精品解析： 江西省新余市分宜县第三中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题

2024-2025学年江西省新余市分宜三中九年级上学期12月月考数学检测卷 说明：1．考试范围：上册全部． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某日天气预报信息显示：明天最高气温，最低气温，降水概率为．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天不可能下雨 C. 明天下雨的可能性较小 D. 明天下雨的可能性较大 2. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 4. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下面四个试验中，试验结果概率最小的是（ ） A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B. 如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C. 小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 8. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是__________． 10. 已知点，在抛物线上，则，，3的大小关系是________． 11. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是___________m． 12. 在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 14. 已知抛物线．的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． （1）请在图1中作出的边上的高； （2）请在图2中作出的切线． 16. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 17. 如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为 ； （2）将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积． 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 （1）下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1和图2，为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为，，，，，，，．已知两个圆的半径分别为，． （1）如图1，若大圆中的弦与小圆相切于点，求的长； （2）通过计算比较弧的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接，，通过说理判断和的位置关系，并求点到的距离． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′． （1）△P′PB是 三角形，△PP′A是 三角形，∠BPC＝ °； （2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为 ． 如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1； （3）求∠BPC度数的大小； （4）求正方形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省新余市分宜三中九年级上学期12月月考数学检测卷 说明：1．考试范围：上册全部． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某日天气预报信息显示：明天最高气温，最低气温，降水概率为．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天不可能下雨 C. 明天下雨的可能性较小 D. 明天下雨的可能性较大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义，根据降水的概率所提供的数字进行判断是解答本题关键． 根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为进行分析，明天下雨的可能性较大． 【详解】解：降水概率为，那么明天下雨的可能性较大． 故选：D． 2. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形的性质．根据D是的中点，得到，得到，进而得到，推出，再根据圆内接四边形的对角互补，求解即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 4. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及旋转的性质得出，，再根据平角的定义即可推出结果． 【详解】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， 即旋转角的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 6. 下面四个试验中，试验结果概率最小的是（ ） A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B. 如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C. 小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率的求解方法分别求出各概率的大小，即可判断． 【详解】A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4； B. 如图2，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为； C. 记小明、小红、小刚3位同学分别为A，B，C，3人随机站成一排，所有等可能的结果有，，，，，，共6种，其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有，，，，共4种，∴小明、小刚两人恰好相邻的概率为； D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 8. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得和的值，并将其代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ∴ ． 故答案为：． 9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，一共有7种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有7种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 10. 已知点，在抛物线上，则，，3的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题． 【详解】解：由题意知，抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 11. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是___________m． 【答案】 【解析】 【分析】连接相交于O，由题意可得：，由勾股定理可得，进而得到，同理可得：，易证是等边三角形，则的半径为2、，进而得到改建后门洞的圆弧所对的圆心角为，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：连接相交于O， 由题意可得：, ∴， ∴，同理：， ∴， ∴是等边三角形，的半径为， ∴， ∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为， ∴改建后门洞的圆弧长是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了弧长公式、矩形的性质、勾股定理等知识点，求得弧所对的圆心角和圆的半径是解答本题的关键． 12. 在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为________． 【答案】3或4或8 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：如图： ①如图1，当点落在点时，此时； ②如图2，当点落在边上时，此时； ③如图3，当点落在边上时，此时． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、圆锥的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据圆锥的性质进行计算． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解：设这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为， 解得：， ∴这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为． 14. 已知抛物线．的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的平移和二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标，可得，即，将点的坐标代入，求出的值，即可求解； （2）先根据抛物线的平移规律求出平移后的解析式，根据平移后的顶点坐标式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 故， ∵抛物线经过点， 故将代入，得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 得到的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． （1）请在图1中作出的边上的高； （2）请在图2中作出的切线． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）延长，交半圆于点，连接即可； （2）根据网格特点找格点，作射线即可； 【小问1详解】 解：如图，延长，交半圆于点，连接，即为的边上的高， 理由：是的直径， ， ∴即为的边上的高； 【小问2详解】 解：如图，取格点，作直线，即为的切线， 理由：取格点和， ， ∴， ∴， ， ， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是根据网格特点找出符合条件的格点． 16. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）列表如下： （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），共9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 17. 如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为 ； （2）将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形； （1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心； （2）确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可． 【小问1详解】 解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵∠ACD=60°， ∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°． ∴∠DOP=180°﹣120°=60°． ∵∠APD=30°， ∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD⊥DP． ∵OD为半径， ∴DP是⊙O切线． （2）. 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可． （2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm， ∴OP=6cm， 由勾股定理得：DP=3cm． ∴图中阴影部分的面积 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 （1）下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【答案】（1）①③ （2）估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 （3）将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【小问1详解】 解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：， 故． 【小问3详解】 解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 由题意得：， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率是 【小问2详解】 设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克， 根据题意，得 整理，得， 解得(舍去)， 答：每千克售价应降低6元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1和图2，为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为，，，，，，，．已知两个圆的半径分别为，． （1）如图1，若大圆中的弦与小圆相切于点，求的长； （2）通过计算比较弧的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接，，通过说理判断和的位置关系，并求点到的距离． 【答案】（1） （2）弧的长大于小圆的周长 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧长公式，解直角三角形； （1）连接，，则，得出，在中，，，勾股定理即可求解； （2）连接，由题意得，分别求得弧的长和小圆的周长，比较大小，即可求解； （3）连接，，得出，，过点作于点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接，，则， ， 在中，，， ， ； 【小问2详解】 如图1，连接，由题意得， 弧的长为小圆的周长为 ， 弧的长大于小圆的周长； 【小问3详解】 如图2，连接， 由题意得，，， ， ， 过点作于点，则. ， 点到的距离为 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′． （1）△P′PB是 三角形，△PP′A是 三角形，∠BPC＝ °； （2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为 ． 如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1； （3）求∠BPC度数的大小； （4）求正方形ABCD的边长． 【答案】（1）等边 直角 150°；（2）；（3）135°；（4） . 【解析】 【分析】（1）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°， （2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，进而求出等边△ABC的边长为 ，问题得到解决． （3）求出，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°； （4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，关键勾股定理即可求出AB． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′， ∴ ∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴△BPP′是等边三角形， ∴ ∵AP′＝1，AP＝2， ∴AP′2+PP′2＝AP2， ∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形； ∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°； （2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M， ∴ 由勾股定理得： ∴ 由勾股定理得： 故答案为（1）等边；直角；150；； （3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB， 与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC， ∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°， ∴， 由勾股定理得：EP＝2， ∵ ∴AE2+PE2＝AP2， ∴∠AEP＝90°， ∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°； （4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F； ∴∠FEB＝45°， ∴FE＝BF＝1， ∴AF＝2； ∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝； ∴∠BPC＝135°，正方形边长为． 答：（3）∠BPC的度数是135°； （4）正方形ABCD的边长是． 【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 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