专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 基底的概念及辨析】 3 【题型2 用基底表示向量】 4 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 4 【题型4 平面向量的坐标运算】 5 【题型5 向量共线的坐标表示】 6 【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 6 1、平面向量基本定理及坐标表示 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解平面向量基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2023年天津卷：第14题，5分 2024年新课标I卷：第3题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年上海卷：第5题，4分 2025年全国二卷：第12题，5分 平面向量是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解. 知识点1 平面向量基本定理的探究 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．应用平面向量基本定理求向量的实质 应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数λ，使=λ.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·北京朝阳·二模）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量的坐标运算】 【例4】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 向量共线的坐标表示】 【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·三模）已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 【例6】（24-25高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足 的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 【变式6-2】（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 一、单选题 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 11．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则 ． 14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 16．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 17．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 18．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 19．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 基底的概念及辨析】 3 【题型2 用基底表示向量】 5 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 7 【题型4 平面向量的坐标运算】 9 【题型5 向量共线的坐标表示】 11 【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 12 1、平面向量基本定理及坐标表示 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解平面向量基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2023年天津卷：第14题，5分 2024年新课标I卷：第3题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年上海卷：第5题，4分 2025年全国二卷：第12题，5分 平面向量是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解. 知识点1 平面向量基本定理的探究 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．应用平面向量基本定理求向量的实质 应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数λ，使=λ.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【解答过程】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解答过程】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】因为为的中点，所以， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【解答过程】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可. 【解答过程】    如图：. 故选：C. 【变式2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【解答过程】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以． 故选：D． 【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【解答过程】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 【变式3-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【解答过程】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 【变式3-3】（2025·北京朝阳·二模）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的线性运算，用来表示，然后利用平面向量基本定理即可确定选项. 【解答过程】 在矩形中，因为点E为线段的中点，所以， 则有， 因为，分别是与方向相同的单位向量, 所以， 则， 又因为，所以， 故选：B. 【题型4 平面向量的坐标运算】 【例4】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果. 【解答过程】由，， 则. 故选：A. 【变式4-1】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【解答过程】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A. 【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可； 【解答过程】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知整理可得，然后由坐标运算可得. 【解答过程】由得，即，即， 又，所以. 故选：D． 【题型5 向量共线的坐标表示】 【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】利用平面向量共线的坐标表示求解即可. 【解答过程】由，则，解得. 故选：D. 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，结合向量共线的充要条件即可求解. 【解答过程】因为向量，，所以， 因为与共线，则，即. 故选：A. 【变式5-2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值，结合充分、必要性定义判断关系即可. 【解答过程】由题设，， 若，则，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·三模）已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 【答案】D 【解题思路】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】因为，，，， 所以，， 又与共线，故，解得或． 故选：D. 【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 【例6】（24-25高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，    ，设，， 因此有， 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足 的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 【答案】C 【解题思路】建立坐标系，讨论，，，四种情况，出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【解答过程】如图建系，取，∵， ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误； 选项C，当点取点时，且，解得，取得最大值为，故C正确； 选项D，当取点时，取得最小值，故D错误； 故选：C. 【变式6-2】（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【解答过程】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【解答过程】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量平行坐标表示可得答案. 【解答过程】因，，，则. 故选：B. 3．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可. 【解答过程】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【解答过程】， 由得，解得． 故选：A． 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【解答过程】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 6．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【解答过程】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 7．（2025·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的坐标运算得，然后根据向量共线的坐标运算求得或，再代入验证即可求解. 【解答过程】因为向量，，所以， 由得，即， 解得或，当时，，，此时，不符合题意， 当时，，，此时，符合题意. 故选：C. 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【解答过程】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解题思路】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误； 对于B：，所以，不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C：，所以与不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 对于D：，所以与是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 【答案】BD 【解题思路】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得. 【解答过程】向量，，则，A错误； ，B正确； 令为坐标原点，则，点，C错误； ，D正确. 故选：BD. 11．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解题思路】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【解答过程】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以 ， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 三、填空题 12．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】写出坐标，由坐标得到. 【解答过程】，∴. 故答案为：. 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则 ． 【答案】或 【解题思路】根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【解答过程】由题得，， 又，则，解得或． 故答案为：或． 14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【解题思路】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案. 【解答过程】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【解答过程】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 16．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【解答过程】（1）. （2），， 与共线， ， 解得：. 17．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得， 所以三点共线. 18．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 19．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【解题思路】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【解答过程】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$