第四章 基本平面图形 2 角-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

2角 第1课时认识角 要点提示 1.角的有关新念： (1)静态：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共腾点是这个唐的项点，这两条射线是角的商边 (②)动态：角也可以看成是由一条射线绕著它的骗点旋特而成的。 2.角的表示方法：①用三个大写宇母或一个大写字母：②用希腊宇母：③用数字，角的符号是 “∠”，读作“角”，如右图所示的角可表示为∠BAC或∠A成∠a或∠I, (1) 3.角的分类： 角度范国 0<∠g<90 ∠a=90 90°<∠a<180 ∠a-180 ∠a-360° 角的名称 能角 直角 纯角 平角 周角 各种角之间的 锐角<直角<纯角<平角<网角：1周角=2平角=4直角=360°：1平角=2直角=180： 大小关系 1直角-90 4角的单位换算：1r=60,1=60,1r=3600,-(),1r-(,r=(360》 5.方向角：在实践中，常倍助角表示方向，通常以正北成正南为基准，配以偏西或偏东的角度来精速方向 O1固基础 0。。。。。4+。 知识点1角的定义及表示方法 (3)1530 1.给出下列关于角的说法：①角是由两条射线 (4)25.35°= 组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角 知识点3方向角 一边延长线上取一点D;④角可以看作由一 5.(教材变式)图中标明了A,B,C,D市与E 条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.其 市的大致方向，下列说法错误的是() 中正确的个数是 ( A.A市位于E市的北偏东70°方向 A.1 B.2 C.3 D.4 B.B市位于E市的北偏西25方向 2.如图，下列表示∠1的方法正确的是( C.C市位于E市的南偏西70°方向 A.∠A B.∠ABC D.D市位于E市的东南方向 C.∠BAD D.∠BAC B方 259 E市 70 45 第2题园 第3题图 709 知识点2角的度量及换算 3.图中用量角器测得∠ABC的度数是( 第5题图 第6题图 A.50° B.80 6.如图，PA,PB表示以点P为起点的两条公 C.130 D.150° 路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路 4.运算能力计算： PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹 (1)6300"= 角∠APB的度数为 上册第四事 念O2提能力 (3)3425'×3+3542'. 7.如图，下列说法错误的是 13.(2024一2025绵阳平武期中)如下图，小明 第7题剧 的地图上有A,B,C三地，地图被污染，C A.∠1与∠PON表示同一个角 地具体位置看不清楚了，但知道C地在A B.∠a表示的是∠MOP 地的北偏东30°方向，在B地的南偏东45 C.∠MON也可用∠O表示 方向.请你帮他确定C地的位置（保留作图 D.图中共有三个角：∠MON,∠MOP,∠PON 痕迹，不写作法) 8.若∠1=5.2°，∠2=312，∠3=18720，则下 列说法不正确的是 A.∠1-∠2 B.∠2-∠3 C.∠1=∠3 D.三个角互不相等 9,当钟面上显示的时刻为3时30分时，时针 与分针的较小夹角的度数是 10.(教材变式)如图，请你为游客介绍动物园 和迷宫所在的方位.动物园在大门的 方向上，迷官在大门的 O3拓思维心…… 方向上 14.如图，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可 动物國 得3个锐角（图①）：画2条不同的射线，可 得6个锐角（图②）；画3条不同的射线，可 25 这宫 得10个锐角（图③）；….照此规律，画n 东 大门 条不同的射线（为正整数），可得多少个 第10题围 第11题图 11.如图，点O在直线AB上，则图中小于平角 锐角？写出探究过程和结论 的角有 个 A 12.计算： (1)13128-5132'15" 围② 3 (2)583827+4742'40° 叔学七年级B$版 第2课时比较角的大小 要点提示 1.角的比较方法：角的比较方法常用的有度量滋、叠合滋两种，此外还可以用尺规作图法比较。 2.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，花这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平专残 O1因基础 B.∠BOC- ∠A0B 知识点1角的比较 C.∠AOC+∠BOC=∠AOB 1.比较∠1与∠2的大小，下列放置方法正确 D.∠AOC=∠BOC 的是 6.如图，∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB, OE平分∠AOC,则∠DOE与∠AOB的数 量关系为 7.如下图，O为直线AB上一点，OD平分 B ∠AOC,∠DOE=90. 2.(教材变式)如图所示的网格是正方形网格， (1)若∠AOC-50°，求∠BOD的度数， 则∠AOB与∠MPN的关系是 ( (2)试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量 A.∠AOB>∠MPN 关系，说说你的理由。 B.∠AOB<∠MPN C.∠AOB=∠MPN AO D.∠AOB=2∠MPN 第2题用 知识点2角的运算 3.下列各度数的角中，不能借助一副三角尺画 出的是 ( A.15 B.65° C.75 D.165 4.(2024北京)如图，直线AB和CD相交于点 O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的 知识点4尺规作角 大小为 ) 8.如下图，A是∠OBC的边BO上一点，以点 ( A.29 A为顶点，射线AO为一边用尺规作一个角 B.32° C.45° D.58 ∠OAD,使其等于∠ABC(保留作图痕迹， 不写作法) 4题图 第6题图 知识点3角的平分线 5.射线OC在∠AOB的内部，下列条件不能 ●易错点未考虑到两角的位置关系而出错 说明OC是∠AOB的平分线的是() 9.已知∠AOB=3∠BOC,∠BOC=30°，则 A.∠AOC=∠AOB ∠AOC的度数为 上册第四 ….念O2提能力 (2)若将条件中的“OE平分∠BOC,OF平 10.(2024一2025鹰潭余江区月考)如图，下列 分∠AOC”改为“∠EOB=3∠BOC, 各式中，不一定正确的是 A.∠BOD>∠COD ∠C0F-号∠A0c”,且∠A0B=:求 B.∠1+∠2=∠3 ∠EOF的度数 C.∠AOC-∠1+∠2 D.∠AOD-∠1>∠BOD-∠2 第10题周 第11题图 11.新定义题定义：若两个角度数差的绝对值 等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中 O3拓思维 一个角是另一个角的“优角”.如∠：一 13.几何直观(1)将一张长方形纸片按如图① 100°，∠3=40°，1∠a-∠3|=60°，则∠a 所示的方式折叠，BC,BD为折痕，则∠CBD 和∠B互为“优角”.如图，∠AOB=120°， 的度数为 射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB (2)将一张长方形纸片按如图②所示的方 的内部.若∠EOF=60°，则图中互为“优 式折叠，BC,BD为折痕.若∠A'BE= 角”的共有 ( 50°，求∠CBD的度数 A.6对B.7对 C.8对 D.9对 (3)将一张长方形纸片按如图③所示的方 12.如下图，已知∠AOB内部有三条射线，OE 式折叠，BC,BD为折痕.若∠A'BE=a, 平分∠BOC,OF平分∠AOC. (1)若∠AOB=90°，求∠EOF的度数. 则∠CBD的度数为 (用含 的式子表示) 图② 图3 叔学七年级BS版DE-AD=12-10=2(cm). AE B 品② 12.解：(1)①12 ②AP:PB=1+2. @Ap-号m 2角 第1课时认识角 1.A2.D3.C 4.(1)1051.75(2)452700(3)15.5(4)2521 5.C6.90°7.C8.D9.75 10.北偏东25北偏东70°11.5 12.解：(1)原式=13087'60”-5]3215 =79°55'45 (2)原式=1058067 =10621'77 (3)原式=10315+3542 =13857 13.解：C地的位置如图所示， 14.解：由题意，得面1条射线，可得1十2=3（个）锐角； 画2条不司的射线，可得1十2十3■6（个）锐角： 面3条不同的射线，可得1十+2十3十4=10（个）锐角： 则画n条不同的射线，可得1十2十3十·十(n十1) m十2n十)个角. 2 第2课时比较角的大小 1.D2.C3.B4.B5.C6.∠AOB=3∠DOE 7.解：(1)因为OD平分∠AOC 所以∠A0D=2∠A0C=号×50=25 因为∠AOD十∠BOD=180° 所以∠B0D=180°-∠A0D=180°-25=155. (2)∠BOE=∠COE.理由如下： 因为OD平分∠AOC, 所以∠AOD=∠COD 因为∠DOE=90°， 所以∠COD十∠COE=90°，∠AOD十∠BOE=90°， 所以∠BOE=∠COE 8.解：如图，∠OAD(或∠OAD')即为所求， 9.60或120°10.B11.B 12.解：(1)因为OE平分∠BOC,OF平分∠AOC, 所以，∠COF= ∠A0C,∠EOC=1 1 1 所以∠EOF=∠COF+∠EOC=2∠AOC+名∠BOC 176 数学七年级BS版 名∠A0B, 因为∠AOB=90',所以∠EOF=45. 2因为∠B0B-号∠B0C,所以∠B0C-号∠B0C,所U ∠B0F=∠E0c+∠0F=号（∠B0c+∠A0C)- 号∠A0B=子 13.解：(1)90 (2)因为∠A'BE=50°，所以∠ABA'十∠EBE'=180° ∠ABE=130 由折叠可知，∠CBA=号∠ABA,∠DBE'=号∠EBE, 所以∠CBA'+∠DBE'-∠ABA'+∠EBE')=65 所以∠CBD=∠CBA'+∠DBE'+∠A'BE'=65"+50 =115. 890-号 3多边形和圆的初步认识 1.A2C3D425(m-D6.C7.(-g) 8.解：设这两个扇形的圆心角的度数分别为3红和5x, 形3x十5x十72■360°， 解得x=36”, 所以3x=108°，5x=180 故这两个扇形的图心角的度数分别为108和180 9.C10.D11.13 12解：1路线①的长度=号AC·x=音×(8+160Xx 1 12,路线②的长度-号AB·+号BC·-号CAB十 1 BC)·x-2AC:x=12x 故走两条路一样近 (②)路线D的长度=之AC·=合6+6)·x=受a+6, 路线心的长度=号AB·x十C·=CAB+C): -登a+b. 故①②两条路线的长度相比，没有变化，仍然相等 结论：不论AB,BC的长度怎么变化，①②两条路线的长度 都相等. 1 13.解：1)m-37(m-3) (2)因为3×6=18（名）， 所以数学社图的同学们一共要打号×18×(18一3)=135 (个)电话. (3)设有名司学，每名同学相当于多边形的1个顶点，则 共有”个顶点。 每人要给不同组的同学打1个电话，则每人要打(n一3)个电 话，相当于过1个顶点可以作（一3）条对角线： 两人之间不需要重复打电话，故打电活的总数为名(m 3),相当于多边形对角线的总条数（言之有理即可）， 本章小结 1A2两点之间线段提短8号攻改号