15.九上 第4章 相似三角形 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 九上第4章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 比例线段 上分点2 相似三角形的判定 与性质 上分点3 相似三角形的应用 上分点4 相似多边形与图形 的位似 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 手拉手型 类型4 一线三等角型 类型5 子母型（射影 定理） 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 比例线段 （第1题图） 1.[2025浙江杭州西湖区校级月考，中]人类既能欣赏美，也能创 造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，为 的黄 金分割点 ，则下列结论中正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】为的黄金分割点， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 （第2题图） 2.[2025浙江湖州期中]如图，在中，是的中点，点 在 上，连结并延长交于点，若， ，则 的长为( ) D A.3 B. C.4 D.5 【解析】如图，过点作交于点，， 设，是的中点, , ,, ， 即，解得, ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.[2025浙江宁波期中]已知,则 __． 【解析】设,,, ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 上分点2 相似三角形的判定与性质 4.[2025浙江金华婺城区校级期中]如图，是边 上一点， 添加一个条件后，不能判定 的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，当时，再由，可得出 ，故此 选项不合题意；B选项，当时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；C选项，当 时，无法判定 ，故此选项符合题意；D选项，当，即 时， 再由，可得出 ，故此选项不合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.[2025浙江宁波期中]如图，在下列方格纸中的四个三角形（三角形的顶点均为格 点）中，是相似三角形的是( ) D ① ② ③ ④ A.①和② B.③和④ C.②和④ D.①和④ 【解析】三角形①三边的长度分别为，2， ;三角形②三边的长度分别为 ，,3;三角形③三边的长度分别为2，, ;三角形④三边的长度分别为2， ,.， 和④是相似三角形.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.[2025浙江金华期中]如图，在中， 是它的重心， ，若，则 的面积的最大值是( ) B A.3 B.6 C. D. 【解析】延长交于点是的重心，，是 的中点. ，，即， ， （负值已舍去），.当时， 的面积最大， 最大值为 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.[2024浙江杭州上城区模拟，中]任意矩形经过恰当分割后就可以拼成正方形，如 图，已知矩形，在延长线上取点，使，以 为直径的半圆交 延长线于点，在边上取点，使，过点作于 ，所得 ，，四边形就可以拼成正方形，若 ，则 ______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 【解析】延长，则的延长线经过点，，四边形 可以 拼成正方形，，， ， ，， 设 ，则 ， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ，， ， ，，， ．故 答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.[2024浙江杭州萧山区二模]如图，在中，点， ， 分别在，， 上．从下列条件中选择两个作为本题 的条件:；； ． （1）求证： ； 【证明】（条件选择不唯一）选择①和②.， . ，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2）连结，如果，求证： ． 【解】，.，， . ，.，， ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 上分点3 相似三角形的应用 9.[2025浙江台州质检]如图（1）是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一 段时间后的液体如图（2）所示，此时液面__ ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （第9题图） 【解析】如图，过点作交于点，交于点 .由题 意得， ， ，， ， 即，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 上分点4 相似多边形与图形的位似 10.[2025浙江湖州质检]如图，以点为位似中心，将 放 大得到．若与的周长之比为，则 的 值为( ) A A. B. C. D.1 【解析】 将放大得到，， 与 的周长之比为，， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 11.[2025浙江余姚校级月考，中]如图（1），正方形绕中心逆时针旋转 得到正方形，现将整个图形的外围以 为位似中心得到位似图形如图（2） 所示，位似比为 ，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为( ) C 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 （第11题图） 【解析】如图. 正方形绕中心逆时针旋转 得到正方 形 ，整个图形的外围周长为16， ，且 为等腰直角三角形， ， 题图（2）中整个图形面积为 . 将整个图形的外围以为位似中心得到位似图形如题图（2）所示，位似比为， 题图（2）中空白部分面积为， 题图（2）中阴影部分面 积为 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 类型1 A字型 “A”字型相似的特点：若两个三角形存在共角，另有一个角对应相等或夹共角的两 边成比例，则两个三角形相似. 正A字型（共角） 斜A字型（共角） 斜A字型（共边） ______________________________ 已知： .结论： ______________________________ 已知： .结 论： _______________________________ 已知： .结 论： 1. [2025浙江杭州质检]如图，在等边三角形中，点， 分别在 ，上，且 ，下列不正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】，是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ．综上， A，C，D正确.在和中，, ，可知这两个 三角形不相似．故B不正确．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 2. [2025浙江杭州上城区月考]如图，点，， 分别 在的边上，，，，点是 的中点， 连结并延长交于点，则 的值是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 【解析】如图，过点作交于点,设交于点 点是 的中点， 是的中点，是 的中位线， ，， 四边形 是平行四边 形，，.设 ，则 ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，. ，， ， ， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 类型2 8字型 “8”字型相似的特点：若两个三角形存在对顶角，另有一个角相等或对顶角的两边 对应成比例，则两个三角形相似. 正8字型 斜8字型（蝴蝶型） _________________________________ 已知： . 结论： ______________________________ 已知： . 结论： 3. [2025浙江宁波海曙区期末]如图，在四边形中，对角线 与 相交于点，平分，若 ，则下列结论不正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 【解析】A选项，，， ，故此选 项正确，不合题意；B选项，，， .又 ， ，故此选项正确，不合题意；C选项， ，平分， ， ，， ，故此选项正 确，不合题意；D选项，无法得出 ，故此选项错误，符合题 意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 4. [2025浙江宁波海曙区月考]如图，在菱形 中，对角线，交于点， ，垂足为点 ，分别交，及的延长线于点，， ，且 ，则 的值为__. 【解析】 四边形是菱形，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 类型3 手拉手型 和共顶点 ，通过两边成比例且夹角相等或利用旋转构造等角来判定 三角形相似.常见模型如下: 在内且拉手线 和 无交点. 在外且拉手 线和 无交点. 在外且拉手 线和 有交点. 5.[2025浙江宁波江北区校级月考]如图，四边形 和四边 形都是正方形，，，三点在同一直线上，连结 , ,,则 _ __. 【解析】 四边形是正方形， , ，，同理可得 ， . ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 6.[2025浙江金华月考]如图，和 均为等腰直角三角形， ，在内， ,连结 ．若 ，，则 ____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 【解析】，， ， ， ， ， ， ，，， , ，.，， . ， ， ， ，．故答案为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 类型4 一线三等角型 如图，已知，，三点共线，且 . 7.如图，，，点是线段上的一点，且．若 ， ，，则 ___． 3 （第7题图） 【解析】，，， ， ， ， ， ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 （第8题图） 8.如图，为等边三角形，，点为 边上的动点 （点不与点，重合），点在边上,且．当 运动 到中点时， ___. 5 【解析】 为等边三角形， ， ， ， ，,. 为等边三角 形, 点为的中点，， ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 类型5 子母型（射影定理） 如图（1），直角三角形被斜边上的高 分成两个直角三角 形,这两个直角三角形与相似，即 . 常见的结论有，， （射影定理）.正方形、矩形中常出现子母型，如图（2）.复杂图 形中如有图（1）、图（2）中的基本模型，可尝试应用该模型证 明三角形相似． （第9题图） 9.[2025浙江台州仙居调研]如图，在 中， ， ，，过点作于点 ， 以为顶点作一个直角三角形，其两边分别与边， 交于 点，，点不与点重合，则 __． 【解析】 ， ， ， ，，. ， .又， ， .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 10.[2025浙江杭州拱墅区校级月考]如图，在矩形中，， ，点 在边上，点，分别在边，上，且，则 __． （第10题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 【解析】如图，过点作于点 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边 形为矩形，， ， , .又 ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 $$