第1章 勾股定理 单元提优卷 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第1章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 2.如果梯子的底端离建筑物，那么长为的梯子可以达到该建筑物的高度是(    ) A. B. C. D. 3.在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是  (    ) A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形且 C. 如果，那么是直角三角形 D. 如果，那么是直角三角形 4.下列各组数中，是勾股数的为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行  (    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，记的面积为，的面积为，则的值为    ． A. B. C. D. 8.如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为  (    ) A. B. C. D. 9.已知，，为的三边长，且，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10.如图，将长方形纸片折叠，使边落在线段上，折痕为，且点落在，所连线段上处．若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.我国古代著作周髀算经中记载了“赵爽弦图”如图，若勾，弦，则小正方形的面积是          ． 12.如图，的顶点，都在由边长为的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为          ． 13.如图，点在正方形内，，，，则阴影部分的面积为          ． 14.如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为          ． 15.如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为若，则线段的长是          ． 16.已知，则以，，为边长的三角形是          三角形． 17.如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则          ． 18.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和的的斜边长，可看作两直角边分别是和的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，的值最小．请你解决问题：当时，代数式的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 你能通过如图所示图形验证勾股定理吗？说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系． 20.本小题分 中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米处的点，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 21.本小题分在中，，，的对边分别为，，，已知，，，则是直角三角形吗？ 小亮的解答如下： 解：不是直角三角形．理由如下： ，， ． 不是直角三角形． 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 22.本小题分一块试验田的形状如图所示，已知，，，，，求这块试验田的面积． 23.本小题分定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由． 已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 24.本小题分 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地阴影部分，现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在上选取两点，为浇灌点，从水源点处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点，； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． 施工人员测量的是点______与点______之间的距离． 若绿化地建造每平方米的费用为元，求建造绿化地的费用． 若，，，管道铺设费用为元米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 25.本小题分 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． 求监测点与监测点之间的距离； 请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由； 若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 26.本小题分 【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图，在中，，于点设，，． 请完成下列填空． 小明说：可以用含，的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含，，的代数式表示，则___________； 小芳说：由此可以用含，的代数式表示，则_________； 亮说：可以用含，的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与的大小关系为___________； 若的面积为，求的最大值． 【迁移应用】 如图，学校有一块一边靠墙图中实线的种植园，该兴趣小组想靠墙墙足够长在此规划一个面积为平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏图中虚线将该长方形种植实验地按如图所示方式分成个小长方形区域，求小栅栏的总长度所有虚线长之和最少为多少米？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 2.如果梯子的底端离建筑物，那么长为的梯子可以达到该建筑物的高度是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是  (    ) A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形且 C. 如果，那么是直角三角形 D. 如果，那么是直角三角形 【答案】B  【解析】略 4.下列各组数中，是勾股数的为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  【解析】略 5.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行  (    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C  【解析】过点作于点，连接  在中，易知米，米  根据勾股定理得，所以米． 6.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，在中，，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，记的面积为，的面积为，则的值为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，，  由，知，又，，，，，， ，故选B． 8.如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 9.已知，，为的三边长，且，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理将题中所给的等式移项并进行因式分解，化简，再根据勾股定理的逆定理，判断三条边、、之间的关系，即可得出本题答案掌握因式分解以及勾股定理是本题的关键，对题中式子进行因式分解，化简，利用勾股定理逆定理即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， 或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形． 故选D． 10.如图，将长方形纸片折叠，使边落在线段上，折痕为，且点落在，所连线段上处．若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．首先利用勾股定理计算出的长，设，再根据折叠可得，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【解答】 解：，， ，， ， 根据折叠可得：，， 设，则，，， 在中：， ， 解得：， 即． 故选D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.我国古代著作周髀算经中记载了“赵爽弦图”如图，若勾，弦，则小正方形的面积是          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，的顶点，都在由边长为的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为          ． 【答案】  【解析】因为，所以故答案为． 13.如图，点在正方形内，，，，则阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为若，则线段的长是          ． 【答案】  【解析】略 16.已知，则以，，为边长的三角形是          三角形． 【答案】直角  【解析】略 17.如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则          ． 【答案】  【解析】在中，，，，根据勾股定理可得，  由折叠的性质可得，，，  设，则，，  在中，根据勾股定理可得，即，解得，故答案为． 18.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和的的斜边长，可看作两直角边分别是和的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，的值最小．请你解决问题：当时，代数式的最小值是          ． 【答案】  【解析】略 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 你能通过如图所示图形验证勾股定理吗？说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系． 【答案】解：因为，， 所以． 所以． 所以． 联系：这个方法和本节的探索方法思路一样，都是构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个关于直角三角形三条边长之间关系的等式．   【解析】见答案 20.本小题分 中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米处的点，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车没有超速．理由略  【解析】略 21.本小题分 在中，，，的对边分别为，，，已知，，，则是直角三角形吗？ 小亮的解答如下： 解：不是直角三角形．理由如下： ，， ． 不是直角三角形． 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】解：小亮的解答不正确．正确的解答过程如下：是直角三角形．理由如下：，，是直角三角形．  【解析】略 22.本小题分 一块试验田的形状如图所示，已知，，，，，求这块试验田的面积． 【答案】  【解析】略 23.本小题分 定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由． 已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)解：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2+BN2＝MN2，即以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．  (2)设BN＝x，则MN＝24-AM-BN＝18-x．①当MN为最长线段时，依题意有MN2＝AM2+NB2，  即(18-x)2＝36+x2，解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意有BN2＝AM2+MN2；  即x2＝36+(18-x)2，解得x＝10．  综上所述，BN＝8或10．  【解析】 略  略 24.本小题分 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地阴影部分，现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在上选取两点，为浇灌点，从水源点处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点，； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． 施工人员测量的是点______与点______之间的距离． 若绿化地建造每平方米的费用为元，求建造绿化地的费用． 若，，，管道铺设费用为元米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】，；   元；   铺设管道所需的最少费用为元．  【解析】连接， 施工人员测量的是，两点之间的距离， ， 如果， ， ；， ， 故答案为：，； ，， ， ， ， ， 四边形的面积， 建造绿化地的费用元； ，，， ， ， ， ， 方案一：铺设管道所花的费用元， 方案二：铺设管道所花的费用元， 答：铺设管道所需的最少费用为元． 直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． 直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； 根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用元，方案二：铺设管道所花的费用元，于是得到结论． 本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25.本小题分 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． 求监测点与监测点之间的距离； 请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由； 若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．   (2)海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响．   (3)如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时．   【解析】  利用勾股定理直接求解；   利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响；   利用勾股定理得出受影响的界点与离点的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 26.本小题分 【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图，在中，，于点设，，． 请完成下列填空． 小明说：可以用含，的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含，，的代数式表示，则___________； 小芳说：由此可以用含，的代数式表示，则_________； 亮说：可以用含，的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与的大小关系为___________； 若的面积为，求的最大值． 【迁移应用】 如图，学校有一块一边靠墙图中实线的种植园，该兴趣小组想靠墙墙足够长在此规划一个面积为平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏图中虚线将该长方形种植实验地按如图所示方式分成个小长方形区域，求小栅栏的总长度所有虚线长之和最少为多少米？ 【答案】解：；； 的面积为， ． ． ， ， ， ， 的最大值为 设图中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． 面积为平方米， ． 由得：， ， ， ． ． 小栅栏的总长度所有虚线长之和最少为米．  【解析】【分析】 本题考查勾股定理的应用． 利用勾股定理根据在直角三角形中，在直角三角形中分别得到和用，，表示的式子，相加即可得到的值根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到用，表示的式子易得的斜边上的中线大于或与重合，可得与的大小关系 根据的面积为，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出的面积，进而根据中最后一问得到的结论，用含的式子表示，即可得到的最大值 设图中与墙平行的边长，垂直于墙的边长根据中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值． 【解答】 解：， ， ，， ， ， ， 整理得：， 取正值． 设是的斜边上的中线． 若为一般的直角三角形， 则． 若为等腰直角三角形， 则， 综上． 故答案为：；； ，见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 第 1 章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形�，�的面积分别为 12，16，则正方 形�的面积是( ) A. 10 B. 8 C. 4 D. 2 2.如果梯子的底端离建筑物 5 �，那么长为 13 �的梯子可以达到该建筑物的高度是( ) A. 12 � B. 14 � C. 15 � D. 13 � 3.在△ ���中，∠�，∠�，∠�的对边分别记为�，�，�，下列结论中不正确的是 ( ) A.如果∠� − ∠� = ∠�，那么△ ���是直角三角形 B.如果�2 = �2 − �2，那么△ ���是直角三角形且∠� = 90° C.如果∠�: ∠�: ∠� = 1: 3: 2，那么△ ���是直角三角形 D.如果�2: �2: �2 = 9: 16: 25，那么△ ���是直角三角形 4.下列各组数中，是勾股数的为( ) A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 1.5，2，2.5 5.如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢�飞到另一棵 树的树梢�，则它至少要飞行 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 10 米 D. 12 米 6.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点�到顶点�′镶有一圈金属丝，已知 此三棱镜的高为 5 ��，底面边长为 4 ��，则这圈金属丝的长度至少为( ) A. 8 �� B. 13 �� C. 12 �� D. 15 �� 第 2页，共 8页 7.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，�为��边上的一点，连接��并延长，过点�作�� ⊥ ��，垂足为�，若�� = 7， �� = 20，�� = 15.记△ ���的面积为�1，△ ���的面积为�2，则�2 − �1的值为( )． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 8.如图，在长方形����中，�� = 3 ��，�� = 9 ��，将此长方形折叠，使点�与点�重合，折痕为��，则 △ ���的面积为 ( ) A. 3 ��2 B. 4 ��2 C. 6 ��2 D. 12 ��2 9.已知�，�，�为△ ���的三边长，且�4 − �4 + �2�2 − �2�2 = 0，则△ ���的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10.如图，将长方形纸片����折叠，使边��落在线段��上，折痕为��，且�点落在�，�所连线段上�’处．若 AB = 3，AD = 4，则��的长为( ) A. 3 B. 1 C. 43 D. 3 2 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”.如图，若勾�� = 6，弦�� = 10，则小正方形���� 的面积是 ． 第 3页，共 8页 12.如图，�� △ ���的顶点�，�都在由边长为 1 的小正方形组成的方格纸的格点上，且∠� = 90°，则��的 长为 ． 13.如图，点�在正方形����内，�� = 6，�� = 8，�� = 10，则阴影部分的面积为 ． 14.如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架�� = 24 ��，�� = 18 ��，两轮中心的距离�� = 30 ��，则点�到��的距离为 ��． 15.如图，正方形����的边长为 18，将正方形折叠，使顶点�落在��边上的点�处，折痕为��.若��: �� = 2: 1， 则线段��的长是 ． 16.已知(� − 12)2 + |� − 5| + (� − 13)2 = 0，则以�，�，�为边长的三角形是 三角形． 17.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，�� = 6，�� = 8，现将△ ���沿��进行翻折，使点�刚好落在��上， 则�� = ． 第 4页，共 8页 18.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当 0 < � < 12 时，求代数式 �2 + 4 + (12 − �)2 + 9 的最小值”，其中 �2 + 4可看作两直角边分别为�和 2 的�� △ ���的斜边长， (12 − �)2 + 9可看作两直 角边分别是 12 − �和 3 的�� △ ���的斜边长．于是将问题转化为求�� + ��的最小值，如图所示，当��与�� 共线时，�� + ��的值最小．请你解决问题：当 0 < � < 4 时，代数式 �2 + 1 + (4 − �)2 + 4的最小值 是 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 你能通过如图所示图形验证勾股定理吗？说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系． 20.(本小题 8 分) 《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时．如图， 一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪�的正前方 90 米处的�点，过 了 8 秒后，测得小汽车所在的�点与车速检测仪�之间的距离为 150 米．试判断这辆小汽车是否超速，并说 明理由． 第 5页，共 8页 21.(本小题 8 分)在△ ���中，∠�，∠�，∠�的对边分别为�，�，�，已知� = 2，� = 52，� = 3 2，则△ ��� 是直角三角形吗？ 小亮的解答如下： 解：△ ���不是直角三角形．理由如下： ∵ �2 = 4，�2 + �2 = 52 2 + 32 2 = 172， ∴ �2 ≠ �2 + �2． ∴△ ���不是直角三角形． 请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 22.(本小题 8 分)一块试验田的形状如图所示，已知∠��� = 90°，�� = 24 �，�� = 26 �，�� = 6 �，�� = 8 �，求这块试验田的面积． 23.(本小题 8 分)定义：如图，点�，�把线段��分割成��，��，��，若以��，��，��为边的三角形 是一个直角三角形，则称点�，�是线段��的勾股分割点． (1)已知�，�把线段��分割成��，��，��，若�� = 1.5，�� = 2.5，�� = 2，则点�，�是线段��的 勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点�，�是线段��的勾股分割点，且��为直角边，若�� = 24，�� = 6，求��的长． 第 6页，共 8页 24.(本小题 8 分) 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地(阴影部分)，现面向小区居民征集设计 方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，�� = 9�，�� = 12�，�� = 17�，�� = 8�，在��上选取两点�，�为浇灌点，从水源点�处铺设 管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点�处直接铺设管道分别到浇灌点�，�； 方案二：过点�作��的垂线，垂足为�，先从水源点�处铺设管道到点�处，再从点�处分别向浇灌点�，� 铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了∠��� = 90°． (1)施工人员测量的是点______与点______之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为 100 元，求建造绿化地的费用． (3)若∠��� = 90°，�� = 10�，�� = 8�，管道铺设费用为 50 元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方 案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 第 7页，共 8页 25.(本小题 8 分) 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破 坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点�与监测点�所在的直线由东向西移动，已知点�为一海港， 且点�与�，�两点的距离分别为 300��、400��，且∠��� = 90°，过点�作�� ⊥ ��于点�，以台风中心为 圆心，半径为 260��的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点�与监测点�之间的距离； (2)请判断海港�是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为 25��/ℎ，则台风影响该海港多长时间？ 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) 【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图 1，在�� △ ���中，∠��� = 90°，�� ⊥ ��于点�.设�� = �，�� = �，�� = �． (1)请完成下列填空． 小明说：可以用含�，�的代数式表示��2 + ��2，则��2 + ��2 = (� + �)2； 小颖说：也可以用含�，�，�的代数式表示��2 + ��2，则��2 + ��2 =___________； 小芳说：由此可以用含�，�的代数式表示�，则� =_________； 亮说：可以用含�，�的代数式表示�� △ ���的斜边上的中线的长为�+�2 ，则 �+� 2 与�的大小关系为___________； (2)若�� △ ���的面积为 6，求�的最大值． 【迁移应用】 (3)如图 2，学校有一块一边靠墙(图中实线)的种植园，该兴趣小组想靠墙(墙足够长)在此规划一个面积为 32 平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏(图中虚线)将该长方形种植实验地按如图所示方式分成 6 个小长 方形区域，求小栅栏的总长度(所有虚线长之和)最少为多少米？