2.1圆的方程（第2课时）（教学课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.1 圆的方程 第二章 圆与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 第2课时 圆的一般式方程 学 习 目 标 1 2 3 掌握圆的一般方程及其特点. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.（重点） 能用圆的一般方程解决一些实际应用问题． 前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 请大家思考一下， 1.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？ 2.下面我们来探讨这一方面的问题． 可见，任何一个圆的方程都可以变形为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． x y O r P（x,y） 情境导入 由圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 由此可见，圆的方程具有如下形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ② 其中 D，E，F 为常数. 新知探究 那么，形如②的方程是否都表示圆呢? 由方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 得 与圆的标准方程比较，可知： 新知探究 (3) 当 D2－E2－4F＜0时，方程②无实数解，不表示任何图形. 1.圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0( )叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为 ____________，半径长为_______________. D2＋E2－4F＞0 新知归纳 6   圆的标准方程 圆的一般方程 方程 特征     突出圆“形”的几何特征 突出圆“数”的方程特征 圆心（a,b） 半径r x2与y2系数相同并且不等于0 没有xy这样的二次项 展开 配方 新知归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键： 已知三点求圆的方程，我们一般采用圆的一般方程求解。 圆的一般方程中，待定系数：D；E；F 例1.已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)， 求△ABC 外接圆的方程. 解 设所求圆的方程为，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点 A，B，C 在所求的圆上，所以 解得故所求圆的方程是 x2＋y2 －6x－2y＋5＝0. 本题还有其他解法吗? 教材P54 例题 解：设外接圆的方程为：，代入，，， 则有，即解得： 所以外接圆的方程为：； 例1.已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC 外接圆的方程. 典例分析 教材P54 例题 例2.已知点 M(x，y) 到两个定点 A(－3，0)，B(3，0) 的距离之比为2，求 x，y 满足的关系式，并指出满足条件的点 M 所构成的曲线. 解：依题意，点M满足，而，， 于是，化简整理，得， 反之，当x，y满足时，即， 则，因此，即点M到A，B的距离之比为2， 所以x，y满足的关系式为； 由，得， 所以满足条件的点M所构成的曲线为以点为圆心，4为半径的圆. 满足条件的点 M 所构成的曲线即为动点 M 的轨迹，对应的方程即为动点 M 的轨迹方程. 典例分析 教材P54 例题 思考 到两个定点A，B的距离之比为定值的所有的点组成什么形状的曲线？ 解：如图，以B为原点，的方向为x轴正方向，在平面上建立直角坐标系， 则B，A的坐标分别为，，其中. 设是平面上任意一点，则 .① 方程①就是所求曲线的方程，接下来探讨该曲线的形状. 当时，曲线方程为，即，这是线段AB的垂直平分线. 当时，①式可化为， 配方，得，这是圆的标准方程， 可知当时，曲线是以为圆心，为半径的圆. 例3.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）． 典例分析 解：以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 教材P55 例题 1.下列各方程是否表示圆?若表示圆，求其圆心的坐标和半径. (1) x2＋y2－4x＝0； (2) x2＋y2－4x－2y＋5＝0； (3) x2＋y2＋x＋2y＋2＝0. 解：（1）由，可得， 所以圆心坐标为(2，0)，半径为2； （2）由，可得， 所以该方程不表示圆，表示一个点(2，1)； （3）由，可得， 所以该方程不表示任何曲线. 教材P56 练习 2. 求过三点 A(4，1)，B(－6，3)，C(3，0) 的圆的方程. 【详解】设圆的方程为经过， 所以，解得： 所以圆的方程为. 3. 如果方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D＋E－4F＞0) 表示的曲线关于直线y＝x 对称，那么必有( ). A. D＝E B. D＝F C. E＝F D. D＝E＝F A 教材P56 练习 4. 设 m 为实数，若方程 x2＋y2＋4mx－2y＋4m2－m＝0 表示圆，求 m 的取值范围. 解：方程表示圆， 则， 解得. 所以m 的取值范围.(－1，＋∞). 教材P56 练习 对圆的一般方程的理解 题型一 题型探究 【例1-1】［江苏泰州2025高二期末］圆 的圆心和半径分别是( ) D A.；1 B.； C.；1 D.； 解析 将该圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径为 .故选D. 【例1-2】［湖北武汉华中师大一附中2024高二期中］“ ”是“方程 表示圆”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若方程表示圆，则， 解得 或 ， 因此由可以推出方程 表示圆，满足充分性， 由方程表示圆，不能推出 ，不满足必要性， 所以“”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.故选A. 1.（多选）［云南玉溪一中2025高二月考］关于方程 表示的圆，下列叙 述中正确的是( ) AC A.圆心在直线上 B.圆心在 轴上 C.过原点 D.半径为 解析 若方程表示圆，则其标准方程为 ， 所以，可得，圆心为，半径为 . 对于A选项，圆心在直线 上，A正确； 对于B选项，因为，所以圆心不可能在 轴上，B错误； 对于C选项，因为 ，则该圆过原点，C正确； 对于D选项，该圆的半径，D错误.故选 . 变式训练 17 2.［山东济南2025高二月考］曲线 的周长为( ) B A. B. C. D. 思路导引 曲线方程中有绝对值，首先要去掉绝对值符号，分,;,;,; , 四种情况写出曲线方程，再作出曲线，求出周长. 解析 曲线 作出曲线如图所示，该图是以,,,四个点为圆心，半径为 的四个半圆， 所以该曲线的周长为 .故选B. 变式训练 18 【例2】［河北承德2025高二期中］已知，，，则 的外接圆方程为( ) D A. B. C. D. 解析 设的外接圆方程为 ， 因为，， ，所以 解得,,，所以的外接圆方程为 .故选D. 求圆的一般方程 题型二 题型探究 19 3.圆心在轴上，且过点的圆与 轴相切，则该圆的方程是( ) C A. B. C. D. 解析 设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以 即为半径,则根据题意得 ，解得.所以圆心坐标为 ，半径为5，则该圆的方程为 ,化为圆的一般方程得 .故选C. 变式训练 20 【例3】［江苏徐州十三校2025高二期中联考］若点在圆 的外部，则 实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 由方程表示圆，则，又点 在圆外，则 ，即解得 ，故选C. 题型探究 点与圆的位置关系 题型三 4.［广东茂名2025高二期中］若为圆上任意一点，点 ，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 解析 将圆 化为标准方程，得 ， 故圆的圆心为，半径 . 因为，所以点在圆 的内部， 且，所以 的取值范围为 .故选C. 变式训练 22 此类题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点 距离的最小值为 ，最大值为，为线段与圆的交点，为 延长线与圆的交点. 总结归纳 5.［安徽阜阳2025高二期中］已知圆 上所有点都在第二象限， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 解析 由，得 ，所以圆心坐标为 ，半径为3，因为圆 上所有点都在第二象限，所以 解得 ，故选A. 变式训练 24 【例4】已知某曲线上的点到定点与到定点的距离的比值为 ，求此曲线的方程， 并判断曲线的形状. 【解】设点是所求曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当，即或时， ， 所以 . 因为，所以方程表示以 为圆心， 为半径的圆. 当时，原方程可化为，即表示线段 的垂直平分线. 忽略方程表示圆的条件致错 题型四 题型探究 解答本题时容易忽略验证 而丢分.解决此类问题时，要注意方程 表示圆的方程的隐含条件 . 易错警示 25 1、圆的一般方程 2、求圆方程的两种方法 （1）待定系数法（一般步骤） （2）几何法（几何特性） 3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件． 关注圆的方程特征 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 课堂小结 感谢聆听! $$