专题1.4 两条直线的交点重难点题型专训讲义（2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.4 两条直线的交点重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三 由直线交点的个数求参数 题型四 由直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 拓展训练一 两条直线的交点问题 知识点一：直线的交点 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【即时训练】 1．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值 . 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即时训练】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 1．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 4．（24-25高二上·上海·课前预习）在平面直角坐标系中画出两条直线并判断与其方程组解的关系. (1)直线：：，：，方程组：； (2)直线：：，：，方程组：； (3)直线：：，：方程组. 【经典例题二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 1．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的位置关系 4．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【经典例题三 由直线交点的个数求参数】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 1．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【经典例题四 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 1．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 【经典例题五 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）过点作直线l分别交x轴、y轴正半轴于B、C两点，当面积最小时，求直线l的方程，并求此面积最小值． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 3．（24-25高二上·河北唐山·期中）三条直线 不构成一个三角形，则实数k的所有取值之和为__________. 4．（23-24高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【经典例题六 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 2．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 4．（23-24高二·全国·期末）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标． 【拓展训练一 两条直线的交点问题】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 1．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西忻州·阶段练习）如图，已知直线l1：y=－2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围是（    ） A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2 3．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 7．（23-24高二上·黑龙江·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为 ． 12．（22-23高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 13．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，则直线l恒过定点为 ，当直线在两坐标轴上的截距和为0时，则直线l的方程为 ． 14．（24-24高三上·北京西城·期中）直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有 条． 15．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 16．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知两点，，过点的直线与直线，的交点分别为、两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点， (1)当时，求直线的方程； (2)判断直线是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由. 17．（23-24高二上·上海·期中）已知，直线的方程为，直线 的方程为.当m变化时， （1）分别求直线和经过的定点坐标； （2）讨论直线和的位置关系. 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，且． (1)求的值； (2)若直线与的交点在直线上，求直线的方程． 20．（2024高二·全国·专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 两条直线的交点重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三 由直线交点的个数求参数 题型四 由直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 拓展训练一 两条直线的交点问题 知识点一：直线的交点 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【即时训练】 1．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 2．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值 . 【答案】或 【分析】求出直线与两坐标轴的交点，根据截距的关系，列方程求即可. 【详解】依题意可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或. 故答案为：或. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即时训练】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解. 【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为． 故选：D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【答案】 【分析】由三角形面积之比得到点到直线的距离之比，从而得到直线和直线的交点为线段的三等分点，进而得到直线的方程，同理得到直线的方程，最后联立两直线方程求解点的坐标． 【详解】 由，它们有公共边， 故，到直线的距离之比为． 同理，，到直线的距离之比为， 边上靠近的三等分点为，即， 它与点连线的直线方程为． 边上靠近的四等分点为即， 它与点连线的直线方程为． 由，解得点坐标为． 1．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【详解】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课前预习）在平面直角坐标系中画出两条直线并判断与其方程组解的关系. (1)直线：：，：，方程组：； (2)直线：：，：，方程组：； (3)直线：：，：方程组. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据图像判断两条直线位置关系. 【详解】（1）两条直线相交，方程组有唯一解；    （2）两条直线平行，方程组无解；    （3）两条直线重合，方程组有无穷多组解.    【经典例题二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【答案】答案见解析. 【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 【详解】（1）方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1). （2）方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合. （3）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目. 1．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【分析】 根据f（x0，y0）为常数，得到两直线方程中x与y的系数相同，常数项不相等，得到两直线的位置关系是平行. 【详解】 解：在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的位置关系 【答案】 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 【详解】设直线的公共点为点，则点既在直线上，又在直线上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标就是方程组的解，因此方程组一个解对应直线一个公共点，直线相交；方程组无数个解对应直线无数个公共点，直线重合；方程组无解对应直线零个公共点，直线平行. 故答案为：一个；无数个；零个；相交；重合；平行. 4．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)重合 (3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 【经典例题三 由直线交点的个数求参数】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 1．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 2．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 【经典例题四 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，. 【详解】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 【答案】 【分析】联立与解出交点坐标，令横坐标大于0，纵坐标小于0，解出的范围即可. 【详解】联立两条直线方程解得， 因此两直线交点坐标为， 因为交点在第四象限，所以， 解得． 1．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 2．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）当或时利用两直线垂直斜率之积为计算即可； （2）令和分别解出四点坐标，然后由得到关于的方程，分的取值解出即可； 【详解】（1）当或时，显然直线与不垂直， 所以， 所以， 解得． （2）依题意可知直线的斜率存在且不为0，即或， 令，得， 解得， 所以， 令，得， 解得， 所以， 又，所以， 即， 当时，，无解； 当或时，， 解得或； 当时，，无解； 综上所述，或． 【经典例题五 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【答案】A 【分析】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得的范围． 【详解】解：三条直线，，构成三角形， 故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点． 而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以， 故选：A． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）过点作直线l分别交x轴、y轴正半轴于B、C两点，当面积最小时，求直线l的方程，并求此面积最小值． 【答案】直线l的方程为，最小面积为4 【分析】设直线l的方程为，求出坐标，由面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】设直线l的方程为，则 当且仅当时，的面积最小. 此时直线l的方程为，最小面积为4 1．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 3．（24-25高二上·河北唐山·期中）三条直线 不构成一个三角形，则实数k的所有取值之和为__________. 【答案】-10 【分析】如果三条直线不构成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此可求得实数k的值，从而可得实数k的所有取值之和 【详解】若 ，则k=5， 若 ，则k=-5， 由 得 ， 若在上，则k=-10． ∴符合条件的实数k的所有取值之和为 故答案为-10 【点睛】本题考查两条直线平行的性质，直线的一般式方程，考查两条直线相交，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题． 4．（23-24高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【分析】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【详解】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 【经典例题六 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 3．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·期末）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标． 【答案】证明见解析， 【分析】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标. 【详解】证明：原方程整理为，则由得 所以点坐标为． 【拓展训练一 两条直线的交点问题】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断. 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标. （2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程. 【详解】（1）经过点且与垂直的直线为：：，即. 由. 所以直线和直线的交点坐标为：. （2）因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设：. 交轴于点：，交轴于点：. 由或. 所以的方程为：或. 1．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在实数时，使得的值与无关 【分析】（1）直线的方程为，根据题意，联立方程组，分别求得点和,结合和点为的中点，列出方程组，求得，得到的坐标，结合，即可求解； （2）假设存在满足题意的实数，使得的值与无关，由（1）中的坐标，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为直线过点，且斜率为，可得直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，即, 又因为的纵坐标均为整数，可得，即， 因为，所以， 当时，可得，，， 因为点为的中点，可得，解得， 所以，，， 则的面积. （2）解：假设存在满足题意的实数，使得的值与无关， 由（1）知，，，且， 可得，所以， 因为，所以当时，（定值）， 所以存在实数时，使得的值与无关. 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 2．（23-24高一上·山西忻州·阶段练习）如图，已知直线l1：y=－2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围是（    ） A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2 【答案】D 【分析】由直线过得，然后求出两直线交点坐标，由交点在第一象限（横、纵坐标均大于0）求得的范围． 【详解】因为直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，所以，即， 由，可得，由题设，解之得， 故选：D． 3．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点、，从而将的面积表示为斜率的函数，分和两种情况根据的面积为的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解. 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 7．（23-24高二上·黑龙江·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得 解得，当且仅当时取得最大值. 故选：A. 8．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 11．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设两交点坐标，由线段被平分，得到两点坐标的关系，由直线方程得到方程组，解得点坐标，由点斜式写出直线方程. 【详解】设， ∵为中点，∴， ∴，∴， 解得， ∴，即. 故答案为： 12．（22-23高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解． 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 13．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，则直线l恒过定点为 ，当直线在两坐标轴上的截距和为0时，则直线l的方程为 ． 【答案】 或 【分析】根据直线系求出定点，再由截距和求出得直线方程. 【详解】由可得，故可得直线过定点， 令，解得，令，可得， 由题意，，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：；或 14．（24-24高三上·北京西城·期中）直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有 条． 【答案】3 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式可求解直线的斜率，即可得出结果． 【详解】解：当时，显然不成立．当，对直线l：， 时，；时，，∴，， ∵，∴，解得或，∴共三条， 故答案为：3． 15．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 16．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知两点，，过点的直线与直线，的交点分别为、两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点， (1)当时，求直线的方程； (2)判断直线是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)恒过定点. 【分析】（1）根据题意设直线的方程为，分别与直线，联立，求得点、的坐标，再由求解； （2）分别求得点C，D的坐标，再根据对称性，令，得，得到直线过点，然后由论证即可. 【详解】（1）解：如图所示：    显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 联立，解得点，同理可得点， 由，解得， 直线的方程为. （2）由（1）得，直线的方程为，联立，得点， 同理直线的方程为，联立，得点， 根据对称性，令，得，此时直线过点， 猜测直线CD过定点. ，同理：， 恒成立，、、始终三点共线，所以直线过定点. 17．（23-24高二上·上海·期中）已知，直线的方程为，直线 的方程为.当m变化时， （1）分别求直线和经过的定点坐标； （2）讨论直线和的位置关系. 【答案】(1) 直线过定点 ；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析. 【分析】（1）将直线l1的方程改写为m（x﹣2y﹣3）+（x+y）＝0，令，求解x，y的值，可得答案；同理，直线l2一样求法； （2）联立方程，得求解交点D，讨论即可； 【详解】（1）将直线的方程改写为 ， 令 得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）； （2）联立方程，得 D=2m(m-2),Dx=-2(m-1)(m-2),Dy=-2(2m+1)(m-2) 当m 和2时，D ，两直线相交； 当m=0时，D=0, ，两直线平行； 当m=2时， ，两直线重合． 【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法，属于基础题． 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）或或4或. 【分析】（1）联立方程组即可求出； （2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解. 【详解】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，且． (1)求的值； (2)若直线与的交点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两条直线垂直得出斜率关系计算求参； （2）先求出两条直线的交点再根据点在直线上求出参数即可得出直线. 【详解】（1）因为直线的斜率为，直线的斜率为． 又，所以，故． （2）联立解得 将点代入的方程得， 解得，所以直线的方程为． 20．（2024高二·全国·专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程． 【答案】2x+y+8＝0． 【分析】设出所求的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，由它的斜率为 2，求出λ 的值，即得所求的直线方程． 【详解】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0， 即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2， 解得 λ， ∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $$