第3章 位置与坐标 单元提优卷 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第3章 位置与坐标 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.根据下列描述，能够确定一个点的位置的是(    ) A. 学校图书馆前面 B. 凤凰电影院排座 C. 和谐号第号车厢 D. 北偏东方向 2.如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，下列对于，，，四个点的表示正确的是    ． A. B. C. D. 3.如图是小明、小刚和小红做课间操时的位置，老师建立一个平面直角坐标系，如果用坐标表示小明的位置，坐标表示小刚的位置，那么小红的位置坐标为(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点所在的象限为(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在  (    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.已知点，和关于轴对称，则的值为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动．当线段最短时，点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 9.已知等腰，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则下列关于该三角形的三边关系正确的是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，将点作如下的连续平移：，按此规律平移下去，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点，，则“宝藏”点的坐标是          ． 12.在平面直角坐标系中，若点在第三象限且到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为          ． 13.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若，则           ． 14.已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是，则满足条件的点的坐标为          ． 15.如图，等边三角形的边垂直于轴，点在轴上．已知点，则点的坐标为          ． 16.在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”例如：，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”若，，三点的“矩面积”为，则的值为          ． 17.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点若与面积相等，则点到直线的距离是______． 18.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点． 用含的式子表示线段的长是          ； 结合图形，判断式子的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图是某辆公交车行驶路线的一部分。 请你用方向与距离描述市图书馆、历史博物馆相对于光明小区的位置 若这辆公交车的平均行驶速度为，请问从市体育场行驶到历史博物馆大概需要多少分钟公交车停靠站点，红绿灯的时间忽略不计 20.本小题分在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接． ，，，； ，，，； ，，，． 观察得到的图形，你觉得它像什么？ 图形中哪些点在坐标轴上？ 上面三组点分别位于哪个象限？你是如何判断的？ 图形中一些点之间具有特殊的位置关系，找出几对，它们的坐标有何特点？说说你的发现． 21.本小题分 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 作出与关于轴对称的； 写出点，，关于轴的对称点的坐标； 求出的面积． 22.本小题分 如图，，，点在轴上，且． 求点的坐标． 求的面积． 在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23.本小题分 将从开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： 第行有          个数，第行有          个数用含的式子表示； 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示．求表示的数；求表示的有序数对． 24.本小题分已知点，解答下列各题： 若点在轴上，求出点的坐标 若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标 若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 25.本小题分在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． 点的“长距”为          ； 若点是“完美点”，求的值； 若点的“长距”为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点，，． 如图，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为          ，线段长度为          ，的面积为           在的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标 点为线段上一点不与，两点重合，点为线段上一点不与，两点重合 如图，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系 如图，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值若为定值，求出该定值若不为定值，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章位置与坐标单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.根据下列描述，能够确定一个点的位置的是(    ) A. 学校图书馆前面 B. 凤凰电影院排座 C. 和谐号第号车厢 D. 北偏东方向 【答案】B  【解析】【解答】解：选项中，学校图书馆前面，不能确定具体的一个点，故不符合题意；选项中，凤凰电影院排座，能确定具体的一个点，故符合题意；选项中，和谐号第号车厢，不能确定具体的一个点，故不符合题意；选项中，北偏东方向，不能确定具体的一个点，故不符合题意，故选：． 2.如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，下列对于，，，四个点的表示正确的是    ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.如图是小明、小刚和小红做课间操时的位置，老师建立一个平面直角坐标系，如果用坐标表示小明的位置，坐标表示小刚的位置，那么小红的位置坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点所在的象限为(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A  【解析】略 5.如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在  (    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D  【解析】单项式与单项式的和仍是一个单项式，单项式与单项式是同类项，，，解得，，点在第四象限． 6.已知点，和关于轴对称，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动．当线段最短时，点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 8.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】点第次关于轴对称后在第二象限，点第次关于轴对称后在第三象限，点第次关于轴对称后在第四象限，点第次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，所以每次对称为一个循环组，依次循环．因为，所以点经过第次变换后的位置与第次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为故选C． 9.已知等腰，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则下列关于该三角形的三边关系正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图，设与轴交于点，则由题意可得，，，，所以，，，所以． 10.如图，在平面直角坐标系中，将点作如下的连续平移：，按此规律平移下去，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【点拨】由题意可知，将点向上平移个单位长度得到，再向右平移个单位长度得到，再向下平移个单位长度得到，再向左平移个单位长度得到，再向上平移个单位长度得到，以此类推，，，，所以当为自然数时，因为，所以点的坐标是故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点，，则“宝藏”点的坐标是          ． 【答案】  【解析】略 12.在平面直角坐标系中，若点在第三象限且到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若，则           ． 【答案】  【解析】由作图过程可知，为的平分线，所以，所以易得，解得． 14.已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是，则满足条件的点的坐标为          ． 【答案】或或  【解析】【点拨】若点在轴上，则，解得，所以点的坐标为或；若点在轴上，则，解得，所以点的坐标为或综上所述，点的坐标为或或． 15.如图，等边三角形的边垂直于轴，点在轴上．已知点，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】轴，，等边三角形边长在轴上，设  解方程：，且高与边关系  得 16.在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”例如：，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”若，，三点的“矩面积”为，则的值为          ． 【答案】或  【解析】略 17.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点若与面积相等，则点到直线的距离是______． 【答案】  【解析】解：点，，， ，的边上的高为， 如图，过点作于点， 与面积相等， ， 即， ， ， 解得：， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 先求出，的边上的高为，过点作于点，推出，再根据三角形面积公式求出，即可得出结论． 本题考查了坐标与图形的性质、两点间的距离公式、三角形的面积等知识，根据所给条件判断出是解决本题的关键． 18.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点． 用含的式子表示线段的长是          ； 结合图形，判断式子的最小值是          ． 【答案】   【解析】【分析】 由两点间的距离公式可得答案； 由图形可得式子表示，作点关于轴的对称点，连接，再根据的最小值即线段的长可得答案． 本题考查二次根式的应用、轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理两点之间，线段最短． 【解答】 解：， 故答案为：； 由图形可得式子表示， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 根据对称性可得的最小值为线段的长， 由两点间的距离公式可得． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 分如图是某辆公交车行驶路线的一部分。 请你用方向与距离描述市图书馆、历史博物馆相对于光明小区的位置 若这辆公交车的平均行驶速度为，请问从市体育场行驶到历史博物馆大概需要多少分钟公交车停靠站点，红绿灯的时间忽略不计 【答案】(1)解:市图书馆在光明小区正北方向1km处, ​​​​​​​历史博物馆在光明小区北偏东方向2.5km处.  (2)解：公交车行驶的总路程为1.5+2+1+2.5=7(km), 所以从市体育场行驶到历史博物馆大概需要60=14().  【解析】 本题考查了用方位角和距离描述位置． 根据题图，用用方位角和距离描述市图书馆、历史博物馆相对于光明小区的位置即可．  本题考查了有理数运算的应用． 根据时间，列式计算即可． 20.本小题分 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接． ，，，； ，，，； ，，，． 观察得到的图形，你觉得它像什么？ 图形中哪些点在坐标轴上？ 上面三组点分别位于哪个象限？你是如何判断的？ 图形中一些点之间具有特殊的位置关系，找出几对，它们的坐标有何特点？说说你的发现． 【答案】(1)解：如图所示，像一棵树．   (2)点（-2，0），（6，0），（1，0），（3，0）在x轴上；点（0，3）在y轴上．  (3)点（2，5），（4，3），（1，3），（3，3）位于第一象限，因为它们的横坐标和纵坐标都大于零；点（1，-6），（3，-6）位于第四象限，因为它们的横坐标都大于零，纵坐标都小于零．  (4)（0，3），（1，3），（3，3），（4，3）各点的纵坐标相同；（1，3），（1，0），（1，-6）各点的横坐标相同．当点在同一条平行于x轴的直线上时，各点的纵坐标相同；当点在同一条平行于y轴的直线上时，各点的横坐标相同．（答案不唯一）  【解析】 见答案  见答案  见答案  见答案 21.本小题分 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 作出与关于轴对称的； 写出点，，关于轴的对称点的坐标； 求出的面积． 【答案】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求．   (2)点A(-2，3)，B(-3，2)，C(-1，1)关于x轴的对称点的坐标为(-2，-3)，(-3，-2)，(-1，-1)．  (3)．  【解析】 略  略  略 22.本小题分 如图，，，点在轴上，且． 求点的坐标． 求的面积． 在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：点B在点A的右边时，-1+3＝2，  点B在点A的左边时，-1-3＝-4，  所以点B的坐标为(2，0)或(-4，0)．  (2)△ABC的面积．  (3)存在．设点P到x轴的距离为h，  则，解得．  点P在y轴正半轴时，，  点P在y轴负半轴时，．  综上所述，点P的坐标为或．  【解析】 略  略  略 23.本小题分 将从开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： 第行有          个数，第行有          个数用含的式子表示； 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示．求表示的数；求表示的有序数对． 【答案】(1)11 ;(2n-1)  (2)①∵第11行有2×11-1＝21（个）数，且最末尾的数是112＝121，  而(11，20)表示第11行的第20个数，∴(11，20)表示的数是121-1＝120．  ②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行．∵第45行有45×2-1＝89（个）数，而2023与2025相差2，∴2023是第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是(45，87)．  【解析】 略  略 24.本小题分 已知点，解答下列各题： 若点在轴上，求出点的坐标 若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标 若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为 点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为 点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， ， ， 则．  【解析】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中的点的坐标和点到坐标轴的距离． 根据轴上的点的纵坐标为，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案． 根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其横坐标即可得出答案． 根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点以及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． 点的“长距”为          ； 若点是“完美点”，求的值； 若点的“长距”为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)3  (2)a＝1或a＝-0.5 点B(4a-1，-3)是完美点：|4a-1|＝|-3|＝3．  |4a-1|＝3⇒4a-1＝3或4a-1＝-3  解得a＝1或a＝-0．5．   (3)点D(5，-5)，到x轴距离5，到y轴距离5，相等，故为完美点． 点C(-2，3b-2)在第二象限：x＜0，y＞0⇒-2＜0（恒真），3b-2＞0⇒b＞2/3．  长距为4：max(|3b-2|，|-2|)＝max(3b-2，2)＝4（因y＞0，|3b-2|＝3b-2）．  max(3b-2，2)＝4，且2＜4⇒3b-2＝4⇒3b＝6⇒b＝2（满足b＞2/3）．  点C：(-2，3*2-2)＝(-2，4)，长距＝max(|4|，|-2|)＝max(4，2)＝4，成立．  点D(9-2b，-5)＝(9-4，-5)＝(5，-5)．  完美点验证：|x|＝|5|＝5，|y|＝|-5|＝5，相等，故为完美点．   【解析】  定义：  “长距”到轴距离，到轴距离，  “完美点” 点：，，长距．  略  略 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点，，． 如图，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为          ，线段长度为          ，的面积为           在的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标 点为线段上一点不与，两点重合，点为线段上一点不与，两点重合 如图，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系 如图，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值若为定值，求出该定值若不为定值，请说明理由． 【答案】解： 根据题意可知： 或 或； 由题意：不妨设，， 在中， 可求得： 由可得： 设三角形的面积为， 由题可知：，   【解析】【分析】 本题考查坐标与图形性质，三角形内角和，一元一次方程的应用，平行线的性质，非负数的性质，立方根的性质，三角形面积公式等知识． 根据立方根求出，根据非负数性质求出，，，即可 根据题意可知：，求出，即可 由题意：不妨设，，根据内角和定理得出，根据平行线的性质得出，即可 设三角形的面积为，得出，，即可解答． 【解答】 解：正数的立方根等于它本身 ，， ，， ， ，见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 第 3 章 位置与坐标 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.根据下列描述，能够确定一个点的位置的是( ) A.学校图书馆前面 B.凤凰电影院 3 排 6 座 C.和谐号第 2 号车厢 D.北偏东 40°方向 2.如图，雷达探测器测得六个目标�，�，�，�，�，�出现，按照规定的目标表示方法，目标�，�的位置 表示为�(6,120°)，�(5,210°).下列对于�，�，�，�四个点的表示正确的是( )． A. �(30°, 5) B. �(3,90°) C. �(3,240°) D. �(3,300°) 3.如图是小明、小刚和小红做课间操时的位置，老师建立一个平面直角坐标系，如果用坐标(4,5)表示小明 的位置，坐标(2,4)表示小刚的位置，那么小红的位置坐标为( ) A. (1,3) B. ( − 2,3) C. ( − 1,3) D. (0,2) 4.在平面直角坐标系中，已知点� 2� − 4, � + 3 在�轴上，则点�′ −� + 4,3� − 1 所在的象限为( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果单项式− �2��3与单项式 2�4�2−�的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点(�, �)在 ( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知点�1(�，5)和�2(2, �)关于�轴对称，则� + �的值为 ( ) A. −1 B. 3 C. 1 D. 5 第 2页，共 7页 7.如图，点�的坐标为( − 1,0)，点�在第一、三象限的角平分线上运动．当线段��最短时，点�的坐标为 ( ) A. (0,0) B. 22 , − 2 2 C. − 1 2 , − 1 2 D. − 2 2 , − 2 2 8.如图，在平面直角坐标系中，对△ ���进行循环往复的轴对称变换，若原来点�坐标是(1,2)，则经过第 2021 次变换后点�的对应点的坐标为 ( ) A. (1, − 2) B. ( − 1, − 2) C. ( − 1,2) D. (1,2) 9.已知等腰△ ���，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为�(�, 0)，�(� + 4,2)，�(� + 4, − 3)，则下列关于该三角形的三边关系正确的是 ( ) A. �� = �� ≠ �� B. �� = �� ≠ �� C. �� = �� ≠ �� D. �� = �� = �� 10.如图，在平面直角坐标系中，将点� −1,0 作如下的连续平移：� −1,0 → �1 −1,1 → �2 2,1 → �3 2, − 4 → �4 −5, − 4 → �5 −5,5 → ⋯，按此规律平移下去，则点�102的坐标是( ) A. 100,101 B. 101,100 C. 102,101 D. 103,102 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点�(2,1)，�(0,1)，则“宝藏”点�的坐标是 ． 12.在平面直角坐标系中，若点�在第三象限且到�轴的距离为 3，到�轴的距离为 2，则点�关于�轴对称的 点�的坐标为 ． 第 3页，共 7页 13.如图，在平面直角坐标系中，以点�为圆心，适当长为半径画弧，交�轴正半轴于点�，交�轴正半轴于 点�，再分别以点�，�为圆心，大于12��的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点�，画射线��，若� 2� − 1, � + 1 ，则� = ． 14.已知点� 2,0 ，� 0,2 ，点�在坐标轴上，且三角形���的面积是 2，则满足条件的点�的坐标为 ． 15.如图，等边三角形���的边��垂直于�轴，点�在�轴上．已知点�(2,2)，则点�的坐标为 ． 16.在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点�，�，�的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”� 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”� = �ℎ.例如：�(1,2)， �( − 3,1)，�(2, − 2)，则“水平底”� = 5，“铅垂高”ℎ = 4，“矩面积”� = �ℎ = 20.若�(1,2)，�( − 2,1)， �(0, �)三点的“矩面积”为 18，则�的值为 ． 17.如图，在平面直角坐标系中，点�(0, − 1)，�(4, − 4)，�(0,4)，�� = 5，点� 在�轴正半轴上，线段��与线段��交于点�.若△ ���与△ ���面积相等，则点�到 直线��的距离是______． 18.如图，在平面直角坐标系中，点�( − 2,2)，�(2,1)，点�(�, 0)是�轴上的一个动 点． (1)用含�的式子表示线段��的长是 ； (2)结合图形，判断式子 (� + 2)2 + 4 + (2 − �)2 + 1的最小值是 ． 第 4页，共 7页 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分)如图是某辆公交车行驶路线的一部分。 (1)请你用方向与距离描述市图书馆、历史博物馆相对于光明小区的位置; (2)若这辆公交车的平均行驶速度为 30��/ℎ，请问从市体育场行驶到历史博物馆大概需要多少分钟(公交车 停靠站点，红绿灯的时间忽略不计)? 20.(本小题 8 分)在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接． ①(2,5)，(0,3)，(4,3)，(2,5)； ②(1,3)，( − 2,0)，(6,0)，(3,3)； ③(1,0)，(1, − 6)，(3, − 6)，(3,0)． (1)观察得到的图形，你觉得它像什么？ (2)图形中哪些点在坐标轴上？ (3)上面三组点分别位于哪个象限？你是如何判断的？ (4)图形中一些点之间具有特殊的位置关系，找出几对， 它们的坐标有何特点？说说你的发现． 第 5页，共 7页 21.(本小题 8 分) △ ���在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出与△ ���关于�轴对称的△ �1�1�1； (2)写出点�，�，�关于�轴的对称点的坐标； (3)求出△ ���的面积． 22.(本小题 8 分) 如图，�( − 1,0)，�(1,4)，点�在�轴上，且�� = 3． (1)求点�的坐标． (2)求△ ���的面积． (3)在�轴上是否存在点�，使以�，�，�三点为顶点的三角形的面积为 10？若存在，请直接写出点�的坐标； 若不存在，请说明理由． 第 6页，共 7页 23.(本小题 8 分) 将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第 6 行有 个数，第�行有 个数(用含�的式子表示)； (2)若有序数对(�,�)表示第�行，从左到右第�个数，如(3,2)表示 6．①求(11,20)表示的数；②求表示 2023 的有序数对． 24.(本小题 8 分)已知点�(2� − 2, � + 5)，解答下列各题： (1)若点�在�轴上，求出点�的坐标; (2)若点�的坐标为(4,5)，直线��//�轴，求出点�的坐标; (3)若点�在第二象限，且它到�轴、�轴的距离相等，求出点�的坐标． 25.(本小题 8 分)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点�到�轴、�轴的距离的较大值称为点�的“长距”， 点�到�轴、�轴的距离相等时，称点�为“完美点”． (1)点�(1, − 3)的“长距”为 ； (2)若点�(4� − 1, − 3)是“完美点”，求�的值； (3)若点�( − 2,3� − 2)的“长距”为 4，且点�在第二象限内，点�的坐标为(9 − 2�, − 5)，试说明点�是“完 美点”． 第 7页，共 7页 26.(本小题 8 分) 在平面直角坐标系中，已知点�(�, �)(� > 0, � > 0)，�(�, 0)，�(�, 0)． (1)如图 1，若正数�的立方根等于它本身， 2 − � + |� − 4| + (� − 6)2 = 0，则点�坐标为 ，线段�� 长度为 ，△ ���的面积为 ; (2)在(1)的条件下，若点�(�, 4� − 4)为射线��上一点，且满足�△��� = 1 2 �△���，求此时点�的坐标; (3)点�为线段��上一点(不与�，�两点重合)，点�为线段��上一点(不与�，�两点重合); ①如图 2，若��//��，点�是�轴上点�左侧的一点，连接��，∠���的角平分线和∠���的角平分线交于点 �，求∠���与∠���的数量关系; ②如图 3，若�� = 12��，�� = 1 3��，连接��，��，交于点�，记△ ���的面积为�1，△ ���的面积为�2， △ ���的面积为�3，那么 �3−�2 �1 是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由．