专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型专训讲义（2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 由斜率判断两条直线垂直 题型三 已知直线平行求参数 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 通过一般式判断直线平行与垂直 知识点一：通过斜率判断平行与垂直 1、通过斜率判断直线平行： 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当 具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2、通过斜率判断直线垂直 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 【答案】A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 知识点二：通过一般式判断直线平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 【即时训练】 1．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断. 【详解】∵直线的斜率，纵截距为， 对A：直线的斜率，纵截距为； 对B：直线的斜率，纵截距为； 对C：直线的斜率，纵截距为； 对D：直线的斜率，纵截距为； 若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合. 故选：C. 2．（22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据直线垂直的充要条件可得a，b关系，然后由基本不等式可解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，即， 由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系. 【详解】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行. 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 【答案】D 【分析】根据条件，结合点与直线的位置关系，转化为坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于（1），因为， 所以 ，即，所以（1）正确； 对于（2），当时，满足， 此时有，， 即，均在直线上，所以（2）错误； 对于（3），由，得到， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项D正确； 故选：D 3．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 4．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【分析】根据直线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 【经典例题二 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确 对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误 对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误 对于D：错误 故选：A 2．（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为， 且为一元二次方程的两不等实数根， 则，所以. 故选：B 3．（23-24高二下·全国·课前预习）若直线，则 . 【答案】 【分析】通过讨论斜率是否存在，确定充要条件. 【详解】已知直线，（、、、、、为常数）. 当直线和的斜率都存在时，则，， 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得； 当直线和分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，则轴，则，，满足. 综上所述，若直线，则； 故答案为： 4．（23-24高二上·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可； （2）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直； （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直. 【经典例题三 已知直线平行求参数】 【例1】（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 【例2】（23-24高二上·江苏·课后作业）已知直线和直线.若，求实数的值. 【答案】 【分析】根据两直线平行的性质列式求解即可，但是要注意检验是否重合的情况. 【详解】若，则，所以，解得或1. 当时，，满足， 当时，，此时与重合， 所以. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 3．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知两条直线和，且，求实数的值. 【答案】或. 【分析】直接根据平行得，解出再检验即可. 【详解】若两直线平行，则，解得：或. 检验：当时，直线，直线，两直线平行； 当时，直线，即，直线，两直线平行， 所以或. 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）已知直线互相垂直，求实数的值 【答案】0或1 【分析】根据直线垂直的结论计算即可. 【详解】因为直线互相垂直， 所以根据直线垂直的结论知道，， 解得， 即或. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】由题可得，解得或（舍去）. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为直角三角形，，求点的坐标． 【答案】或． 【分析】根据题意，分别讨论角为直角的情况，结合斜率的乘积为，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为直角三角形，，所以． 若，则，解得． 若，则，解得． 若，则，无解． 所以点坐标为或． 【经典例题五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 1．（24-25高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 3．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线方程可求出；根据求出，进而可求出直线的倾斜角. 【详解】直线方程直线的倾斜角大小为 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【拓展训练一 通过一般式判断直线平行与垂直】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【答案】答案见详解 【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得. 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合． 1．（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 2．（23-24高二上·四川·期中）直线：和直线：（）的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系. 【详解】当时，直线：与直线：相互垂直； 当时，直线方程可化为，直线方程可化为 因为，所以直线与直线相互垂直 故选：B 3．（24-25高二上·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 【答案】 且 且 且A、B不同时为0 【分析】根据直线与x轴、y轴的位置关系可得答案. 【详解】（1）直线与x轴平行时：且； （2）直线与y轴平行时：且； （3）直线过原点时：且A、B不同时为0； （4）直线过点时：． 故答案为：①且；②且； ③且A、B不同时为0；④ 4．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误. 【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 4．（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 5．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 6．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 7．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解． 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 又因两直线垂足为，则，解得， 将代入直线，则， 解之得， 所以. 故选：B. 8．（2024高一·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，直线，则直线与的倾斜角分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的位置关系，结合倾斜角的定义求解即可. 【详解】解：∵直线的倾斜角为，，∴的倾斜角为. ∵，∴ 的倾斜角为 . 故选：C 9．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：B 10．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离小于 【答案】C 【分析】A项：根据与直线平行可求出值，即可求解； B项：根据与直线垂直可求出值，即可求解； C项：将直线整理得：，从而求出定点，即可求解； D项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，验证后从而求解. 【详解】对于A项：当直线与直线平行，得斜率为：，解得：，故A项正确； 对于B项：当直线与直线垂直，得斜率：，解得：，故B项正确； 对于C项：直线化简为：，由，解得：，即l恒过定点，故C项错误； 对于D项：当原点与直线的定点的连线垂直于直线时距离最大，由两点间距离得：，此时直线l的斜率为， 但该直线的斜率，所以原点到直线的距离小于，故D项正确. 故选：C. 11．（22-23高二·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【答案】 平行 相交 【分析】 根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系 【详解】（1）由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率为， 两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行； 由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率不存在，所以直线与直线相交. 故答案为：平行；相交 12．（23-24高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 【答案】垂直 【分析】根据二次方程的根与韦达定理，并结合斜率关系判断即可. 【详解】解析由方程，知恒成立. 故方程有两相异实根，即与的斜率均存在. 设两根为，则 ，所以 故答案为：垂直 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】运用直线垂直的结论计算即可. 【详解】直线与直线垂直，则，解得. 故答案为：2. 15．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】 16．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 17．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为． (1)求的值； (2)设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据及，坐标即可得点的坐标为，从而可得，即可得的值； （2）根据对称可得点的坐标为，从而可得的坐标，计算，验证，即可证明结论. 【详解】（1）解：点在线段上且满足，所以， 则，即点的坐标为． 又因为直线的斜率为，于是， 所以； （2）证明：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 线段的中点的坐标为， 则， 于是， 所以． 18．（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 19．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【答案】 【分析】用两直线垂直的定义计算即可. 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 20．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 两条直线的平行与垂直重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 由斜率判断两条直线垂直 题型三 已知直线平行求参数 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 通过一般式判断直线平行与垂直 知识点一：通过斜率判断平行与垂直 1、通过斜率判断直线平行： 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当 具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2、通过斜率判断直线垂直 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 2．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 知识点二：通过一般式判断直线平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 【即时训练】 1．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 2．（23-24高一下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 3．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 4．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【经典例题二 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 2．（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 3．（23-24高二下·全国·课前预习）若直线，则 . 4．（23-24高二上·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【经典例题三 已知直线平行求参数】 【例1】（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【例2】（23-24高二上·江苏·课后作业）已知直线和直线.若，求实数的值. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 3．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知两条直线和，且，求实数的值. 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）已知直线互相垂直，求实数的值 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为直角三角形，，求点的坐标． 【经典例题五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 1．（24-25高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 2．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【拓展训练一 通过一般式判断直线平行与垂直】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 1．（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 2．（23-24高二上·四川·期中）直线：和直线：（）的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 3．（24-25高二上·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 4．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 4．（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 5．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，直线，则直线与的倾斜角分别是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离小于 11．（22-23高二·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 12．（23-24高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与直线垂直，则 ． 15．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 16．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 17．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为． (1)求的值； (2)设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：． 18．（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 19．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 20．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$