10-卷5 第一次月考综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷5 第一次月考综合检测卷 考查内容：第1章至第2章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025广西柳州期中］下列方程中，是一元二次方程的是( ) A A. B. C. D. 【解析】A选项，是一元二次方程，故此选项符合题意；B选项，未知数的次数是 1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C选项，含有两个未知数，不是一 元二次方程，故此选项不符合题意；D选项，未知数的次数是3，不是一元二次方 程，故此选项不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6 2.［2025江苏常州金坛区期末］已知，是方程 的两个实数 根，则 的值是( ) B A.2 022 B. C. D.2 024 【解析】，是方程的两个实数根， ， , 原式 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 （第3题图） 3.［2025四川成都期末］如图，一次函数 与反比例 函数的图象交于点，，则关于 的不等式 的解集是( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】由题意结合图象可知，一次函数 的图象在反比例函数 的图象上方时，或, 故不等式 的解集是 或 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 8 4.［2025湖南期末］春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两 轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染 人，则可列方程( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得，即 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 9 （第5题图） 5.［2025湖南常德月考］如图，过原点的直线 与双曲线交 于，两点，将直线绕点顺时针旋转 ，与 双曲线交于，两点，则四边形 是( ) A A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【解析】由反比例函数图象的对称性，得 ， ， 四边形 是平行四边形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 10 6.［2025山东济宁期末］已知关于的一元二次方程 ，若 ，且方程有一个根大于2，则另一个根( ) B A.是正数 B.是负数 C.是0 D.无法确定 【解析】，，即两根之和为 该方程有一个根大于2， 另一个根是负数.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11 （第7题图） 7.［2024河北石家庄期中］如图，已知点，，点 是 线段上的整点（横、纵坐标都是整数），双曲线 经过点，则 的值不可能是( ) D A.4 B.7 C.10 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 12 【解析】设直线的表达式为.把， 代入，得 解得 直线的表达式为. 点是线段 上 的整点， 点的坐标为或或或 双曲线过点 , 当点的坐标为时，；当点的坐标为时， ； 当点的坐标为时，；当点的坐标为时， ， 故 的值不可能是12，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 （第8题图） 8.［2024湖南长沙二模］如图，点是反比例函数 在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作 轴、 轴，点为线段的三等分点，作 轴， 交反比例函数的图象于点，连接.若 ， 则 的值为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 14 【解析】由题可得点坐标为，则，，，，， . ，，解得.由题意得 , .故选B. 上分技巧 反比例函数与几何图形结合 当反比例函数与几何图形结合时，可根据函数图象上点的坐标，表示出线段长度， 通过几何图形的性质建立方程解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 15 9.［2025天津河东区期中，中］如图，要围一个矩形菜园，其中一边 是墙， 且的长不能超过，其余的三边，， 用篱笆围成，且这三边的和为 ，有下列结论：的长可以为； 的长有两个不同的值满足矩形菜 园的面积为；③矩形菜园的面积不能为 .其中正确的有 ( ) C （第9题图） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16 【解析】设的长为，则的长为.当时， ，解得 的长不能超过，，的长可以为，故①正确. 矩 形菜园的面积为，，整理得 ，解 得或，的长有一个值满足矩形菜园 的面积为 ，故②错误.根据题意得 ，整理得 ， 矩形菜园 的面 积不能为，故③正确， 正确的结论有2个，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 17 10.［2025湖南长沙质检］如图，点，分别在 轴正半 轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点， 恰好都落在反比例函数 在第一象限的图象上， 点在延长线上，，，交轴于点 ， B A. B. C. D. 线段交反比例函数的图象于点，记的面积为 ，若 ，则 的面积是 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18 【解析】如图，作轴于，轴于.设， . 四边形是正方形，， ， 易证 ，， ， ， 点，恰好都落在反比例函数 在第一 象限的图象上，，， ， , ，， 是等腰直角三角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 19 形. ， 易得，， ， ，点在反比例函数的图象上， ， ，,,，，, 易得直线 的表 达式为.联立得解得或 结 合图象可知点坐标为， ， , ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南长沙校级期中］如表，如果与 成反比例关系，那么表格中“？”处 应填___. 10 ？ 3 5 6 【解析】由题意可得 ，即表格中“？”处应填6，故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 21 12.［2025甘肃天水麦积区月考］若关于的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是______________. 且 【解析】 关于的一元二次方程 有两个实数根， 且，解得且 .故 答案为且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 22 13.［2025湖南湘潭期末］已知函数是反比例函数，则 ____. 【解析】依题意得且，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 23 14.［2025湖南益阳期中］将方程 化成一元二次方程的一般形式是 __________________. 【解析】方程化成一元二次方程的一般形式是 .故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24 15.［2025湖南岳阳校级月考］若反比例函数，，当 时， 函数的最大值是，函数的最大值是，则 __. 【解析】 反比例函数，, 当时，随增大而增大， 当时，函数的最大值 反比例函数，, 当 时，随增大而减小， 当时，函数的最大值， .故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25 16.新定义［2025湖南长沙雨花区校级期中］定义：如果一元二次方程 满足 ，那么称这个方程为“奇妙方程”.已知 是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则 的值为___. 2 【解析】是“奇妙方程”， 方程有两个相 等的实数根，，，解得 ， .故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 17.［2025湖南常德期中］为预防流感，某学校对教室进行“药 熏消毒”.消毒期间，室内每立方米空气中的含药量 与时 间之间的函数关系如图所示.已知在药物燃烧阶段， 与 成正比例关系，燃烧完后与 成反比例关系.现测得药物 燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为 .当每 40 立方米空气中含药量低于 时，对人体无毒害作用.那么从消毒开始，经过____ 后教室内的空气才能达到安全要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 【解析】根据题意可设当时，与之间的函数关系式为 .将 代入得，解得， 当时，与 之间的函数关系式 为.当时，，解得， 从消毒开始，经过 后教室内 的空气才能达到安全要求.故答案为40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 18.［2025黑龙江大庆校级月考，难］如图，在平面直角坐标系中， 的斜 边在轴上， ， ，点的坐标为.将 绕着点 顺时针旋转 得到，若反比例函数的图象经过点和点 ， 则 的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 29 【解析】如图，过点作轴于点，过点作 轴于点 .设 点的坐标为 ， ， ， , 绕着点顺时针旋转 得到， ， ,三点共线， ，， , ， ， , ， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 30 , ， ， , ，. 反比例函数 的图象经过点和点 ， ,解得或 （不合题意， 舍去），.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025甘肃天水月考］（6分）解方程： （1） ； 【解】原方程变形为 ， ，即， 或 ， 解得， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 32 （2） . 【解】原方程变形为，，即 ， ， 解得， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 33 20.［2025湖南湘潭期中］（6分）平面直角坐标系中，， ， 是反比例函数图象上的三点，且.若 ，求证： . 【证明】 点，，在反比例函数 图象上， ，.又， .将 代入，得， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 34 21.［2025湖南长沙期末］（8分）已知平行四边形的两边， 的长是关 于的一元二次方程 的两个实数根. （1）若的长为6，求 的值. 【解】,的长是关于的一元二次方程的两个实数根， 的长为6， 把代入，得 ，解得 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 35 （2）当为何值时，四边形是菱形？并求出此时菱形 的边长. 【解】当时，四边形为菱形，此时方程 有两个相 等的实数根，， ，…………（5分） ，解得，，即菱形 的边长为 4.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 36 22.［2025湖南岳阳期中］（8分）如图，在平面直角坐标系中， 已知点，等边三角形的顶点 在反比例函数 的图象上. （1）求反比例函数的表达式； 【解】，为等边三角形， 易得 等边三角形 的顶 点在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的表达式是 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 37 （2）把沿轴向右平移个单位长度，得到 .当反比例函数的图象经 过一边的中点时，求 的值. 【解】由题意得，,, .当反比例函数的图象经过边 的中点时，,即 ，解得 ； …………（6分） 当反比例函数的图象经过边的中点时， ，即 ，解得 . 综上， 的值是2或6.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 38 23.新情境［2025湖南娄底校级期末］（9分）2024年4月25日，搭载神舟十八号载 人飞船的长征二号 遥十八运载火箭发射成功.某网店为满足航空航天爱好者的需 求，特推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元. 为了扩大销售，该网店准备适当降价，经调查发现，每个模型每降低1元，平均每 天可以多售出2个. （1）若每个模型降价5元，则平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ 【解】（个）， （元）. 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1 050元.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 39 （2）在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使每天获利1 200元，每个模型应 降价多少元？ 【解】设每个模型降价元，则，解得 （不合题意，舍去）， . 答：每个模型应降价20元.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 40 24.跨学科问题［2025湖南湘潭月考］（9分）如图（1），将一长方体A放置于一 水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积 的关系如表所示（与长方体A相同质量的长方体均满足此关系）. 桌面所受压强 100 200 400 500 800 受力面积 2 1 0.5 0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 41 图（1） （1）根据表中数据，求桌面所受压强 与受力面积 之间的函数关系式及 的值. 【解】由题表可知，压强与受力面积 的乘积为定值， 故压强是受力面积的反比例函数.设 ，将 代入，得，解得 ， .…………（2分） 当时， ， ，即 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 42 图（2） （2）现想将另一长、宽、高分别为， ， ，且与长方体A相同质量的长方体按如图（2）所示 的方式放置于该水平玻璃桌面上.若该水平玻璃桌面能承 受的最大压强为 ，请你判断这种摆放方式是否 安全，并说明理由. 【解】这种摆放方式不安全.理由如下： 将长方体按如题图（2）所示的方式放置于该水平玻璃桌面上时，桌面的受力面积 为.当时，， 这 种摆放方式不安全.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 43 25.［2024山东青岛城阳区校级月考］（10分）如图，在矩形 中，，，点从点开始沿边 向 终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点 以 的速度移动.如果，分别从，同时出发，当点 运动 到点时，两点停止运动.设运动时间为秒，且 . （1）当为何值时，点在 的垂直平分线上？ 【解】由题意得， ， . 点在的垂直平分线上， ， ，解得， 当时，点在 的垂直平分线上.………… （3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 44 （2）当为何值时，的长度等于 ？ 【解】 四边形是矩形， ，由勾股定理得 ， ，解得（舍去），， 当时， 的 长度等于 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 45 （3）连接，是否存在的值，使得的面积等于 ？若存在，请求出 此时 的值；若不存在，请说明理由. 【解】存在.…………（7分） 理由：,. 的面积等于 ，，即，解得或 （舍去）， 当时，的面积等于 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 46 26.［2025湖南长沙质检］（10分）如图，已知一次函数的图象与 轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，点 的坐标为，点是线段 的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 47 （1）求一次函数与反比例函数 的表达式； 【解】 点在反比例函数的图象上， ， .…………（1分） ，点是线段的中点，点,分别在轴，轴上, . 将，代入中，得解得 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 48 （2）求 的面积； 【解】联立得解得或， ，………… （4分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 49 （3）动点在轴上运动，当的值最大时，求点 的坐标. 【解】如图，作，关于轴的对称点，，连接 并延 长交轴于点，此时的值最大.由点和点 的坐标可得， 直线的表达式为.令，则， 当 的值最大时，点的坐标为， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 $$