17.卷9 九上 第4章 相似三角形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷9 九上第4章提优验收卷（B卷） 考查内容：相似三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江义乌校级期中]下列长度的各组线段中，是成比例线段的是( ) B A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】A选项，， 四条线段不成比例；B选项， ， 四条线段成比例；C选项，， 四条线段不成 比例；D选项，， 四条线段不成比例.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025浙江宁波期末]两个相似多边形的周长之比为 ，则它们的面积之比为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 相似多边形的周长之比是， 它们的面积之比为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.[2025浙江余姚期中]如图，已知图中的两个菱形是位似图 形，它们的位似中心是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 【解析】如图，点 即为位似中心．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.传统文化[2024浙江杭州三模]大约在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上 第一个小孔成倒像的实验,在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长， 说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为 ，蜡烛火焰 倒立的像的高度是 ，则蜡烛火焰的高度是( ) C （第4题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】如图，令蜡烛火焰为,倒立的像为,小孔为，过点作 ，垂 足为，延长交于点.由题意得，， ， ，，，， ， ，，解得， 蜡烛火焰的高度是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.新定义[2025浙江桐乡校级开学]如图，已知 ，则 ，若规定为单位线段1，则.若规定 为单 位线段1，则 为( ) C A. B. C. D. 【解析】，，,. 规定 为 单位线段1， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.[2025浙江杭州滨江区校级月考]如图，在内，有边长依次为，， 的 三个正方形，则，， 之间的关系是( ) B （第6题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】如图.，， ， ，，则，， ，故 选B. （第6题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第7题图） 7.[2025浙江义乌月考]如图，有一块三角形材料 ， ，高线 ，要把它加工成一个矩形零件 ，使矩形的一边在上，点，分别在， 上，若 ，则 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】设交于点， 设 ， 四边形是矩形， ， ，，，， ， 解得， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.[2024浙江杭州拱墅区一模，中]如图，在中， ， 点在边上（不与点、点重合），点在线段 的延长线上， 且．若， ，则( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第8题图） 【解析】如图，过点作交于 ， ， ， ， ， ， ， ，，. ， ， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.[2024浙江杭州上城区二模，中]如图，在中，点 是 上一点（不与点，重合），过点作交于点 ， 过点作交于点，点是线段 上一点， ，点是线段上一点，，连结 ， ，，．若已知 的面积（阴影部分），则一定能 求出( ) B A.的面积 B. 的面积 C.四边形的面积 D. 的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】，，， ， ，，．， ， ，，，. ， ，， ， ，即， ， ，,, ， ， 已知的面积，则一定能求出 的面积．故选B. 上分警示 三角形面积比问题 同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边长的比， 底相等的两个三角形的面积比等于高的比，切勿与相似三角形的面积比混淆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.[2024浙江温州鹿城区一模，难]如图，把一张宽为的长方形纸片 沿 ，折叠．顶点，，，的对应点分别为，，，，点与 重合， 点恰好与，的交点重合．若，则 的长为( ) A （第10题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】 四边形为矩形，，， ， ， 设， ，由折叠的性质得 ，，，， ， ， ， ， ， ， ,， ，即 ，整理得，解得， （不合题意， 舍去），，， .在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 中，由勾股定理得 ， .设 ，则 ，， ， ，， ，即 ， ， ， 在 中，由 勾股定理得 ， . ， ，解得，的长为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江义乌质检]如图，，，为直线 与五线谱横线相交的三个点，若 ，则 的长为___． 8 （第11题图） 【解析】如图，过点作于 ，交 于， . ， ．故答案为8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2025浙江绍兴期中]如图是鹦鹉螺曲线，是的黄金分割点 ，若 线段的长为，则 的长为_____________． （第12题图） 【解析】是的黄金分割点，线段的长为， ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第13题图） 13.[2025浙江杭州文澜中学期中]如图，已知 ，，，若与 相 似，则 _ _______． 或 【解析】当时，. ， ，，.当时，.， ，， ， ，的长为或 .故 答案为或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第14题图） 14.[2025浙江宁波宁海校级质检]有五本形状为长方体的书放置 在长方形书架中，如图所示，其中四本竖放，一本斜放，点 正 好在书架边框上．若每本书的厚度为，高度为 ，书架 宽为，则的长为_ __ ． 【解析】由题意知，， ， ， ， ，，， ，即 ，.在中，由勾股定理得 ，即 ，解得或（舍去），故的长为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 15.[2025浙江温州调研，中]如图，矩形的边长，，为 的 中点，在线段上，且，分别与，交于点， ，则 _ ___． （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第15题图） 【解析】 四边形是矩形，, , .如图，过作于交于，则 , ,为的中点， ， ，,， .在 中，. ， ,， ， ． ， ，， . ，， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.[2025浙江温州鹿城区校级开学，中]如图，四边形内接于 ， ，连结，．设与相交于点．若 ， ，则 _____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （第16题图） 【解析】过点作于点，如图. ， ， ，， 设 ， 则，， ， ．设，，则 ， ，， ， ，， ， ，， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 , , ， ， ， ，解得 （负值已舍去）, ,，即 , ．故答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2025浙江杭州拱墅区调研]（本小题满分6分）如图，在锐角三角形 中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是 延长线上的一点，连结，若平分 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （1）求证： ． 【证明】 以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ， . ， ， .…………（1分） 平分， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若，求 的值． 【解】， , .…………（4分） ，， ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.[2025浙江杭州上城区质检]（本小题满分6分）如图，点 为的边上一点，连结并延长至点 ，使得 ，点在线段上，且， ， ． （1）若，求 的长． 【解】，，， ， ．…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）若 ，平分，求 的长． 【解】过作于 . ， . 平分 ， ， ，， . , ， , , ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 ， .…………（4分） ，，，， , ，…………（5分） ， ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.[2024浙江宁波模拟]（本小题满分8分）在 中， ，将绕点逆时针旋转得到 ，且 ，的延长线与交于点，若， ． （1）求证： ； 【证明】 将绕点逆时针旋转得到 ， ，， ， ，…………（2分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）求 的长． 【解】由（1）知，， ， ，.又， , ，， 四边形 为平行四边形， .…………（6分） ，，即， ， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 20.分类讨论思想[2025浙江义乌校级开学]（本小题满分10分）如图，在 中， ，，，动点从点出发，在 边上以 的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以 的速度 向点匀速运动，运动时间为，连结 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （1）若和相似，求 的值； 【解】由题意得, , . ，， ， .…………（1分） 分两种情况讨论：①当时，， ，解得 . …………（3分） ②当时，，，解得.综上，的值为1或 时，和 相 似.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］连结，，若，求 的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【解】过作于点，令，交于点 ，如图所示，则 . , ， ,,,, . , ， , ，…………（8分） ，，解得或 （舍去）， ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.项目式学习[2024浙江杭州二模，中]（本小题满分10分） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 如图（1）是一张直角三角形纸板 ， 两直角边长， ， 小华、小明、小富分别用这样的纸板裁 剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶 点都在三角形的边上 _________________________________________________ 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材2 小华按如图（2）的方式裁剪出一个正方 形 ；小明按如图（3）的方式裁剪 出一个矩形，且 _______________________________________ ____________________________________ 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材3 小富对纸板 的裁剪步骤如下（如图（4））： 步骤1：在三角形纸板上裁剪一个矩形 ，矩 形的四个顶点都在 的边上； 步骤2：在剩下的三角形纸板 上裁剪一个正方形 ，正方形的四个顶点都在 边上，且满足矩 形的边的长比正方形 边长的二倍小 ______________________________________ 图（4） 问题解决 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 任务1 请通过计算比较小华、小明裁剪的两种矩形的面积大小 【解】小华：设正方形的边长为，则 .由题意易得 ，,，解得 ， .…………（2分） 小明：由题意得 . 易得，, ， 解得, . 易得，, ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解得， ， .…………（4分） ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 任务2 请求出小富裁剪的矩形 各边的长 【解】由题意易得， ， 设，， . 易得，, ， ， .…………（7分） 易得，. , ，解得， ，…………（8分） ， ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 22.探究性问题[2025浙江杭州期末]（本小题满分12分）如 图，是的外接圆，点是弧的中点，过点 作的平行线交的延长线于点，连结，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【初步感知】 （1）求证： ； 【证明】连结， 点是弧 的中点， ，， ， ，, , , .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【特例探究】 （2）［中］当时，求 的值； 【解】， ， ， , .…………（3分） ， . , .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【拓展应用】 （3）设 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 ①［中］求的值；（用含 的代数式表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 【解】过点作于 ，如图， 则 . ， ， ， . ， 设，则, , ，，， 由（2）知 ，， .…………（6分） ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ②［难］若，，求 的长． 【解】由①可知，则 ， . ， .…………（9分） ，，解得或.当时， ，则 ；（10分） 当时，，则 .…………（11分） 综上所述， 的长为9或3．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 $$