专题1.1 直线的斜率与倾斜角重难点题型专训讲义（3个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.1 直线的斜率与倾斜角重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 拓展训练一 直线的斜率与倾斜角问题 知识点一：直线的斜率 1、定义：对于直线上任意两点、，如果， 那么直线的斜率公式为 【注意】利用斜率公式计算直线的斜率时，两点坐标顺序不影响结果。 2、当时，直线斜率不存在； 【即时训练】 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式计算得解. 【详解】由斜率公式可知， 故选：C 2．（23-24高二上·陕西·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为 ． 【答案】/ 【分析】结合图象及直线与倾斜角的关系求解即可. 【详解】如图所示，因为直线OA的倾斜角为，， 所以直线OB的倾斜角为，直线AB的倾斜角为． 则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为． 故答案为：.    知识点二：直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 2、倾斜角的范围： 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 【即时训练】 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【分析】分别计算出两直线的倾斜角后即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，即， 又直线的倾斜角为， 故直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 知识点三：直线的倾斜角与斜率的关系 1、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 【即时训练】 1．（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 2．（22-23高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】写出直线方程，根据直线与轴垂直可得直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线方程为，直线与轴垂直， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 【答案】0°≤α≤30°或150°≤α＜180°. 【分析】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案. 【详解】 设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M. 当点P在线段AM(含端点)上时，因为，所以0°≤α≤30°； 当点P在线段BM(含端点B但不含端点M)上时，因为，所以150°≤α＜180°. 所以α的取值范围为0°≤α≤30°或150°≤α＜180°. 1．（24-25高二下·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解． 【详解】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【详解】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，若，则根据即可求出. 【详解】①当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； ②当时，直线的斜率， 因，则，则， 因，所以倾斜角， 综上，直线的倾斜角的范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）平面中的两条平行直线被轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 【答案】两直线平行，倾斜角相等． 【分析】略 【详解】两直线平行，倾斜角相等. 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，根据斜率再求直线的倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，即， 则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以， 因为，所以. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    【答案】答案见解析 【分析】由菱形的结构特征和在坐标平面中的位置，求各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 【详解】菱形ABCD中，，则和都是等边三角形， 则直线AD，BC的倾斜角为，直线AB，DC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；直线BD的倾斜角为， ，，，. 1．（24-25高二上·广西·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率的定义，结合正切函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，直线的斜率为，由此得， 又因为，所以结合正切函数的单调性，可得. 故选：D 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：C． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线l的斜率的绝对值为，求这条直线的倾斜角． 【答案】30°或150° 【分析】根据直线的斜率与其倾斜角的关系可得答案. 【详解】由题意知直线的斜率k＝或k＝－， 且倾斜角的范围为， 所以直线的倾斜角的大小为30°或150°. 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得a的取值范围. 【详解】由题知直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则， 且， 所以过原点的直线，的夹角在内变化时， 则， 即， 解得且， 故且， 故a的取值范围是. 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 直线的斜率是， 因为，所以. 故选：B. 2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【详解】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）直线的倾斜角定义中含有哪几个关键条件？ （2）只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？ （3）当一条直线的倾斜角为时，这条直线一定与x轴平行吗？ （4）如果从运动变化的观点来看，直线的倾斜角还可以如何定义？ 【答案】答案见解析 【分析】根据直线的倾斜角定义，倾斜角与直线的关系解题. 【详解】（1）①直线l和x轴相交；②按逆时针方向旋转；③首次重合． （2）不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点． （3）不一定，也可能与x轴重合． （4）x轴绕直线与x轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所经过的最小非负角． 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．    【答案】 【分析】由两点的斜率公式计算. 【详解】直线AB的斜率． 1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】解：， 故，， 则， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合已知及斜率两点式求参数值即可. 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】 【分析】根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率. 【详解】当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 故直线的斜率为. 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得. 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 1．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 3．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【答案】 【分析】利用斜率公式求得、，由列式解得的值. 【详解】由题意知直线的斜率存在，即． 所以， 所以， 整理得，即， 解得或（舍去），所以． 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据斜率相等证明三点共线. 【详解】证明：∵，， ∴， ∴A，B，C三点共线. 1．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 2．（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可. 【详解】由，解得， 故选：D． 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 4．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 【经典例题七 】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【例2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    2．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B    3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合图象，即可求解. 【详解】解：由斜率公式，可得， 要使得直线过点，且与以，为端点的线段相交， 如图所示，则满足，即直线斜率的取值范围是.    【拓展训练一 直线的斜率与倾斜角问题】 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 【例2】（2024高二·全国·专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角和等边三角形内角之间关系，结合直线斜率公式、两角和差的正切公式进行求解即可. 【详解】设点，互不相等， 则，，， 不妨设，且直线的倾斜角为 因为是等边三角形，所以 所以 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线l的一个法向量， 所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出相应图形，利用两点斜率公式求得两临界斜率，再数形结合即可得解. 【详解】点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 如图， ， 且过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为， 直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为． 综上所述，直线斜率的取值范围是． 故选：C. 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围. 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即. 故选：C 6．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 7．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    8．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 11．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 12．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 13．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 16．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 17．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 18．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 19．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    20．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 直线的斜率与倾斜角重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 拓展训练一 直线的斜率与倾斜角问题 知识点一：直线的斜率 1、定义：对于直线上任意两点、，如果， 那么直线的斜率公式为 【注意】利用斜率公式计算直线的斜率时，两点坐标顺序不影响结果。 2、当时，直线斜率不存在； 【即时训练】 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为 ． 知识点二：直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 2、倾斜角的范围： 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 【即时训练】 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与直线的夹角大小为 . 知识点三：直线的倾斜角与斜率的关系 1、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 【即时训练】 1．（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 【例2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 1．（24-25高二下·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 4．（24-25高二上·全国·课前预习）平面中的两条平行直线被轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    1．（24-25高二上·广西·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线l的斜率的绝对值为，求这条直线的倾斜角． 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围． 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·开学考试）已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）直线的倾斜角定义中含有哪几个关键条件？ （2）只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？ （3）当一条直线的倾斜角为时，这条直线一定与x轴平行吗？ （4）如果从运动变化的观点来看，直线的倾斜角还可以如何定义？ 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正弦曲线上取两点，，求直线AB的斜率．    1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）求经过两点，的直线的斜率． 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 1．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 1．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 2．（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 4．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【经典例题七 】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【例2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【拓展训练一 直线的斜率与倾斜角问题】 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二·全国·专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 12．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 13．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 14．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 16．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 17．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 18．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 20．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$