1.5.1 平面上两点间的距离（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.5.1 平面上两点间的距离 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 学生能够深刻理解平面上两点间距离的概念，清晰认识到连接两点的线段的长度即为两点间的距离。 熟练掌握平面上两点间距离公式的推导过程，理解其数学原理，能够准确表述公式 能正确运用两点间距离公式，精准计算平面直角坐标系中任意给定两点间的距离，无论是简单的坐标点，还是涉及到几何图形顶点等实际应用场景中的点。 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组 的解 一组 无数组 _____ 直线l1，l2的公共点 一个 _______ 零个 直线l1，l2的位置关系 _____ 重合 _____ 无解 无数个 相交 平行 知识回顾 两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系 3 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 知识回顾 4 新知探究 在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么， ● 怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离? ● 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求这两点间的距离? 我们先看一个具体的例子. 已知点 P1(－1，3)，P2(3，－2)，下面探求 P1，P2 两点间的距离 P1P2. 如图1-5-1，过点 P1 向 x 轴作垂线，过点 P ，向 y 轴作垂线，两条垂线交于点 Q，则 Q 点的坐标是 (－1，－2)， 且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4. 新知探究 一般地，如果 x1≠x2，y1≠y2，过点 P1，P2 分别向 y 轴、x 轴作垂线，两条垂线交于点 Q (图1-5-2(1))，则点 Q 的坐标是 (x2，y)，且 QP1＝|x2－x1|， QP2＝| y2－y1|. 在 Rt△P1QP2 中， P1P22＝QP12＋QP22 ＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. (*) x轴上两点 P1(x1，0)，P2(x2，0) 之间的距离可以表示为 P1P2＝|x2－x1|. 当点 P1 在点 P2 的左侧时，P1P2＝x2－x1. 新知探究 如果 x1＝x2 (图1-5-2(2))，那么 P1P2＝| y2－y1 |， (*) 式也成立. 如果 y1＝y2，那么 P1P2＝| x2－x1 |， (*) 式也成立. 由此，我们得到平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 两点间的距离公式 能用其他方法得到这一结果吗? P1P2= 1.平面上P1(x1，y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式_________________________. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. 新知归纳 9 典例分析 例1. (1) 求 A (－1，3)，B (2，5) 两点间的距离； (2)设 a 为实数，已知 A(0，10)，B(a，－5) 两点间的距离是17，求 a 的值. 解：（1）由两点间距离公式， 得； （2）由两点间距离公式， 得， 解得， 故所求实数的值为或． 教材P32 例题 例2.已知 △ABC 的三个顶点为 A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程. 解 ：如图1-5-3，设点 M 的坐标为 (x，y)，过点 B，M，C 向 x 轴作垂线，垂足分别为点 B′，M′，C′，则点 B′，M′，C′ 的横坐标分别为 －2，x，4. 因为点M是线段BC的中点，所以点 M'是线段 B'C'的中点，即 B'M'≡M'C’ 从而 x-(-2)=4-x,则，． 所以点M的坐标为． 又，由两点间距离公式，得． 因此，BC边上的中线AM的长为． 由两点式，得中线AM所在直线的方程为，即． 典例分析 教材P32 例题 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点是 M (x0，y0)，则 新知归纳 例3.在直角三角形 ABC 中，点 M 为斜边 BC 的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 解：如图所示，以直角的直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系， 设两点的坐标分别为，， 因为点是的中点，所以点的坐标为，即， 由两点间距离公式得， ． 所以，即． 典例分析 教材P33 例题 1.分别根据下列条件，求线段AB的长及线段AB中点的坐标： (1)，； (2)，． 解：（1）， 中点坐标为 （2）， 中点坐标为. 教材P34 练习 2．（1）已知的顶点为，，，求AB边上的中线CM的长； （2）已知的顶点为，，，分别求三条中位线的长． 解：（1）线段中点坐标为， 故； （2）线段中点坐标为，线段中点坐标为， 线段中点坐标为， 中位线， 中线， 中线． 教材P34 练习 3. 已知两点 P(1，－4)，A(3，2)，求点 A 关于点 P 的对称点 B 的坐标. 解：设，由中点坐标公式可得 ，解得， 即. 教材P34 练习 4. 证明：点 M (1，1) 与点 N (5，－1) 关于直线 l：2x－y－6＝0 对称. 证明：，又直线的斜率为， 所以，所以， ，，线段的中点坐标为，且， 即中点在直线上，所以点关于直线对称． 教材P34 练习 平面上两点间距离公式的应用 题型一 题型探究 【例1】［北京大兴区2025高二期中］过点，的直线的斜率为， 则 ( ) B A.2 B. C.4 D. 解析 过点，的直线的斜率， 解得， ， , .故选B. 1.［江苏扬州2025高二期中］已知的顶点为，，， 则 边上的中线长为( ) B A.4 B.5 C. D. 变式训练 解析 设的中点为，因为，，所以,所以 边上的中线长 .故选B. 19 解析 将直线变形为， 令解得 则直线恒过点，不妨设为， 所以点到直线的最远距离为，此时直线 . 又， 所以点到直线的距离的最大值是 .故选B. 2.［广东汕头2025高二期中］点到直线为任意 实数 的距离的最大值是( ) B A.5 B. C.4 D. 变式训练 20 3.［江苏扬州中学2024高二月考］在平面直角坐标系中，已知直线 与点 .若直线上存在点满足为坐标原点，则实数 的取值范围 是_ ____________. 解析 设. 由,得 ， 整理得. 由得，解得， 故实数 的取值范围为， . 变式训练 21 4.［贵州贵阳2025高二期末］已知点，，点在轴上，则 的最小值为( ) B A. B.5 C.4 D. 变式训练 解析 已知，，点在轴上， 如图，取关于轴的对称点为 ，连接交轴于点， . 所以 的最小值为5.故选B. 22 图① 求直线上一点到两定点，距离之和的最小值，若两定点在直线 的同 侧，则可取点关于直线的对称点，如图①，则 ， ;若两定点在直线的两侧，则 即为所求. 规律方法 图② 求直线上一点到两定点，距离之差的最大值，若两定点在直线 的同 侧，则；若两定点在直线的两侧，则可取点 关 于直线的对称点，如图②，则 ， 这类最值问题，可以由对称性及平面几何知识转化，利用（1）三角形任 意两边之和大于第三边；（2）三角形任意两边之差的绝对值小于第三边； （3）两点之间线段最短求解. 23 【例2】［福建泉州2025高二期中］函数 的最小值为______. 解析 因为 表示 到与到的距离之和，关于轴的对称点为 ， 所以， 当且仅当，， 三点共线时取等号.所以的最小值为 . 题型探究 运用解析法解决平面几何问题 题型二 24 1.如图，和是在直线同侧的两个等边三角形. 试用坐标法证明： . 变式训练 【证明】以点为坐标原点，取所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 . 设和的边长分别为和 . 则,,,,, ,由距离公式，得 , ,所以 . 25 2.在中，是边上任意一点与，不重合，且 . 求证： 为等腰三角形. 变式训练 【证明】作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设，，， . 已知， 由距离公式可得 ， 即.又与不重合， 即，故，即 . 所以，即 为等腰三角形. 26 平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2= 1 两点间的距离 对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 2 中点坐标公式 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝ |y2－y1|. P1P2＝ 2.原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. $$