专题1.2 直线的方程重难点题型专训讲义（5个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.2 直线的方程重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的点斜式方程及辨析 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 直线的一般式方程及辨析 题型五 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型六 由一般式方程判断直线的平行 题型七 由一般式方程判断直线的垂直 题型八 由两条直线平行求方程 题型九 由两条直线垂直求方程 题型十 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程及其应用 拓展训练二 根据方程判断直线位置关系 拓展训练三 根据直线的位置关系求方程 知识点一：直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东江门·期末）设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出经过点的直线方程，进而求得答案. 【详解】依题意，经过点的直线方程为， 而点在以点为端点的线段上， 因此，所以，C正确，D错误； 当且仅当是线段中点时，，而它是线段上除端点外的任意点，A错误； 显然可能异号，此时选项B无意义，B错误. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：. 所以所求直线方程为：即. 故答案为： 知识点二：直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【即时训练】 1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系结合倾斜角的范围求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 所以，可得． 故答案为：. 知识点三：直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 【即时训练】 1．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的方向向量求出点坐标，再由两点式计算直线的方程. 【详解】由题知，解得，即， 将两点坐标代入直线的两点式方程可得， 即． 故答案为：. 知识点四：直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 【即时训练】 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 知识点五：直线的一般方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故直线的方程是. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线在轴上的截距是 . 【答案】 【分析】在直线方程中，令即可得解. 【详解】在直线方程中，令，解得. 故答案为：. 【经典例题一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 2．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 【答案】或（其中一条即可） 【分析】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设，，依题意可得或，再结合、分别在直线、上，求出、坐标，即可求出直线的方程. 【详解】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分， 设，，则或， 所以或， 又、分别在直线、上，所以，， 解得、或、， 所以，或，， 则直线的方程为或， 整理得或. 故答案为：或（其中一条即可） 4．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 2．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】根据题意，由直线的两点式方程可得到直线方程的表达式，再令，即可得到结果. 【详解】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得， 化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 故选：A 3．（24-25高二上·山东济宁·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程. 【详解】解：由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点， ∴“欧拉线”的方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为.    【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 1．（24-25高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 3．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【经典例题四 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）每一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 【答案】答案见解析 【详解】当时，方程可以写成，它表示过点，斜率为的直线． 当时，由于，不同时为0，方程可以写成，它表示一条与轴平行或重合的直线． 因此，在平面直角坐标系中，关于，的二元一次方程（，不同时为0）都表示一条直线． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为1，则直线在轴上的截距是（    ） A．或 B．或 C．或5 D．或5 【答案】B 【分析】利用题意得到直线上必过的定点，代入方程中求出参数，分类讨论求解即可. 【详解】首先，我们把直线化简为 ，而由题意得，直线在轴上的截距为1， 所以点一定在直线上，故可知且，解得或， 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 综上所述直线在轴上的截距是或，故B正确. 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案. 【详解】由已知， 令得直线在y轴的截距为， 令得直线在x轴的截距为， 由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得， 即. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程表示两条相交直线，请你写出实数可以取的一个值，并给出相应的两条相交直线的方程． 【答案】；和（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法即可得到方程组，解出即可. 【详解】依题意，令 ， 比较等式两边项的系数得， 解得或或或， 因此可以取7或． 当时，两相交直线为和，或和； 当时，两相交直线为和，或和． 【经典例题五 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】BD 【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断. 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， ∴若，则，；若，则，． 故选：BD 【例2】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)求经过、两点的直线方程； (2)求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； (3)求经过点且斜率为的直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． 【详解】（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． （2）由截距式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． （3）因为经过点，由点斜式方程可得：， 化为一般式方程为． 1．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以直线的斜率为标准，对参数分类讨论，解出即可. 【详解】若，则的方程为，不经过第四象限． 若，则的方程为，经过第四象限． 若且，将的方程转化为， 因为经过第四象限，所以或 解得或或． 综上知，的取值范围为， 故选： 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果. 【详解】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即.   当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为.   故所求直线方程为或. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 【经典例题六 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【答案】B 【分析】当，时，可得过点，由定点不在直线上，可得，即表示一条斜率与：相等的直线. 【详解】因为定点不在直线：上，则可令， 所以表示一条与：斜率相同的直线， 当，时，，所以过点， 所以表示过点且平行于的直线. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设直线的方程是，在下列条件下，分别求实数、、的取值范围. (1)与轴、轴均相交； (2)与轴相交，与轴不相交. 【答案】(1) (2)，， 【分析】 （1）直线与轴、轴均相交，则斜率存在，且不为0. （2）与轴相交，与轴不相交，则与轴平行，且不重合. 【详解】（1）当时，，斜率为存在，且， 这时直线与两坐标轴都相交. （2）令，则， 此时，当，，时，直线只与轴相交，与轴不相交. 1．（24-25高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【答案】B 【分析】根据直线平行的充要条件判定即可. 【详解】由：， 可得， 因为且， 所以与平行 故选：B 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解. 【详解】根据两直线平行可得：解之得：. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线． 【答案】这些不同的直线的位置关系为平行，图像见解析. 【分析】依据两直线平行判定充要条件即可解决. 【详解】a取不同实数时，方程对应不同的直线， 这些不同的直线斜率相同，均为，y轴截距不同，为. 故这些不同的直线的位置关系为平行. 时方程表示的直线如下图所示：    【经典例题七 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 【答案】 【分析】利用直线一般式垂直的性质，结合正弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得， 因为直线，直线， 所以，则两直线垂直，即两直线的夹角为． 1．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 3．（24-25高二上·北京西城·期中）试给出一组试两条直线与互相垂直的实数的值 ． 【答案】（满足且不为零的实数的值均符合） 【分析】 由直线相互垂直可得满足的等式关系，求符合条件的一组的值即可. 【详解】解：两条直线与互相垂直 则有，即 故答案为：（满足且不为零的实数的值均符合） 4．（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 【经典例题八 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD是平行四边形，AB边所在直线的方程是，AD边所在直线的方程是，顶点C的坐标是（3，3），求这个平行四边形其他两条边所在直线的方程． 【答案】， 【分析】根据题意，平行四边形对边平行，则斜率相等，即可求出结果. 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，设所在直线的方程为：， 代入点C的坐标（3，3），得， 所以所在直线的方程为：， 同理，设所在直线的方程为：， 代入点C的坐标（3，3），得， 所以所在直线的方程为：. 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案. 【详解】由题可得，设平行于直线的直线的方程为， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海长宁·期中）若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据平行条件设出直线的方程，再代入点求解即可. 【详解】解：设过点且与直线平行的直线方程为， 把点代入直线方程得 故所求的直线方程为. 故答案为： 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 【答案】证明见解析 【分析】设点是直线上除点的任意一点，化简即得证. 【详解】证明：由题得直线的斜率为. 设点是直线上除点的任意一点，所以， 化简得. 显然点也满足此方程， 所以直线的方程可以写成. 故得证. 【经典例题九 由两条直线垂直求方程】 【例1】（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以所求直线方程为，整理得. 故选：C 【例2】（24-25高二上·广东中山·期中）已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程. 【答案】 【分析】根据的顶点，，求得的中点及斜率，再根据垂直平分线的定义求解. 【详解】因为的顶点，， 所以中点，， 则边的垂直平分线的斜率为 ， 所以边的垂直平分线的方程为，即. 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直关系设所求直线方程，将点P坐标代入整理即可. 【详解】因为直线， 所以设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程得，，所以， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 2．（22-23高二上·山西晋中·期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平面几何知识判定和这两条直线都垂直时，、间的距离最大，再利用两点坐标求的斜率，进而求出所求直线的斜率和方程. 【详解】由题意可得，、间的距离最大时，和这两条直线都垂直． 由于的斜率为，故直线的斜率为， 故它的方程是，即. 故选:A． 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【分析】讨论，两种情况，由直线垂直的性质得出实数的值. 【详解】当时，直线与直线互相平行； 当时，，因为，所以，解得或 故答案为：或 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 【经典例题十 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 【答案】证明见解析， 【分析】法1，将方程变为，可得，运算得解；法2，取特值，得到关于的方程组，解方程组并代回方程检验. 【详解】法1，直线方程化为：， ，，解得， 直线（是参数且）过定点. 法2，（特殊直线法）取得，，联立解得，， 将代入检验满足方程， 直线是参数且过定点. 1．（2023高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【详解】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D 2．（23-24高二上·广东清远·期中）若直线的斜率，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求得过定点，再依据其斜率，即可得到该直线不经过第三象限. 【详解】直线可化为 则直线过定点， 又直线斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C 3．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【分析】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 4．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或者 【分析】（1）通过即可求证； （2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可. 【详解】（1）即 令解得 直线过定点 （2）当直线横截距等于纵截距为0时 直线过原点  斜率 此时直线方程为即 当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为： 直线过点，代入方程得   直线的方程为：，即直线的方程为： 综上所述直线的方程为或者 【拓展训练一 直线方程及其应用】 【例1】（22-23高二上·湖北宜昌·期中）已知直线l过点，且与直线：和：分别交于点A，B．若P为线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出A点的坐标，根据中点坐标公式求出B点坐标，分别代入两条直线方程，解方程组求得A点坐标，利用点斜式求出直线l的方程. 【详解】设，由中点坐标公式，有 在上，B在上，，解得， ， 故所求直线的方程为：，即， 故选：D 【例2】（2025高二·全国·专题练习）设直线，根据下列条件求的值： (1)直线的斜率为1； (2)直线在轴上的截距为． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）用表示出直线的斜率，解方程得到的值； （2）令得到在轴上的截距，根据在轴上的截距为，解方程得到的值. 【详解】（1）当，即或时，直线斜率不存在， 当，即且时，， 所以，解得或（舍去），故． （2）当，即或时，此时直线与轴无交点，不满足题意， 当，即且时， 令，得， 由题意知，，解得（舍去）或，故． 1．（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的方程，两式相减即可求解. 【详解】由已知可得直线，直线，两式相减得，则直线与的交点满足此方程，又因为原点也满足此方程，所以此方程即为直线的方程． 故选：A． 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 3．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】先设与的交点为，则与的交点为，然后将两点代入直线方程，解方程组，最后利用两点式求解即可. 【详解】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)存在，． 【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 【拓展训练二 根据方程判断直线位置关系】 【例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【分析】根据题意，由两直线位置关系的判断方法，代入计算，即可求解. 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 2．（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 3．（24-25高二·全国·课后作业）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是 ． 【答案】重合 【分析】利用正弦定理直接判断可知. 【详解】由正弦定理可知，， 所以直线与重合. 故答案为：重合. 4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合直线的方程可得结果； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在； 当时，即当时，此时，直线的斜率为. 综上所述，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. （2）过点且垂直于直线的直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得， 因此，所求直线的方程为. 【拓展训练三 根据直线的位置关系求方程】 【例1】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行得斜率相等，再根据点斜式方程即可求解； （2）根据题意可知所求直线与AC平行或者过A，C中点，分类求解即可. 【详解】（1），∴直线BC的斜率为：. ∴过点A且平行于BC的直线的方程为：，即. （2）由题知可知：的中点坐标为：，直线的方程为：. 当直线与AC平行时，直线的一般方程为：； 当直线经过A，C中点时，，此时直线的方程为：，即. 综上所述：过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程为：或. 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的点斜式方程代入计算，然后化简，即可得到结果. 【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行， 所以直线的斜率也为，且直线经过点， 由直线的点斜式可得直线的方程为， 化简可得，进一步变形可得，再变形可得. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【详解】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 【答案】 【分析】先由与垂直，求得的斜率，再由点斜式求得其直线方程；求出点的坐标，结合对称性求出点的坐标，结合平行求出斜率，即可求出结果. 【详解】由题意：为矩形，则， 又边所在的直线方程为：， 所以所在直线的斜率， 而点在直线上． 所以边所在直线的方程为：. 方程与方程联立得，关于的对称点 因，所以边所在的直线方程为. 故答案为：；. 4．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知两个点的坐标． (1)求过点且与直线AB垂直的直线的方程； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点坐标得到，再由两直线垂直斜率关系得到，最后由点斜式得到直线方程； （2）由两直线平行关系得到斜率关系，再由斜率公式列方程组解答即可； 【详解】（1）由题意得， ，得 过点，由点斜式得， 直线的方程为 （2）设． 若四边形是平行四边形， 则， 即，解得． 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可. 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 4．（24-25高二上·河北保定·期中）直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般式可得直线的斜率，再由斜率的公式即可求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：. 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果 【详解】根据题意可知直线可可变形为 故直线的斜率为， 设直线倾斜角为， 由可得. 故选：B 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 7．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 8．（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【详解】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 9．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 11．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程. 【详解】直线的斜率为， 所以过且平行于直线的直线方程为. 线段的中点坐标为， 所以过与线段中点的直线的方程为. 所以直线或符合题意. 故答案为：或    12．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 13．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是 . 【答案】或 【分析】分截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程代入点的坐标即可求解. 【详解】当截距为时，设所求直线为， 因为直线过点，所以， 所以，所以所求直线方程为， 当截距不为时，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值． 【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上． 设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且， 所以． 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 故答案为：2. 15．（24-25高二·全国·课后作业）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以直线恒过定点，即， 因为过点A且与直线垂直， 所以设过点A的直线方程为， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 18．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    19．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 20．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直线的方程重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的点斜式方程及辨析 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 直线的一般式方程及辨析 题型五 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型六 由一般式方程判断直线的平行 题型七 由一般式方程判断直线的垂直 题型八 由两条直线平行求方程 题型九 由两条直线垂直求方程 题型十 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程及其应用 拓展训练二 根据方程判断直线位置关系 拓展训练三 根据直线的位置关系求方程 知识点一：直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东江门·期末）设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 知识点二：直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【即时训练】 1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 知识点三：直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 【即时训练】 1．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为 ． 知识点四：直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 【即时训练】 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 知识点五：直线的一般方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线在轴上的截距是 . 【经典例题一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 4．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 3．（24-25高二上·山东济宁·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 4．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 1．（24-25高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【经典例题四 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）每一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为1，则直线在轴上的截距是（    ） A．或 B．或 C．或5 D．或5 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）若方程表示两条相交直线，请你写出实数可以取的一个值，并给出相应的两条相交直线的方程． 【经典例题五 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【例2】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)求经过、两点的直线方程； (2)求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； (3)求经过点且斜率为的直线方程． 1．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【经典例题六 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设直线的方程是，在下列条件下，分别求实数、、的取值范围. (1)与轴、轴均相交； (2)与轴相交，与轴不相交. 1．（24-25高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线． 【经典例题七 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 1．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·北京西城·期中）试给出一组试两条直线与互相垂直的实数的值 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【经典例题八 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD是平行四边形，AB边所在直线的方程是，AD边所在直线的方程是，顶点C的坐标是（3，3），求这个平行四边形其他两条边所在直线的方程． 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海长宁·期中）若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 . 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 【经典例题九 由两条直线垂直求方程】 【例1】（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东中山·期中）已知的顶点分别为，，，中点，求边的垂直平分线的方程. 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西晋中·期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 . 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【经典例题十 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 1．（2023高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东清远·期中）若直线的斜率，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 4．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【拓展训练一 直线方程及其应用】 【例1】（22-23高二上·湖北宜昌·期中）已知直线l过点，且与直线：和：分别交于点A，B．若P为线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高二·全国·专题练习）设直线，根据下列条件求的值： (1)直线的斜率为1； (2)直线在轴上的截距为． 1．（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【拓展训练二 根据方程判断直线位置关系】 【例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 2．（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．（24-25高二·全国·课后作业）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是 ． 4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【拓展训练三 根据直线的位置关系求方程】 【例1】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 4．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知两个点的坐标． (1)求过点且与直线AB垂直的直线的方程； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 4．（24-25高二上·河北保定·期中）直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 7．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 8．（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 11．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 12．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 13．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是 . 14．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 15．（24-25高二·全国·课后作业）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ． 16．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 18．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 19．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 20．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$