1.3两条直线的平行与垂直（第2课时）（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.3 两条直线的平行与垂直 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 第2课时 两条直线的垂直 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握两条直线垂直的条件. 会运用条件判定两直线是否垂直. 运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题 两条不重合直线的平行关系判定： 两条直线平行 倾斜角相等 从倾斜角看 两条直线平行 斜率相等或斜率都不存在 从斜率看 从（斜截式）方程看 两条直线平行 或斜率都不存在 k1＝k2 且b1 ≠ b2 知识回顾 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示     对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 知识回顾 你能用其他方法得到这一结果吗? 如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)， 那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角， 另一个是钝角. 新知探究 若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 反过来，如果 k1k2＝－1，那么可以证明 l1⊥l2 . 令两直线斜率分别为，(为对应倾斜角)， 由，不妨假设，则， 所以，而， 故，即，则两条直线互相垂直，得证. 因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于－1；反之，如果它们斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直. 新知探究 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1（k1，k2均存在） 如果两条直线 l1，l2 中的一条的斜率不存在，那么何时这两条直线互相垂直? l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 不存在 新知探究 典例分析 方法技巧 解题的关键： l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在. 例1. (1) 已知四点 A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)， 求证：AB⊥CD； (2)已知直线 l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2. 教材P23 例题 例2.如图，已知三角形的顶点为 A (2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求 BC 边上的高 AD 所在直线的方程. 典例分析 解：直线的斜率为． 因为，所以． 根据直线的点斜式方程，得直线的方程， 即． 教材P24 例题 例3.在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角. 路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线(精确到0.01m)? 典例分析 解：如图，记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路中线交于点C，以灯柱底端O点为原点，灯柱OB为y轴，建系如图，B（0，h），C（11.5，0） ∵∠OBA=120°：直线BA的倾斜角为30° 则A（2.5cos30°，h+2.5sin30°） 即A（1.25 ，h+1.25） 因为CA⊥BA，得 得CA的方程：y-（h+1.25）= 将C点代入方程得：h≈14.92（m） 教材P24 例题 1. 分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否垂直： (1) A(－1，－2)，B(1，2)，C(－2，1)，D(2， －1)； (2) A(0，2)，B(1，0)，C(3，2)，D(5，3)； (3) A(3，4)，B(3，－2)，C(－1，4)，D(1，4)； (4) A(－3，1)，B(1，5)，C(2，4)，D(0，3). 答案：(1) 垂直. (2) 垂直. (3) 垂直. (4) 不垂直. 2. 以点 A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4) 为顶点的三角形是( ). A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 B 教材P25 练习 3.判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 解：（1），两直线垂直． （2），两直线垂直； （3），不垂直； （4）斜率为0，斜率不存在，两直线垂直． 教材P25 练习 4. 分别求过点 A(2，3)，且垂直于下列直线的直线的方程： (1) x－y－3＝0； (2) 3x－2y－1＝0； (3) x－1＝0； (4) y＋2＝0. 答案：(1) x＋y－5＝0. (2) 2x－3y＋5＝0. (3) y－3＝0. (4) x－2＝0. 5. 直线 l1，l2 的方程为l1：2x＋3y－2＝0，l2：mx＋(2m－1)y＋1＝0.设 m 为实数，分别根据下列条件求m的值：(1) l1∥l2； (2) l1⊥l2. 解：（1）由题意，解得，此时两直线不重合，符合题意； （2）由题意，解得． 教材P25 练习 方法技巧 两条直线垂直关系的判定 题型一 题型探究 例1　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； 直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)已知直线l1经过点A(3,a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1,a－2)，若l1⊥l2，求a的值. 由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在. 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意. 当l1的斜率存在时，a≠5， 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 综上所述，a的值为0或5. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步. (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 1.已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_______. 1或0 变式训练 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 当a＝0时，直线l1为x轴，直线l2为y轴，显然l1⊥l2.综上，实数a的值为1或0. 方法技巧 求与已知直线垂直的直线方程 题型二 题型探究 例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1， 又∵直线l经过点A(2,1)， 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程. 2.已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为________________. 3x－5y＋15＝0 变式训练 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1， 方法技巧 两直线垂直的综合问题 题型三 题型探究 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与 直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为____. 9 ∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn， 当且仅当m＝n＝3时取等号. (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0 和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为__________. 由题意，可知两直线平行或垂直， 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系. (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 变式训练 3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状. 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形. 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 图示     对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1  ⇒l1⊥l2 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋， 从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. 证明　(1)由斜率公式，得 kAB＝＝，kCD＝＝－， 则kABkCD＝×＝－1， 所以AB⊥CD. (2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝， 从而k1k2＝×＝－1， 所以l1⊥l2. 由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝. 即×＝－1，解得a＝0. 直线l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 即a·＝－1，解得a＝1. 因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. 由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. $$