第2章 实数 单元提优卷 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第2章 实数 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 2.估算的值应在(    ) A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 3.已知，若，则的值约为  (    ) A. B. C. D. 4.若一个自然数的平方根是，则与其相邻的下一个自然数的平方根为  (    ) A. B. C. D. 5.若式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.估计的值应在  (    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7.若，则的算术平方根为  (    ) A. B. C. 和 D. 和 8.将一组数，，，，，，，，按以下方式进行排列，则第八行左起第个数是  (    ) A. B. C. D. 9.在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为取  (    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接下列结论：；；平分；其中正确的结论是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，数轴上点所表示的数为，求          ． 12.实数在数轴上的位置如图所示，化简：           ． 13.在中，已知两边长为，，则第三边的长为          ． 14.已知是正整数，是整数，则的最小值为          ． 15.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么这个三角形的面积为若，，，其面积的整数部分为，则的值为          ． 16.如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点离地面的距离是          ． 17.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数例如：，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作就变为类比上述操作，若对正整数只需进行次操作就变为，则的最大值为          ． 18.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作就变为类比上述操作，若对正整数只需进行次操作就变为，则的最大值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.计算： 解方程： 20.计算： ． 21.本小题分 下图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 22. 本小题分 用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为现测得某用电器两端电压在与之间，功率为，该用电器到底是甲还是乙？ 23.本小题分 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． 化简： ______， ______． 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 24.本小题分 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． ，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． 若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 25.本小题分 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：        ，        ； 若，且、、均为正整数，求的值； 化简下列格式： ． 26.本小题分 为什么说不是有理数． 【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即          ． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设是正整数，代入得，          ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第 2 章 实数 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是( ) A. −3 B. 0 C. 23 D. � 2.估算 2 + 19的值应在( ) A. 4 到 5 之间 B. 5 到 6 之间 C. 6 到 7 之间 D. 7 到 8 之间 3.已知3 326 ≈ 6.882，若3 � ≈ 68.82，则�的值约为 ( ) A. 326000 B. 32600 C. 3.26 D. 0.326 4.若一个自然数的平方根是±�(� ≥ 0)，则与其相邻的下一个自然数的平方根为 ( ) A. ±(� + 1) B. ±� + 1 C. ± �2 + 1 D. ± � + 1 5.若式子 2� − 3有意义，则�的取值范围是( ) A. � ≤ 23 B. � ≥− 3 2 C. � ≥ 3 2 D. � ≤− 2 3 6.估计(2 5 + 5 2) × 15的值应在 ( ) A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 7.若3 � − 3 − 3 2� + 1 = 0，则�2 + � − 3 的算术平方根为 ( ) A. 3 B. 2 C. 3 和−3 D. 2 和−2 8.将一组数 2，2， 6，2 2， 10，2 3，…， 2�，…按以下方式进行排列，则第八行左起第 1 个数 是 ( ) A. 7 2 B. 8 2 C. 58 D. 4 7 9.在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得 从溢水杯中溢出的水的体积为 60 ��3，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了 0.8 ��， 则溢水杯内部的底面半径为(�取 3) ( ) A. 75�� B. 8 �� C. 20�� D. 5 �� 第 2页，共 6页 10.如图，在�� △ ���中，�� = ��，�，�是斜边��上两点，且∠��� = 45°，将△ ���绕点�顺时针旋转 90° 后，得到△ ���，连接��.下列结论：①∠��� = 45°；②�� = ��；③��平分∠���；④��2 + ��2 = ��2. 其中正确的结论是 ( ) A.②③ B. ①②④ C.①②③④ D.①③④ 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，数轴上点�所表示的数为�，求� = ． 12.实数�在数轴上的位置如图所示，化简：|� − 2| + �2 − 2� + 1 = ． 13.在�� △ ���中，已知两边长为 5，12，则第三边的长为 ． 14.已知�是正整数， 54�是整数，则�的最小值为 ． 15.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九 韶公式.如果一个三角形的三边长分别是�，�，�，记� = �+�+�2 ，那么这个三角形的面积为� = � � − � � − � � − � .若� = 5，� = 8，� = 7，其面积�的整数部分为�，则�的值为 ． 16.如图，一个等腰直角三角形���物件斜靠在墙角处(∠� = 90°)，若�� = 50 ��，�� = 28 ��，则点� 离地面的距离是 ��． 第 3页，共 6页 17.对于实数�，我们规定：用{ �}表示不小于 �的最小整数.例如：{ 4} = 2，{ 3} = 2.现在对 72 进行如 下操作：72第 1 次{ 72} = 9第 2 次{ 9} = 3第 3 次{ 3} = 2，即对 72 只需进行 3 次操作就变为 2.类比 上述操作，若对正整数�只需进行 3 次操作就变为 2，则�的最大值为 ． 18.对于实数�，我们规定：用 � 表示不小于 �的最小整数．例如： 4 = 2， 3 = 2.现在对 72 进行 如下操作：72 → 第 1 次 { 72} = 9 → 第 2 次 { 9} = 3 → 第 3 次 { 3} = 2，即对 72 只需进行 3 次操作就变为 2.类比上述 操作，若对正整数�只需进行 3 次操作就变为 2，则�的最大值为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(1)计算：3 −27 − 0 − 14+ 3 0.125 + 3 1 − 6364 (2)解方程：4 3� + 1 2 − 1 = 0 20.计算： (1)( 48 − 4 18) − (3 1 3− 2 0.5) (2)(7 + 3)(7 − 4 3) − (3 5 − 1) 2． 21.(本小题 8 分) 下图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段．试分别 找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 第 4页，共 6页 22.(本小题 8 分) 用电器的电阻�、功率�与它两端的电压�之间有关系：� = � 2 � .有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为 18.4�，乙的电阻为 20.8�.现测得某用电器两端电压在 150�与 170�之间，功率为 1500�，该用电器到底 是甲还是乙？ 23.(本小题 8 分) �2 = |�|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简： ( − 4)2 = ______， (3 − �)2 = ______． (2)已知实数�，�在数轴上的对应点如图所示，化简 �2 − |1 − �| + (1 − �)2． 24.(本小题 8 分) 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则 称这三个数为“完美组合数”.例如：−9，−4，−1 这三个数， −9 × −4 = 6， −9 × −1 = 3， −4 × −1 = 2，其结果 6，3，2 都是整数，所以−1，−4，−9 这三个数称为“完美组合数”． (1) − 18，−8，−2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数−3，�，−12 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求�的值． 第 5页，共 6页 25.(本小题 8 分) 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3 + 2 2 = (1 + 2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 若设� + � 2 = (� + � 2)2 = �2 + 2�2 + 2�� 2(其中�、�、�、�均为整数)，则有� = �2 + 2�2，� = 2��. 这样小明就找到了一种把类似� + � 2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若� + � 7 = (� + � 7)2，当�、�、�、�均为整数时，用含�、�的式子分别表示�、�，得：� = ， � = ； (2)若� + 6 3 = (� + � 3)2，且�、�、�均为正整数，求�的值； (3)化简下列格式： ① 5 + 2 6 ② 7 − 2 10 ③ 4 − 10 + 2 5 + 4 + 10 + 2 5． 第 6页，共 6页 26.(本小题 8 分) 为什么说 2不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设 2是有理数，那么存在两个互质的正整数�和�，使得 2 = ��，两边平方得 2 = ( � � ) 2，即�2 = ． ① 故�2是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以�也是偶数． 设� = 2�(�是正整数)，代入 ①得，�2 = ． 所以�也是偶数，则�和�都是偶数，不互质.这与假设�和�互质矛盾． 这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明 3 2不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为 700��2，长与宽的比为 5: 4，曹同学想从中裁出半径为 12��的圆形画纸，她的想法 可行吗?请说明理由． 第2章 实数 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 2.估算的值应在(    ) A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】C  【解析】解：， ， 即， ． 故选：． 3.已知，若，则的值约为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】一个数的立方根扩大倍，则被开方数就扩大到原来的倍，． 4.若一个自然数的平方根是，则与其相邻的下一个自然数的平方根为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】因为一个自然数的平方根是，所以这个自然数是所以与其相邻的下一个自然数是  所以与其相邻的下一个自然数的平方根是故选C． 5.若式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由有意义，得， 解得， 故选C． 6.估计的值应在  (    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B  【解析】   因为，所以故选B． 7.若，则的算术平方根为  (    ) A. B. C. 和 D. 和 【答案】A  【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以的算术平方根为． 8.将一组数，，，，，，，，按以下方式进行排列，则第八行左起第个数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据题意，得前七行所有的数的总个数为，则第八行左起第个数是第个数，即． 9.在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为取  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设溢水杯内部的底面半径为，根据题意得，即，解得或舍，溢水杯内部的底面半径为故选D． 10.如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接下列结论：；；平分；其中正确的结论是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，数轴上点所表示的数为，求          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了实数与数轴之间的对应关系，考查勾股定理． 根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示的点和之间的线段的长，进而可推出表示的值． 【解答】 解：图中直角三角形的两直角边为，， 斜边长为， 那么和之间的距离为， 那么的值是：． 故答案为． 12.实数在数轴上的位置如图所示，化简：           ． 【答案】  【解析】略 13.在中，已知两边长为，，则第三边的长为          ． 【答案】或  【解析】当，是两条直角边长时，则第三边长是；  当是直角边长，是斜边长时，则第三边长是  故第三边的长是或． 14.已知是正整数，是整数，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】略 15.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么这个三角形的面积为若，，，其面积的整数部分为，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点离地面的距离是          ． 【答案】  【解析】略 17.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数例如：，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作就变为类比上述操作，若对正整数只需进行次操作就变为，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】根据例题操作可知： 要使最大，最后一次操作，这里是第二次操作的结果． 因为， 根据定义可知，两边同时平方可得， 所以最大取． 对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时， 根据定义，两边同时平方得到， 所以最大取． 对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得， 所以最大为． 验证： 对进行如下操作： 如果只需进行次操作后变为的所有正整数中最大的数为：； 故答案为：． 18.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作就变为类比上述操作，若对正整数只需进行次操作就变为，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值． 【详解】根据例题操作可知： 要使最大，最后一次操作，这里是第二次操作的结果．因为， 根据定义可知，两边同时平方可得， 所以最大取． 对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时， 根据定义，两边同时平方得到， 所以最大取． 对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得， 所以最大为． 验证： 对进行如下操作： 如果只需进行次操作后变为的所有正整数中最大的数为：； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.计算： 解方程： 【答案】解：原式， ， 整理，得， 两边开平方，得， 所以，．  【解析】此题考查了实数的运算和平方根的运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用平方根及立方根的定义化简，计算即可得到结果； 形如或的方程可采用直接开平方的方法求解． 20.计算： ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； 利用乘法公式展开，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 21.本小题分 下图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 【答案】解：答案不唯一．例如：如图所示，线段，的长都是有理数；线段，的长都不是有理数．   【解析】见答案 22.本小题分 用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为现测得某用电器两端电压在与之间，功率为，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】解：． ． ，， 因此，该用电器是甲．   【解析】见答案 23.本小题分 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． 化简： ______， ______． 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】；；   ．  【解析】解：根据题意可知；． 故答案为：；． 由数轴可知，则，， ，，． 原式 ． 根据，，再去掉绝对值即可； 先根据数轴的位置判断，则，，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可． 本题主要考查了二次根式的化简，理解二次根式与绝对值的关系是解题的关键． 24.本小题分 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． ，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． 若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)【解】，，这三个数是“完美组合数”.理由如下：，，，所以，，这三个数是“完美组合数”.  (2)因为，所以分两种情况讨论： ①当时，，所以； ②当时，，所以（不符合题意，舍去）. 综上所述，的值是.​​​​​​​    【解析】 略  略 25.本小题分 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：        ，        ； 若，且、、均为正整数，求的值； 化简下列格式： ． 【答案】 ，；见解析；见解析  【解析】解：设其中、、、均为整数， 则有，； 故答案为：，； ， ， 、、均为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，； 即的值为或； ； ； 设， 则 ， ． 利用完全平方公式展开可得到用、表示出、； 利用中结论得到，利用、、均为正整数得到，或，，然后利用计算对应的值； 设，两边平方得到，然后利用中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到的值． 本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 26.本小题分 为什么说不是有理数． 【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即          ． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设是正整数，代入得，          ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗请说明理由． 【答案】解：【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入得，， 即； 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数， 故答案为：，； 假设是有理数， 则存在两个互质的正整数，，使得， 于是有， 是的倍数， 是的倍数， 设是正整数，则，即， ， 也是的倍数， ，都是的倍数，不互质，与假设矛盾， 假设错误， 不是有理数； 她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意可得，， ， 即长为，宽为， 而圆形的半径为， 圆形的直径为， ， ， 不能裁出半径为的圆形画纸， 故她的想法不可行．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$