专题03 分式方程的应用（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题03 分式方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 10 题型三、经济问题（常考点） 18 题型四、和差倍分问题 28 题型五、其他实际问题 36 B综合攻坚・能力跃升 题型一、行程问题 1．（2025·河南驻马店·三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距90千米，因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的，回来时比去时多用10分钟，假设去时的速度为千米/时，则求去时的速度可列方程为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了列分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，是解题的关键． 根据去时的速度为千米/时，返回的平均速度是去时平均速度的，90千米的路程回来时比去时多用10分钟，列出方程即可． 【详解】解：∵去时用时：小时， 回来时用时：小时， 10分钟小时， 回来时比去时多用10分钟， ∴． 故选：D． 2．某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果． 【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同， 甲从体验区前往出口的速度是米/分钟， 甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分， ， 乙先到达出口． 故答案为：乙先到达． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，行程问题，分式方程的实际应用； （1）根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离即可； （2）设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度即可； （3）利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离即可求出． 【详解】（1）解：， 答：停放点 A，B 之间的距离为540米． （2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合实际， ∵， ∴ 答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分． （3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟， 设米，分三种情况考虑： ① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 ∴米． ② 如图2，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，不符合题意，舍去． ③ 如图3，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）2025年2月20日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水平体育与健康考试工作方案》，《方案》就“体育与健康”的考试项目、计分方法等进行了规定，某校初三学生小明（男）和小红（女）近期参加完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”选择的是1000米，若跑进3分57秒，则项目分值为100分，小红在“耐力、心肺功能”选择的是800米，若跑进3分47秒，则此项目分值为100分．已知小明跑1000米的速度是小红跑800米速度的1.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒，请通过计算帮助小明判断这个项目他能否得100分． 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设小红跑800米的速度为x米/分钟，则小明跑1000米的速度是米/分钟，根据“小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒”列方程求解即可． 【详解】解：设小红跑800米的速度为x米/分钟，则小明跑1000米的速度是米/分钟． 根据题意，得， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 分钟， 即为3分20秒小于3分57秒， ∴小明该项目为100分． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）十四届全国人大三次会议于2025年3月5日上午正式开幕，徐老师和陈老师作为人大代表打算从淮安出发到北京参加会议，徐老师乘坐高铁比陈老师乘坐客车早到了7小时，已知从淮安到北京路程约为840千米．高铁的平均速度是客车平均速度的3倍．求客车的平均速度； 【分析】本题考查了分式方程的应用，设客车的平均速度为千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，依题意列出方程，求解即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设客车的平均速度为千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是， 答：客车的平均速度为千米/小时． 6．（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意是解本题的关键． （1）先提出问题：求“和谐号”的平均速度？设“和谐号”的平均速度，再利用时间关系建立分式方程求解即可； （2）方便计算两车到达的时间即可判断是否同时到达，设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：提出问题：求“和谐号”的平均速度？ 设“和谐号”的平均速度，则 解得． 经检验是分式方程的解． 故“和谐号”的平均速度． （2）解：“畅想号”到达终点的时间是，“和谐号”到达终点的时间是， 故两车不能同时到达终点，“畅想号”先到． 设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点， 则， 解得 经检验是分式方程的解． 故将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点． 7．今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多． (1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？ (2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值． 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为，由共用时建立分式方程求解； （2）先求出满电状态可跑的路程，再根据路程、速度、时间的关系建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 答：机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程； （2）解：， 由题意得：满电可跑， 则， 解得：， 答：a的值为9． 8．（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键． （1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解． 【详解】（1）解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时． 由题意可得， 解得， 经检验，为方程的解， ∴， 答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时； （2）解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h， ∴， 此时的时间为． 9．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程在行程问题中的应用；解题关键是根据路程、速度、时间关系，分别找出总时间和两段路程时间相等的等量关系，列出方程求解． （1）设小牧上山平均速度为千米/时，根据路程千米、下山速度是上山速度倍及总时间小时，利用“时间 = 路程÷速度”，列出上山时间与下山时间之和为小时的分式方程，求解并检验得到上山平均速度． （2）设C处离山顶A为a千米，依据第（1）问求出的速度，结合“小牧从处走到山顶所用时间等于从处走到山脚所用时间”这一条件，根据“时间 = 路程÷速度”列出方程，求解得出处离山顶的距离． 【详解】（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得 ． 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小牧上山的平均速度是4千米/时． （2）设C处离山顶A为a千米． 根据题意，得． 解得． 答：C处离山顶A 4.8千米． 题型二、工程问题 10．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 11．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙单独完成任务所需时间为小时，根据“乙3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等”列分式方程，得到甲、乙、丙三人的工作效率，即可求解． 【详解】解：设乙单独完成任务所需时间为小时，则甲单独完成任务所需时间为小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， 甲、乙、丙工作一轮的工作量为， 甲、乙、丙工作六轮的工作量为， 工作六轮后剩余工作量为， ，即甲工作1小时候剩余工作量为， 乙的工作时间为， 完成工作任务，共需小时， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键． 设规定时间为小时，则甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意建立方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设规定时间为小时，则甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意得， 方程化简为： 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：消毒工作的规定时间是 小时． 13．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 14．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量及乙部门的工作时间再根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天，可列出关于x的分式方程，即可得解； （2）利用甲部门完成的工作总量甲部门的工作效率甲部门的工作时间，可用含m的代数式表示出甲部门完成的工作总量，再利用乙部门的工作时间乙部门完成的工作总量乙部门的工作效率，即可用含m的代数式表示出乙部门的工作时间；根据甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设支付的总费用为w元，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产个传统艺术织品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （个）． 答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品； （2）根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品个， 乙部门工作时间可表示为（天）． 根据题意得： 解得：． 设支付的总费用为w元， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，最小值为， 此时（天）． 答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 15．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月，根据甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成建立方程求解即可； （2）设甲、乙两个工程队合作需要y个月，根据两人合作完成整个过程建立方程求出合作的时间，进而求出对应的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题背景：某河道清理工程，总淤泥量设为单位“1”，由于设备调度限制，工程队将清理任务划分为多个周期，规划如下：以4天为一个周期，第1周期完成全部任务的，第2周期完成余下任务的，第3周期再完成余下任务的……以此类推，当剩余量不超过时，则下一周期内完成所有剩余任务． 观察发现： 第1周期完成量，剩余量； 第2周期完成量，剩余量； 第3周期完成量，剩余量； ．．．．．． (1)第5周期完成量=___________，剩余量=___________； (2)求第（为正整数）周期后，累计完成的任务总量； (3)若第周期结束后剩余量为，则工程队最多需要多少天完成全部任务？ 【分析】本题主要考查了数字变化规律，分式方程的应用，分式的加减， 对于（1），根据规律解答； 对于（2），结合（1）可解； 对于（3）根据剩余量相等列出分式方程，求出解． 【详解】（1）解：第5周期完成量，剩余量； 故答案为：， ； （2）解：根据（1），得 第n周期后剩余任务量为， 所以第n周期后累计完成的任务总量； （3）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 所以工程队完成全部任务最多需要天数。 17．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． (1)甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ (2)为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据两个工程队的总任务量相同建立方程求解即可； （2）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据实际比原计划提前25天完成此项任务建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米； （2）解：原计划每天铺设的污水排放管道的长度是y米，则实际每天铺设的污水排放管道的长度是米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：实际每天铺设的污水排放管道的长度是48米． 题型三、经济问题（常考点） 18．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 【详解】解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 19．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了元，乙种商品共用了元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价为元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价． 设甲种商品的每件进价为元，乙种商品的每件进价为元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了元，乙种商品共用了元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程； （2）设甲种商品按原销售单价件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于元”列出不等式． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元． 根据题意可得：， 解得． 经检验，是原方程的解； 故甲、乙两种商品每件的进价分别为40元、48元； （2）解：设甲种商品按原销售单价销售件，由题意可得： ， 解不等式得． 答：至少销售件． 21．（2025·贵州铜仁·三模）为提升营业额，某超市2025年春节期间推出一款如图所示的挂件．该超市第一次购入这款挂件花费1200元，售完后，第二次又用2000元购入该款挂件．已知超市第二次购入的挂件数量是第一次的2倍且第二次每个挂件购入的单价比第一次便宜1元． (1)求该超市两次购买这款挂件各多少个； (2)已知该超市两次销售这款挂件的售价不变，若要使所有挂件售完后的总利润不低于4000元，则每个挂件的售价至少为多少元？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购买这款挂件的单价为元，则第二次购买这款挂件的单价为元，依题意得： 解得 经检验，是所列方程的解， ∴第一次购买挂件的数量为（个）， 第二次购买挂件的数量为（个） 答：该超市第一次购买这款挂件200个，第二次购买这款挂件400个． （2）由（1）得，超市第一次购买挂件的单价为6元，第二次购买挂件的单价为5元，设每个挂件的售价为元， ∵两次购买的挂件售完后的总利润不低于4000元， ∴ 解得 ∴的最小整数解为， 答：每个挂件的售价至少为12元． 22．（24-25八年级下·四川达州·期末）某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． (1)求每千克牛肉干的进货价． (2)牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 【分析】（1）设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，由题意列出方程求解即可，注意检验； （2）①设购进牛肉干，则干香菇，列出一元一次不等式求解即可； ②利润，由超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的得，则当时，利润最大． 【详解】（1）解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的解． 答：每千克牛肉干进货价为元． （2）解：①设购进牛肉干，则干香菇， 则， ， 解得， 答：最少购进牛肉干 ②利润， 由得， ， ∴, 则W随y的增大而增大， 当时，最大，即购进牛肉干，干香菇． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是正确理解题意． 23．（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 24．（24-25八年级下·四川成都·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价； (2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 【分析】本题考查方式方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握分式方程与一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到一元一次不等式，解不等得到的取值范围，再根据实际情况得到的最大值． 【详解】（1）解：设 “锦仔”的单价为元，，则“蜀宝”的单价为元， 由题可得： 整理得： 解得：， 经经验，是原方程的解， ∴， 答：“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元． （2）解：设购买“蜀宝”个，则购进“锦仔”个， 由题可得：， 整理得： 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可购进“蜀宝”个． 25．（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式组：(3)正确列式计算． (1)设“妃子笑”的进价为x元/箱，则“荔枝王”进价为元/箱，根据“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高，“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱，结合进货单中的总金额，列出分式方程，解分式方程即可； (2)设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱，根据费用不超过5060元.且“荔枝王”数量需大于50箱，结合(1)的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； (3)分别计算出各方案的利润，进行比较即可． 【详解】（1）解：设“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱； （2）解：设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱， 由题意得：’ 解得：， ∵y为正整数， ∴或或， ·本次进货方案有3种： ①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱； ②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱； ③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱； 答：本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． （3）解：①方案的利润为： (元)， ②方案的利润为：（元）， ③方案的利润为： (元)， ∵， ∴③方案利润最大，最大是1424元， 答：购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元． 26．（24-25八年级下·福建泉州·期末）请根据下列素材，完成相关任务． 背景 学校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买每个篮球的价格比每个排球的进价多20元． 素材二 用1200元购买篮球的数量与用960元购买排球的数量相同． 任务：探求单价 每个篮球，排球的价格分别是多少元？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每个排球x元，则每个篮球的价格为元，根据用1200元购买篮球的数量与用960元购买排球的数量相同列方程求解即可． 【详解】解：设每个排球x元，则每个篮球的价格为元，依题意，得 解得 经检验：是原方程的解 答：每个排球80元，每个篮球100元 27．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的，列出方程求出答案； （2）根据总花费元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 题型四、和差倍分问题 28．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 29．（2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 30．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【分析】本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式． （1）设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元，根据“购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的”列出方程，解方程即可； （2）设红花椒的售价为m元，获得利润为w元，根据总利润=出售红花椒每千克的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元； （2）解：设红花椒的售价为m元，获得利润为w元， 根据题意得： ， ， 当时，w有最大值，最大值为405， 答：当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元． 31．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用． （1）设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品，根据甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设需要甲种货车m辆，则需要乙种货车辆，根据甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，结合（1）的结果，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 32．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 33．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 34．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 题型五、其他实际问题 35．（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 【分析】本题考查了解分式方程，根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：一组调和数：、6、， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解． 故选：B． 36．（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式与分式互为相反数，则的值为 ． 【分析】本题考查了分式方程的应用，相反数的定义，根据相反数的性质列出分式方程求解即可，掌握分式方程的解法、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式与分式互为相反数， ∴ ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·浙江·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元，根据购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元建立方程组求解即可； （2）设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为，根据运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同建立方程求解即可； （3）设购买a只机器狗，购买b台无人机，根据总费用为160万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元； （2）解：设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为； （3）解：设购买a只机器狗，购买b台无人机， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机； 方案一的单次最高载货量为， 方案二的单次最高载货量为， ∵， ∴方案二的单次载货总量最高， 答：共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高． 38．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 39．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 40．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量； （2）选择一个方程进行求解即可． 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 41．（2025·云南·模拟预测）在阳光明媚的校园里，校园文化艺术节正如火如荼地筹备着．为了给艺术节增添绚丽的色彩，学校安排甲、乙两位心灵手巧的同学制作彩旗，制作现场两人热情满满、干劲十足．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，两人同时开始制作，甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗．问甲、乙两人每小时各制作多少面彩旗？ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时制作x面彩旗，则甲每小时制作面彩旗，根据甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗建立方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时制作x面彩旗，则甲每小时制作面彩旗， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：甲每小时制作30面彩旗，乙每小时制作25面彩旗． 42．低空经济是培育新质生产力的重要方向，深圳市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞—10分钟送达”的高时效服务，在南山科技园、福田中心公园等地开展无人机送餐服务． (1)经测，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省15分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ (2)某日午高峰3小时内订单总数为60单，根据实际情况无人机配送的单数不超过50单，但至少比人工配送多20单，若无人机实际成本为4元／单，但享受政府补贴元／单，人工配送成本为7元／单，如何安排配送服务使总成本最低？最低费用是多少？ 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设人工送单数为单，则无人机送单数是单，则可得，再解方程并检验即可； （2）设无人机配送单，人工配送单，则，可得，求解：，设总的成本为元，则，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设人工送单数为单，则无人机送单数是单，则 ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； ∴， ∴午高峰3小时内无人机送单数是单． （2）解：设无人机配送单，人工配送单，则， ∴即， 解得：， 设总的成本为元，则 ∴， 而， ∴当时，总成本最低为（元）； ∴安排无人机配送单，人工配送单，配送费用最低为元． 43．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； （2）解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 1．（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用． 找出等量关系，根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解， 答：规定时间为7天． 2．（2025·江苏扬州·二模）马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，根据骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟，即可列出分式方程，解方程并检验后可得答案； （2）求出马小虎步行回家和骑自行车到学校所用的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，则马小虎骑自行车的平均速度是每分钟米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：马小虎步行的平均速度是每分钟80米； （2）解：因为， 所以马小虎能在第一节课上课前赶到学校． 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采换的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 4．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 5．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 6．（2025·内蒙古包头·三模）今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是： （1）①设每张成人票x元，每张儿童票y元，根据“购买3张成人票和5张儿童票共需350元；购买6张成人票和3张儿童票共需420元”列方程组求解即可；②设购买成人票a张，购买儿童票b张，根据850元资金购买成人票与儿童票若干张列二元一次方程求解正整数解即可． （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，根据“正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张”，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：①设每张成人票x元，每张儿童票y元， 根据题意，得， 解得， 答：每张成人票50元，每张儿童票40元； ②设购买成人票a张，购买儿童票b张， 由题意得， 整理得， ∵a、b为非负整数， ∴，；，；，；，；，； ∴共有5种购买方案，能够刚好花完850元； （2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：正月初一该影院的电影票的单价是40元． 7．（2025·河南驻马店·三模）端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． (1)求A，B两种品牌每袋糯米的价格； (2)小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A品牌每袋糯米的价格为a元，则B品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于a的分式方程并求解即可； （2）设购买A品牌糯米x袋，则购买B品牌糯米袋，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设花费W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值及此时的值即可； （3）根据A品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格-两种糯米总的整箱数×每箱的优惠列式计算其费用并与（2）中的方案比较大小即可． 【详解】（1）解：设A品牌糯米每袋为a元，则B品牌糯米每袋为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， 此时， 答：A、B两种品牌每米的价格分别为80元，70元； （2）解：设购买A品牌糯米x袋、则购买B品牌糯米袋， 根据题意，得 解得 设总花费为W元， 则， ， W随x的增大而增大， x取正整数， 当，时，总花费最少， （元）， 答：当购买A品牌糯米14袋，B品牌糯米6袋时，总花费最少，最少花费为1540元； （3）解：小红的猜想正确．理由如下： 购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱， 总费用（元）， ． 小红的猜想正确 8．（2025·广东东莞·二模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据“用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等”列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据“该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元； （2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多可购进甲种图书200本． 9．（2025·河南平顶山·一模）某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． (1)求这种新鲜酸奶的进价． (2)因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． (3)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，列函数关系式以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键． （1）设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元，根据“用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶”列出分式方程求解即可； （2）①根据此“酸奶”以每瓶4元购进，6元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式， ②根据得出x的取值范围即可解决问题； （3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案 【详解】（1）解：设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元， 由题意可得， 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：这种新鲜“酸奶”的进价为每瓶4元． （2）解：①每瓶酸奶的售价为元， 所以，这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为： （的整数） 故答案为：； ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售量为： ， 解得，， 所以，当天至少销售量为14瓶， （3）解：小明的说法有道理． 由（1）可知，每瓶酸奶的进价为4元，售价为6元， 若每天购进19瓶酸奶，进价为（元）．则每天售出17瓶可获利：（元）， 每天售出18瓶可获利：（元）， 每天售出19瓶可获利：（元）， 所以，这10天每天购进19瓶酸奶所获总利润为：． 即小明的说法有道理 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 4 题型三、经济问题（常考点） 7 题型四、和差倍分问题 11 题型五、其他实际问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、行程问题 1．（2025·河南驻马店·三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距90千米，因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的，回来时比去时多用10分钟，假设去时的速度为千米/时，则求去时的速度可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）2025年2月20日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水平体育与健康考试工作方案》，《方案》就“体育与健康”的考试项目、计分方法等进行了规定，某校初三学生小明（男）和小红（女）近期参加完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”选择的是1000米，若跑进3分57秒，则项目分值为100分，小红在“耐力、心肺功能”选择的是800米，若跑进3分47秒，则此项目分值为100分．已知小明跑1000米的速度是小红跑800米速度的1.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒，请通过计算帮助小明判断这个项目他能否得100分． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）十四届全国人大三次会议于2025年3月5日上午正式开幕，徐老师和陈老师作为人大代表打算从淮安出发到北京参加会议，徐老师乘坐高铁比陈老师乘坐客车早到了7小时，已知从淮安到北京路程约为840千米．高铁的平均速度是客车平均速度的3倍．求客车的平均速度； 6．（2025·山东滨州·二模）为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 7．今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多． (1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？ (2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值． 8．（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ (2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 9．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 题型二、工程问题 10．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 11．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 12．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 13．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 14．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天， 素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． (1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？ (2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？ 15．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题背景：某河道清理工程，总淤泥量设为单位“1”，由于设备调度限制，工程队将清理任务划分为多个周期，规划如下：以4天为一个周期，第1周期完成全部任务的，第2周期完成余下任务的，第3周期再完成余下任务的……以此类推，当剩余量不超过时，则下一周期内完成所有剩余任务． 观察发现： 第1周期完成量，剩余量； 第2周期完成量，剩余量； 第3周期完成量，剩余量； ．．．．．． (1)第5周期完成量=___________，剩余量=___________； (2)求第（为正整数）周期后，累计完成的任务总量； (3)若第周期结束后剩余量为，则工程队最多需要多少天完成全部任务？ 17．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． (1)甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ (2)为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 题型三、经济问题（常考点） 18．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 19．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 20．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了元，乙种商品共用了元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价为元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 21．（2025·贵州铜仁·三模）为提升营业额，某超市2025年春节期间推出一款如图所示的挂件．该超市第一次购入这款挂件花费1200元，售完后，第二次又用2000元购入该款挂件．已知超市第二次购入的挂件数量是第一次的2倍且第二次每个挂件购入的单价比第一次便宜1元． (1)求该超市两次购买这款挂件各多少个； (2)已知该超市两次销售这款挂件的售价不变，若要使所有挂件售完后的总利润不低于4000元，则每个挂件的售价至少为多少元？ 22．（24-25八年级下·四川达州·期末）某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． (1)求每千克牛肉干的进货价． (2)牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 23．（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 24．（24-25八年级下·四川成都·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价； (2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 25．（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 26．（24-25八年级下·福建泉州·期末）请根据下列素材，完成相关任务． 背景 学校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买每个篮球的价格比每个排球的进价多20元． 素材二 用1200元购买篮球的数量与用960元购买排球的数量相同． 任务：探求单价 每个篮球，排球的价格分别是多少元？ 27．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 题型四、和差倍分问题 28．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 30．（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 31．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 32．（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 33．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 34．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 题型五、其他实际问题 35．（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 36．（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式与分式互为相反数，则的值为 ． 37．（24-25七年级下·浙江·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 38．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 39．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 40．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 41．（2025·云南·模拟预测）在阳光明媚的校园里，校园文化艺术节正如火如荼地筹备着．为了给艺术节增添绚丽的色彩，学校安排甲、乙两位心灵手巧的同学制作彩旗，制作现场两人热情满满、干劲十足．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，两人同时开始制作，甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗．问甲、乙两人每小时各制作多少面彩旗？ 42．低空经济是培育新质生产力的重要方向，深圳市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞—10分钟送达”的高时效服务，在南山科技园、福田中心公园等地开展无人机送餐服务． (1)经测，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省15分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ (2)某日午高峰3小时内订单总数为60单，根据实际情况无人机配送的单数不超过50单，但至少比人工配送多20单，若无人机实际成本为4元／单，但享受政府补贴元／单，人工配送成本为7元／单，如何安排配送服务使总成本最低？最低费用是多少？ 43．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 1．（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 2．（2025·江苏扬州·二模）马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 4．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 5．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 6．（2025·内蒙古包头·三模）今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 7．（2025·河南驻马店·三模）端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． (1)求A，B两种品牌每袋糯米的价格； (2)小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 8．（2025·广东东莞·二模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等． (1)甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 9．（2025·河南平顶山·一模）某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． (1)求这种新鲜酸奶的进价． (2)因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． (3)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$