精品解析：云南省昆明市 石林彝族自治县鹿阜中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

鹿阜中学2024~2025学年上学期九年级数学期末模拟卷 一、单选题（共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 心想事成 B. 旭日东升 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A. 钟表的指针和钟摆的运动 B. 站在电梯上的人的运动 C. 坐在火车上睡觉的旅客 D. 地下水位线逐年下降 7. 在平面直角坐标系中，把点绕着原点顺时针旋转后得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 9. AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（　　） A. 25° B. 35° C. 15° D. 20° 10. 若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A. B. C. D. 11. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，P是⊙O外一点，射线PA、PB分别切⊙O于点A、点B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点D、点C，若PB＝4，则△PCD的周长（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 14. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是_____． 17. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____． 18. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是______． 19. 如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______． 三、解答题（共8题，62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求出（2）中C点旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和π）． 22. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 23. 如图， 已知、是的直径，交于点，交于点． （1）求证：； （2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）． 24. 有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率； （2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平． 25. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是切线： （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 26. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：． （1）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （2）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积； （3）线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹿阜中学2024~2025学年上学期九年级数学期末模拟卷 一、单选题（共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、不是方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 4. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 心想事成 B. 旭日东升 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件进行求解判断即可． 【详解】解：A、心想事成有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意； B、旭日东升是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意； C、水滴石穿是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是是一定不会发生的事件，不是随机事件，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知相关定义是解题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 6. 在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A. 钟表的指针和钟摆的运动 B. 站在电梯上的人的运动 C. 坐在火车上睡觉的旅客 D. 地下水位线逐年下降 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确； B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误； C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误； D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定做圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象． 7. 在平面直角坐标系中，把点绕着原点顺时针旋转后得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知P、Q两点关于点O成中心对称，根据关于原点成中心对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意P，Q关于O中心对称， ∵P(4，3)， ∴Q(−4，-3)， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称，坐标与图形的变化等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左加右减，上加下减；根据此规律即可求解． 【详解】解：函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是； 故选：B． 9. AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（　　） A. 25° B. 35° C. 15° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=65°， ∴∠CAB=25°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠CAB=25°， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键． 10. 若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 11. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 12. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 由，，得出，进而得出的度数，由得出，即可得出的度数． 【详解】解：如图，在中， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选A． 13. 如图，P是⊙O外一点，射线PA、PB分别切⊙O于点A、点B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点D、点C，若PB＝4，则△PCD的周长（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，BC＝CE，AD＝ED，则可求得答案． 【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝4，BC＝EC，AD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+BC+PD+AD＝PB+PA＝4+4＝8， 即△PCD的周长为8， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理以及三角形的周长，熟练掌握切线长定理是解题的关键； 14. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 15. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 17. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵于点D，， ∴， 在中， ∵ ， ∴， 故答案为：5． 18. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，设另一个根为， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 19. 如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解． 【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2， 则：OB＝1，BD＝2，OB＝2， S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4． 故：答案为4． 【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键． 三、解答题（共8题，62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开方法和因式分解法是解题的关键． （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：； ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求出（2）中C点旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和π）． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2）如图，即为所求作， 的坐标； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，弧长公式,勾股定理等知识， （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，即可； （3）利用弧长公式求解即可． 掌握轴对称变换，旋转变换的性质，弧长公式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， 即C点旋转到点所经过的路径为圆心角时，半径是的弧， 路径长为： 答：路径长为 ． 22. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可； （2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可． 【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x． 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4， 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 23. 如图， 已知、是的直径，交于点，交于点． （1）求证：； （2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）． 【答案】（1）证明见解析； （2），，， 【解析】 【分析】此题主要考查了相等的圆周角所对的弧相等、 弦相等及等弦对等弧、 等弧对等弦等知识， 有一定的综合性 ． （1）首先由平行线性质得到，然后根据相等的圆周等角所对的弧相等即可证明，进一步得到，再根据等弧对等弦即可得到； （2）根据等弦对等弧和相等的圆周等角所对的弧相等即可得到 4 组不同的且相等的劣弧 ． 【小问1详解】 证明：，， ． ， 是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 图中相等的劣弧有： ，，， ． 24. 有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率； （2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平． 【答案】 （1）画树状图如下： 由解图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种， 所以，积为0的概率为． （2）不公平，若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可； （2）根据题意，求出积为奇数的概率和积为偶数的概率，即可判断游戏是否公平，然后根据概率修改该游戏规则即可． 【详解】解：（1）略 （2）不公平， 由解图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种． 所以，积为奇数的概率为， 积为偶数的概率为P2= 因为，所以，该游戏不公平． 这两个数的积小于等于2的概率为，这两个数的积大于2的概率为 ∴游戏可修改为： 若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢． 【点睛】此题考查的是求概率问题和判断游戏的公平性，掌握树状图的画法和概率公式是解题关键． 25. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是切线： （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而得到，证明，得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据扇形面积公式，由阴影部分的面积计算可得到答案． 【小问1详解】 证明：连结，如图， ， ， ∵的角平分线交边于， ， ， ， ， 即， 又∵直线过半径的外端， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵是切线， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得， ， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，扇形面积公式，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：． （1）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （2）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 【答案】（1）售价定为10元时可获利1200元 （2）当售价定为13元时，利润最大，最大利润为1470元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售量列方程求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得，， ∵为了方便顾客，售价应取较低者， ∴， 答：售价定为10元时可获利1200元； 【小问2详解】 解：设总利润为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为1470， 答：当售价定为13元时，利润最大，最大利润为1470元． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积； （3）线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值． 【答案】（1）； （2） （3）2． 【解析】 【分析】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）分别求得、，然后利用三角形面积计算公式解答即可； （3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，设；则，进而表示出的长度，利用二次函数的最值求出即可． 【小问1详解】 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，． ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∵对称轴为 ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 则， 此时的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $