16-卷8 期中综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷8 期中综合检测卷 考查内容：第1章至第3章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025湖南长沙期末］若函数为反比例函数，则 的值不可能为( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 形如为常数，且的函数称为反比例函数， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6 2.［2025浙江义乌校级期中］下列长度的各组线段中，是成比例线段的是( ) B A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】A选项，， 四条线段不成比例；B选项， ， 四条线段成比例；C选项，， 四条线段不成 比例；D选项，， 四条线段不成比例.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 3.［2025湖南长沙期中］如表是代数式 的值的情况，根据表格中的数据， 可知方程 的根是( ) … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … C A.， B.， C.， D.， 【解析】由题表得，当时，；当时，， 方程的根是， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 8 4.［2025福建南安校级月考］为了倡导全民健身，某小区 在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎.如 图，点为跷跷板的中点，支柱 垂直于地面，垂足为 B A. B. C. D. ，，当跷跷板的一端着地时，另一端 离地面的高度为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 9 【解析】如图，过点作垂直地面于点，， ， 易得，. 点为跷跷板的中点， ， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 5.［2025湖南长沙月考］下列说法正确的是( ) A ①反比例函数中自变量的取值范围是 ； ②点在反比例函数 的图象上； ③反比例函数的图象在每一个象限内，随 的增大而增大. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】①反比例函数中自变量的取值范围是 ，故说法正确；②因为 ，所以点在反比例函数 的图象上，故说法正确；③反 比例函数的图象在每一个象限内，随 的增大而减小，故说法错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11 6.［2024山西吕梁中阳月考］如图，为矩形对角线 上的 一点，，，则方程 的正数解 是( ) C A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段 的长 【解析】，，或 ，解 得或 四边形是矩形，，, ， ，，, 方程 的正数解是线段 的长.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 12 7.［2024浙江杭州模拟，中］一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三 分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是( ) A A.27 B.72 C.27或16 D.或 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为 .依题意，得 ，整理，得，解得， （不合题意，舍去），， 这个两位数是27.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 13 （第8题图） 8.［2025湖南长沙质检，中］如图，在中， ，点 在边上（不与点、点重合），点在线段 的延长线上， 且.若， ，则( ) A A. B. C. D. 【解析】过点作交于，， ， ， ， ，， ， ，.，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 14 （第9题图） 9.［2024北京朝阳区校级二模，中］如图，在平面直角坐标系中， 点在函数的图象上，点 的坐标为 ，连接.将线段平移得到线段，点 落在函数 的图象上，点落在轴的正半轴上， ， 则 的值为( ) C A.2 B. C.4 D. 【解析】， 点 向下平移2个单位，再向右平移1个单位 得到点， 点 向下平移2个单位，再向右平移1个单位得到点 点落在函数的图象上， ，解 得，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 15 10.［2025湖南岳阳君山区期末，偏难］如图，在平行四边形 中，点在上，连接并延长与 的延长线相交于点 .若 ，则下列结论错误的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16 【解析】 选项 分析 判断 A 四边形为平行四边形，,即， 易得 ，., 正确 B 四边形是平行四边形，,, . ，， ， 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 17 选项 分析 判断 C ，.， 易得 ， ， 错误 D ，， 正确 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025福建漳州期末］如图，已知，若， ， 则 的值是____. 28 【解析】，，.， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 19 12.［2025浙江绍兴期中］如图是鹦鹉螺曲线，是的黄金分割点 ， 若线段的长为，则 的长为_____________. 【解析】是的黄金分割点，线段的长为， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 20 13.［2025天津南开区月考］已知反比例函数，当且时， 的取 值范围是_______________. 或 【解析】， 该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限 内,随的增大而增大.当时，， 当且时，自变量 的取值 范围是或.故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 21 14.［2025安徽淮南月考］已知，是一元二次方程 的两个根，则 的值为_______. 2 018 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 22 15.［2025河南实验中学月考］小丽在解一个三次方程 时，发现有 如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为 .根据这个提示，请你写出这个方程的所有的根： _ ______________. 1，, 【解析】由题意得 ， ，， ， ，，，, 或，或或.故答案为1，, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 23 16.［2025湖南娄底新化期末，中］如图为反比例函数 ，的图象.点在 轴的正半 轴上，过点作直线 轴，分别与两反比例函数的图象 交于点和点，连接，.若 的面积为9， ，则 _____. 【解析】轴，的面积为9，， ， ，,，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24 17.［2025陕西西安高新区月考，中］如图，小明在草稿纸 上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放 在上面，点,在反比例函数图象上，请根据图中信息，点 的坐标为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25 【解析】由题图可知点的坐标为.设反比例函数表达式为. 反比例函 数图象过点，， 反比例函数表达式为.易得直线 的表达式为.由图象可知，直线向上平移三个单位得到直线, 直线 的表达式为，联立得解得或， 点的坐标为，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18.［2025河南南阳月考，难］如图，在中， ， ， ，点，分别为，上的动点，将沿折叠，使点 的对应点 恰好落在边上，当与相似时， 的长为_______. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 【解析】 在中， ，， ， .根据折叠可得.设 ，则 .当与相似时， 点始终在边上， 分两种情 况：，此时 ，，即 ，解 得，；，此时 ， ，即，解得，.综上，的长为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025江苏宿迁月考］（6分）解方程： （1） ； 【解】 ， ，…………（1分） 或 ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 29 （2） . 【解】， ， ，…………（4分） 或 ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 30 20.［2025湖南益阳沅江期末］（6分）如图，已知点在 的边上，点在外， . （1）求证： . 【证明】 ， ， 即 .…………（1分） ， ， .…………（2分） ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 31 （2）若，，，求 的长. 【解】由（1）得 ， .…………（4分） ，， ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 32 21.［2025江苏宿迁月考］（8分）方程是关于 的一元二次方 程，该方程的两个不相等的实数根分别为， . （1）求 的取值范围； 【解】根据题意得，解得 .…………（4分） （2）若，求 的值. 【解】根据题意得， .…………（6分） ，， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 33 22.［2025湖南邵阳邵东期中］（8分）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕 “老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2022年起连续投入资金用 于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”.已知每年投入资金的增 长率相同，其中2022年投入资金600万元，2024年比2022年投入资金多264万元. （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； 【解】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 .依题意得 ，即，解得， （舍去）. 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 34 （2）2024年老旧小区改造的平均费用为每个小区50万元，2025年为提高小区品质， 计划每个小区改造费用增加 .如果投入资金的年平均增长率保持不变，求该市 在2025年最多可以改造多少个小区. 【解】设该市在2025年可以改造 个小区.依题意得 ，解得 . 又为整数， 的最大值为17. 答：该市在2025年最多可以改造17个小 区.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 35 23.［2025安徽六安裕安区月考］（9分）如图，反比例函数 的 图象经过，两点，连接，,，过点作轴，垂足为点， 交 于点，若为的中点，且点坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 36 （1）求 的值； 【解】如图，过点作轴，垂足为点 轴， 轴，，是的中位线. 点坐标为,3，，， 点 坐标为 （4，6）.…………（2分） 点在反比例函数 的图象上， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 37 （2）求直线 的函数表达式； 【解】由（1）知反比例函数表达式为.设点坐标为 点 在反 比例函数的图象上，.设直线的函数表达式为 点 在直线 上，，， 直线的函数表达式为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 38 （3）求 的面积. 【解】如图，过点作于点，则四边形 是矩 形， . ， ， .…………（7分） ， ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 39 24.项目式学习［2024浙江杭州二模，中］（9分） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材 1 如图（1）是一张直角三角形纸板 ，两直角边 长， ，小华、小明、小富 分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形 的四个顶点都在三角形的边上 _________________________________________________ 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 40 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材2 小华按如图（2）的方式裁 剪出一个正方形 ；小 明按如图（3）的方式裁剪 出一个矩形 ，且 _______________________________________________________________________________________________ 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 41 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材3 小富对纸板 的裁剪步骤如下（如图（4））： 步骤1：在三角形纸板上裁剪一个矩形 ， 矩形的四个顶点都在 的边上； 步骤2：在剩下的三角形纸板 上裁剪一个正方形 ，正方形的四个顶点都在 边上，且满足 矩形的边的长比正方形 边长的二倍小 ______________________________________ 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 42 问题解决 任务1 请通过计算比较小华、小明裁剪的两种矩形的面积大小 【解】小华：设正方形的边长为，则 .由题意易得 ，, ， 解得， .…………（2分） 小明：由题意得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 43 易得，,，解得,. 易得，,，解得 ， ， .…………（4分） ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 44 任务2 请求出小富裁剪的矩形 各边的长 【解】由题意易得 ， ， 设，， . 易得，, ， ， .…………（7分） 易得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 45 ,，解得， ，………… （8分） ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25.［2025湖南岳阳岳阳楼区月考］（10分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象分别交于点 和点，与坐标轴分别交于点和点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 47 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； 【解】 点在反比例函数的图象上，，解得， 反比例函数的表达式是 . 把点代入反比例函数的表达式，可得，解得 ， 点的坐标是 .…………（2分） 把，代入一次函数中，得解得 一次函数的表达式是 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 （2）［偏难］已知在轴上存在一点，使得以点，， 为顶点的三角形与 相似，请求出所有满足条件的点 的坐标. 图（1） 【解】当时，可得， 点 的坐标是 ；当时，可得-，解得， 点 的坐 标是，.如图（1）所示，过点 作轴，此时，点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 49 图（2） 如图（2）所示，过点作交轴于点 ，此时 . 点的坐标是，点的坐标是 ，…………（8分） .设点的坐标是 ,则 ，则有，，解得 ，即 ，， 点的坐标为 . 综上所述,点的坐标为或 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 50 26.探究性问题［2024湖北武汉硚口区模拟］（10分） 【问题背景】 （1）如图（1），在中，点，分别在， 上， ， ，求证： . 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 51 【证明】 ， ， ，即， . ， . 在和中， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 52 【变式迁移】 （2）［中］如图（2），在四边形中， ， ，，分别交，于点，，求证： . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 53 图（1） 【证明】如图（1），延长，交于点 ，则由问题背景易知 . ，，， ， ， ， ， ，， . ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 54 【拓展应用】 图（3） （3）［难］如图（3），在四边形中， ， ，，且，直接写出 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 55 图（2） 【解】 .…………（10分） 如图（2），在的延长线上截取，连接 .由问题背景可知 . 在和中， ， ， ， ， .，.设，则， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 56 $$