16.第4章 相似三角形 上分专题（五） 相似三角形中的基本图形-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 上分专题（五） 相似三角形中的基本图形 重难上分 攻克难点 4 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 手拉手型 类型4 一线三等角型 类型5 子母型（射影定理） 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 A字型 母题学方法 上分攻略 “A”字型相似的特点：若两个三角形存在共角，另有一个角对应相等或夹共角的两 边成比例，则两个三角形相似. 正A字型（共角） 斜A字型（共角） 斜A字型（共边） ______________________________ 已知： .结论： ______________________________ 已知： .结 论： _______________________________ 已知： .结 论： 1. [2025浙江杭州质检]如图，在等边三角形中，点， 分别在 ，上，且 ，下列不正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】，是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ．综上， A，C，D正确.在和中，, ，可知这两个 三角形不相似．故B不正确．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 2. [2025浙江杭州上城区月考]如图，点，， 分别 在的边上，，，，点是 的中点， 连结并延长交于点，则 的值是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】如图，过点作交于点,设交于点 点是 的中点， 是的中点，是 的中位线， ，， 四边形 是平行四边 形，，.设 ，则 ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，. ，， ， ， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 类型2 8字型 母题学方法 上分攻略 “8”字型相似的特点：若两个三角形存在对顶角，另有一个角相等或对顶角的两边 对应成比例，则两个三角形相似. 正8字型 斜8字型（蝴蝶型） _________________________________ 已知： . 结论： ______________________________ 已知： . 结论： 3. [2025浙江宁波海曙区期末]如图，在四边形中，对角线 与 相交于点，平分，若 ，则下列结论不正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 【解析】A选项，，， ，故此选 项正确，不合题意；B选项，，， .又 ， ，故此选项正确，不合题意；C选项， ，平分， ， ，， ，故此选项正 确，不合题意；D选项，无法得出 ，故此选项错误，符合题 意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 子题练变式 4. [2025浙江宁波海曙区月考]如图，在菱形 中，对角线，交于点， ，垂足为点 ，分别交，及的延长线于点，， ，且 ，则 的值为__. 【解析】 四边形是菱形，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 类型3 手拉手型 母题学方法 上分攻略 和共顶点 ，通过两边成比例且夹角相等或利用旋转构造等角来判定 三角形相似.常见模型如下: 在内且拉手线和 无交点. 在外且拉手线和 无交点. 在外且拉手线和 有交点. 5.[2025浙江宁波江北区校级月考]如图，四边形 和四边 形都是正方形，，，三点在同一直线上，连结 , ,,则 _ __. 【解析】 四边形是正方形， , ，，同理可得 ， . ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 子题练变式 6.[2025浙江金华月考]如图，和 均为等腰直角三角形， ，在内， ,连结 ．若 ，，则 ____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】，， ， ， ， ， ， ，，， , ，.，， . ， ， ， ，．故答案为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 类型4 一线三等角型 母题学方法 上分攻略 如图，已知，，三点共线，且 . 7.如图，，，点是线段上的一点，且．若 ， ，，则 ___． 3 （第7题图） 【解析】，，， ， ， ， ， ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 子题练变式 （第8题图） 8.如图，为等边三角形，，点为 边上的动点 （点不与点，重合），点在边上,且．当 运动 到中点时， ___. 5 【解析】 为等边三角形， ， ， ， ，,. 为等边三角 形, 点为的中点，， ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 类型5 子母型（射影定理） 母题学方法 上分攻略 如图（1），直角三角形被斜边上的高 分成两个直角三角形,这 两个直角三角形与相似，即 .常见的结 论有，， （射影定理）. 正方形、矩形中常出现子母型，如图（2）.复杂图形中如有图（1）、 图（2）中的基本模型，可尝试应用该模型证明三角形相似． （第9题图） 9.[2025浙江台州仙居调研]如图，在 中， ， ，，过点作于点 ， 以为顶点作一个直角三角形，其两边分别与边， 交于 点，，点不与点重合，则 __． 【解析】 ， ， ， ，，. ， .又， ， .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 子题练变式 10.[2025浙江杭州拱墅区校级月考]如图，在矩形中，， ，点 在边上，点，分别在边，上，且，则 __． （第10题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 【解析】如图，过点作于点 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边 形为矩形，， ， , .又 ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 $$