞), ì î í ïï ï 故f(x)在(０,１]上是减函数,而在(１,＋∞)上是增函数． 由０＜a＜b且f(a)＝f(b),得０＜a＜１＜b且 １a－１＝ １－１b ,∴１a＋ １ b＝２． (３)由函数f(x)的图象可知,当０＜m＜１时,方程f(x)＝m 有两个不相等的正根,故m的取值范围是(０,１)． 课时冲关十四 １．A　[将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随 时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故下面 的图象不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的 变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐 变快再变慢,也正确,故只有①是错误的．] ２．D　[根据x＝０．５０,y＝－０．９９,代入计算,可以排除 A; 根据x＝２．０１,y＝０．９８,代入计算,可以排除 B、C;将各 数据代入函数y＝log２x,可知 D满足题意．] ３．C　[设该职工这个月实际用水为x立方米, ∵每位职工每月用水不超过１０立方米的,按每立方米３ 元收费, ∴用水不超过１０立方米的缴水费不超过３０元． ∵该职工这个月缴水费５５元, ∴该职工这个月实际用水超过１０立方米,超过部分的水费 ＝(x－１０)×５,∴由题意可列出一元一次方程式:３０＋(x－ １０)×５＝５５,解得x＝１５．] ４．C　[设目前大气中二氧化碳的含量为a．由题意,知当二 氧化碳的含量为１．２５a时,地球平均温度上升０．５℃,当 二氧化碳的含量为a×１．２５２ 时,地球平均温度上升(０．５ ×２)℃􀆺􀆺当大气中二氧化碳的含量为a×１．２５a 时, 地球平均温度上升(０．５×n)℃．令a×１．２５a＝４a,即１． ２５a＝４,方程两边同时取常用对数,则n＝ lg４lg１．２５＝ ２lg２ lg ５４ ＝ ２lg２１－３lg２＝６ ,所以到２０５０年,地球平均温度将上升约０．５ ×６＝３(℃)．] ５．B　[由题意,函数在x∈(１０,１０００)时为增函数,故 D不 合题意,排除 D; 因为当x∈(１０,１２５)时,y＝x １ ３ －５＜０,故 C 不符合题 意,排除 C; 当x＝１０００时,１．００２１０００≈７．３７＞５, 故y＝１．００２x 不符合题意,排除 A; 因为y＝log７x＋１为增函数,且x＞１０时,y＞０,当x＝ １０００时,y＝lg１０００lg７ ＋１≈４．５５＜５ ,满 足 题 意,故 B 正确．] ６．解析:设出租车行驶xkm 时,付费y元, 则y＝ ８,０＜x≤３, ８＋２．１５(x－３)＋１,３＜x≤８, ８＋２．１５×５＋２．８５(x－８)＋１,x＞８,{ 由y＝２２．６,解得x＝９． 答案:９ ７．解析:依题意有a􀅰e－b×８＝１２a ,∴b＝－ln２８ , ∴y＝a􀅰e－ ln２ ８ 􀅰t, 若容器中只有开始时的八分之一, 则有a􀅰e－ ln２ ８ 􀅰t＝１８a ,解得t＝２４, 所以再经过的时间为(２４－８)min＝１６min． 答案:１６ ８．解析:根据条件:ar０＋２４＝１２４,ar＋２４＝６４, ∴a＝１００,r＝２５．∴M (t)＝１００ ２５( ) t ＋２４, ∴M(４)＝１００ ２５( ) ４ ＋２４＝２６．５６． 由１００ ２５( ) t ＋２４＜２４．００１,得 ２５( ) t ＜(０．１)５, ∴lg ２５( ) t ＜lg(０．１)５,∴tlg ２５( ) ＜－５, ∴t[lg２－(１－lg２)]＜－５． ∴t(２lg２－１)＜－５,代入lg２≈０．３０１０, 得－０．３９８t＜－５,解得t＞１２．５．∴最小的整数t的值是１３． 答案:２６．５６　１３ ９．解:(１)由已知,x的取值范围为１０≤x≤９０． (２)y＝５x２＋５２ (１００－x)２(１０≤x≤９０)． (３)因为y＝５x２＋５２ (１００－x)２ ＝１５２x ２－５００x＋２５０００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 ＝１５２ x－ １００ ３( ) ２ ＋５００００３ , 所以当x＝１００３ 时,ymin＝ ５００００ ３ ． 故核 电 站 建 在 距 A 城１００３ km 处,能 使 供 电 总 费 用 y最少． １０．解:(１)由题意易知x＞１,BC＝２x, 又AB＝y,AC＝y－１, 在△ABC中,由余弦定理得, (y－１)２＝y２＋４x２－２y􀅰２x􀅰cos６０°, 所以y＝４x ２－１ ２(x－１) (x＞１)． (２)M＝３０(２y－１)＋４０x ＝１２０x ２－３０ x－１ －３０＋４０x ,其中x＞１, 设t＝x－１,则t＞０, 所以 M＝１２０ (t＋１)２－３０ t －３０＋４０ (t＋１) ＝１６０t＋９０t＋２５０≥２ １６０t 􀅰９０ t ＋２５０＝４９０ , 当且仅当t＝３４ 时等号成立,此时x＝７４． 所以当x＝７４ 时,修建中转站和道路的总造价M最低． 课时冲关十五 １．B　[由f(x)的 图 象 可 得,在y 轴 的 左 侧,图 象 下 降, f(x)递减,即导数小于０,可排除 C,D;再由y轴的右侧, 图象先下降再上升,最后下降,函数f(x)递减,再递增,后递 减,即导数先小于０,再大于０,最后小于０,可排除 A;则B 正确．] ２．D　[∵f′(x)＝f′(－２)ex－２x, ∴f′(－２)＝f′(－２)􀅰e－２－２􀅰(－２), 解得f′(－２)＝ ４e ２ e２－１ ．] ３．A　[设切点为(x０,y０),易知y′＝ex＋a, 则 y０＝x０－１＝e x０＋a １＝ex０＋a{ ,解之得 x０＝２ a＝－２{ ．] ４．BC　[根据题意,若f(３x＋１)是奇函数,则有f(１－３x)＝ －f(１＋３x),变形可得f(x)＝－f(２－x), 又由对于任意的x∈R,f(４－x)＝f(x),则有f(４－x) ＝－f(２－x),变形可得f(x＋２)＝－f(x)． 则有f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),故f(x)是周期为４ 的轴函数, 由于f(x)＝－f(２－x),两 边 同 时 求 导 可 得f′(x)＝ f′(２－x),即g(x)＝g(２－x),则g(x)关于直线x＝１对 称, 由于f(４－x)＝f(x),两边同时求导可得－f′(４－x)＝ f′(x),即－g(４－x)＝g(x), 则g(x)关于点(２,０)对称, f(x＋４)＝f(x),两 边 同 时 求 导 可 得 －f′(x＋４)＝ f′(x),即g(x＋４)＝g(x),则g(x)的周期为４, 对于 A,当k＝０,４k＝０,不是函数g(x)的周期,A错误; 对于B,g(x)的周期为４,则有 g(４k－x)＝g(－x),而－g(４－x)＝g(x), 即－g(－x)＝g(x), 综合可得:g(－x)＝－g(x)＝g(４k－x),故曲 线y＝ g(x)关于点(２k,０)对称,B正确; 对于 C,g(x)的周期为４, g(４k＋２－x)＝g(２－x), 又由g(x)＝g(２－x),则有g(x)＝g(４k＋２－x),故曲 线y＝g(x)关于直线x＝２k＋１对称,C正确; 对于 D,由B的结论,g(－x)＝－g(x), g(x)为奇函数,即k＝０时,g(x＋４k)是偶函数不成立,D 错误．] ５．AC　[若f(x)＝x２,则f′(x)＝２x,令x２＝２x,得x＝０ 或x＝２,方程显然有解,故 A 符合要求;若f(x)＝e－x, 则f′(x)＝－e－x,令e－x＝－e－x,此方程无解,故B不符 合要求;若f(x)＝lnx,则f′(x)＝１x ,令lnx＝１x ,在同 一直角坐标系内作出函数y＝lnx 与y＝ １x 的图象(作 图略),可得两函数的图象有一个交点,所以方程f(x)＝ f′(x)存在实数解,故 C 符合要求;若f(x)＝tanx,则 f′(x)＝ sinxcosx( )′＝ １ cos２x ,令 tanx＝ １ cos２x ,化 简 得 sinxcosx＝１,变形 可 得sin２x＝２,无 解,故 D 不 符 合 要求．] ６．解析:f′(x)＝e x(x＋a－１) (x＋a)２ ,f′(１)＝ ae(１＋a)２ ＝ e４ ,解得 a＝１． 答案:１ ７．解析:开 放 性 问 题,答 案 不 唯 一,所 有 的 形 如f(x)＝ x ２n ２m－１,n,m∈N∗ 的函数都成立,以f(x)＝x２ 为最优． 答案:x２(x∈R) ８．解析:∵函数f(x)为奇函数, 当x＜０时,f(x)＝e－x＋１x , ∴令x＞０,则－x＜０,f(－x)＝ex－１x , ∴f(x)＝－ex＋１x ,x＞０时,f′(x)＝－ex－１x２ , ∴f(１)＋f′(１)＝－e＋１－e－１＝－２e． 答案:－ex＋１x　－２e ９．解:(１)a＝１,f(x)＝ex－x－１,切点为(１,e－２),f′(x) ＝ex－１,k＝f′(１)＝e－１, 所以要求的切线方程为y－(e－２)＝(e－１)(x－１),即y＝ (e－１)x－１． (２)f′(x)＝ex－a,当a≤０时,f′(x)＞０,f(x)在 R上单 调递增,此时无极值 ∴a＞０,令f′(x)＝０,x＝lna, f(x)在(－∞,lna)上单调递减,在(lna,＋∞)上单调 递增, ∴f(x)极小值 ＝f(lna)＝a－alna－a３＜０, ∴１－lna－a２＜０, 令g(a)＝－a２－lna＋１,g′(a)＝－２a－１a＜０ , g(a)在(０,＋∞)上单调递减,而g(１)＝０, ∴g(a)＜０⇔a＞１, ∴a的取值范围为(１,＋∞)． １０．解:(１)f(x)的定义域为(－１,＋∞)． 当a＝１时,f(x)＝ln(１＋x)＋xex ,f(０)＝０, 所以切点为(０,０),f′(x)＝ １１＋x＋ １－x ex ,f′(０)＝２,所以 切线斜率为２,所以曲线y＝f(x)在点(０,f(０))处的切线 方程为y＝２x． (２)f(x)＝ln(１＋x)＋axex , f′(x)＝ １１＋x＋ a(１－x) ex ＝e x＋a(１－x２) (１＋x)ex ． 设g(x)＝ex＋a(１－x２), ①若a＞０,当x∈(－１,０),g(x)＝ex＋a(１－x２)＞０, 即f′(x)＞０, 所以f(x)在(－１,０)上单调递增,f(x)＜f(０)＝０, 故f(x)在(－１,０)上没有零点,不合题意． ②若－１≤a≤０,当x∈(０,＋∞), 则g′(x)＝ex－２ax＞０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学