1.2.2 直线的两点式方程（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.2.2 直线的两点式方程 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 学 习 目 标 1 2 3 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 能够灵活运用直线的两点式方程解决实际问题。 1、直线的点斜式方程 2、直线的斜截式方程 3、直线的点斜式方程和斜截式方程之间的关系 斜截式是点斜式的特殊情况，两者均不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线。 知识回顾 若直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线 l 唯一确定. 那么， ● 如何建立直线 l 的方程呢? 新知探究 如果x1 ≠ x2 ，那么直线l的斜率 k= 由直线的点斜式方程，得 = （） 当y1 ≠ y2时，方程可以写成 这个方程是由直线上两点确定的. 当 y1＝y2 时，由 x1≠x2 知直线 l 与 y 轴垂直，它的方程为 y＝y1. 如果 x1＝x2，那么 y1≠y2，直线 l 与 x 轴垂直，它的方程为 x＝x1. (1)方程的左、右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形? (2)方程和方程表示同一图形吗? 新知探究 不表示同一图形. 前者不能表示与y轴平行(或重合)的直线 后者不能表示与x轴或y轴平行(或重合)的直线 方程左边表示（x，y）与点(， )连线的斜率， 右边表示(， )和(， )确定的直线斜率。 该方程表示经过这两点的直线(当 ≠ 时) 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 _______________叫作直线的两点式方程. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 概念归纳 6 典例分析 方法技巧 解题的关键： 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件x1≠x2，y1≠y2 ，若满足即可考虑用两点式求方程． 例1.已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)， 其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解：直线 l 经过两点A(a,0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝， 即＝1. 教材P14 例题 是直线与x轴交点的横坐标，称为直线在x轴上的截距（横截距）； 是直线与y轴交点的纵坐标，称为直线在y轴上的截距（纵截距）。 注意：直线的截距式方程不能表示与坐标轴（x轴与y轴）平行或经过原点的直线。 我们把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线在轴上的截距，此时直线在y轴上的截距为b.方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程. 新知探究 例2.已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)(如图)，分别求这个三角形三边所在直线的方程． 解　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由直线的两点式方程，得， 即3x＋8y＋15＝0，这就是直线AB的方程． 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝ ， 由直线的斜截式方程，得y＝－ x＋2， 即5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程． 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是－5,2，由直线的截距式方程，得＝1， 即2x－5y＋10＝0，这就是直线AC的方程. 典例分析 教材P14 例题 1. 分别写出经过下列两点的直线的方程： (1) (1，3)，(－1，2)； (2) (2，3)，(0，2)； (3) (3，3)，(3，4)； (4) (－2，3)，(3，3)； (5) (0，3)，(－2，0)； (6) (2，0)，(0，－2). 答案：(1) x－2y＋5＝0. (2) x－2y＋4＝0. (3) x＝3. (4) y＝3. (5) 3x－2y＋6＝0. (6) x－y－2＝0. 教材P15 练习 2. 根据下列条件，分别写出直线的方程： (1) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 3，－4； (2) 过点 P(1，5)，且在 y 轴上的截距为 6； (3) 过点 P(－3，4)，日在 x 轴上的截距为 3. 答案：(1) 4x－3y－12＝0. (2) x＋y－4＝0. (3) 2x＋3y－6＝0. 3. 已知两点 A(3，2)，B(8，12). (1) 求直线 AB 的方程； (2)设 a 为实数，若点 C(－2，a) 在直线 AB 上，求 a 的值. 答案：(1) 2x－y－4＝0. (2) a＝－8. 教材P15 练习 4. 回答下列问题： (1) 如果两条直线有相同的斜率，但在 x 轴上的截距不同，那么它们在 y 轴上的截距可能相同吗? (2)如果两条直线在 y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在轴上的截距可能相同吗? (3)任一条直线都可以用截距式方程表示吗? 解：(1)不可能. (2)可能，如当两条直线均过原点时，符合题意. (3)不都可以，当直线过原点或与坐标轴平行时，直线不能用截距式方程表示. 教材P15 练习 方法技巧 直线的两点式方程 题型一 题型探究 例1　(1)过(1,2)，(5,3)两点的直线方程是 直线过(1,2)，(5,3)两点， √ (2)在平面直角坐标系中，已知直线l经过(－1,0)，(1,4) 两点，则直线l的两点式方程是______________. (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 1.已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程. 即3x＋8y＋15＝0. 同理可得直线BC：5x＋3y－6＝0，直线AC：2x－5y＋10＝0. 变式训练 方法技巧 直线的截距式方程 题型二 题型探究 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 又l过点A(3,4)， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)， 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 2.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18， 求直线l的方程. 变式训练 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， ∴a＝±6. ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 直线方程的灵活应用 题型三 题型探究 例3　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. 设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. ∵A，P，B三点共线， 方法技巧 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 3.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当 取得最小值时直线l的方程. 设A(a,0)，B(0，b)，且a>0，b>0， 根据题意，易知点M在线段AB上， ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴的直线 斜截式 不垂直于x轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不经过原点的直线 ★四种直线方程及其适用范围★ 课堂小结 感谢聆听!  ＝ 所以由两点式得直线的方程为＝. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ＝ 根据两点式方程可得＝. 由两点式可得直线AB：＝， 可设直线l的方程为＋＝1. 所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， ∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＋＝1. ∴＝，整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10 ＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6， 当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立. ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 又直线l经过点M(2,1)，所以＋＝1， 所以＝(a－2，－1)，＝(－2，b－1)， ||·||＝－· ＝(2a＋b)－5 ＝＋≥2＝4， 则直线l的方程为＋＝1， $$