10.第3章 圆的基本性质 上分专题（三） 圆中的最值问题-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 上分专题（三） 圆中的最值问题 重难上分 攻克难点 4 类型1 利用圆外点到圆的距离求最值 类型2 利用定点定长构造圆求最值 类型3 利用定弦定角构造圆求最值 类型4 利用四点共圆求最值 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 利用圆外点到圆的距离求最值 母题学方法 上分攻略 ①求圆外定点到圆上动点的距离：距离最短为定点与圆心的距离减去半径；距离 最长为定点与圆心的距离加上半径.②求直线与圆上动点的距离：过圆心作该直线 的垂线，距离最短为垂线段长度减去半径，距离最长为垂线段长度加上半径. 1.[2025浙江温州鹿城区校级期中]如图，在中， ， ，于点，，是半径为1的 上一动点，连 结，若是的中点，连结，则 的最大值为( ) D A.3.5 B.4.5 C.4 D.3 【解析】连结，， , 点为的中点，是 的中位线， ， 当取最大值时，的值最大.是半径为1的 上一动点， 当过圆心时，的值最大，最大值为， 的最大值为3，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 子题练变式 （第2题图） 2. [2025浙江台州仙居月考]如图，在平面直角坐 标系中，点是以，为圆心，1为半径的 上的一个动 点，已知，，连结，，则 的最小值 是__________． 【解析】设，则， ， . 连结，则，.连结.由题易知，当点 为线段与的交点时，取得最小值.,, 的最小 值为，的最小值为．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （第3题图） 3. [2024浙江绍兴模拟]已知点 和直线 ，求点到直线的距离 可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， 的圆 心的坐标为，半径为1，直线的表达式为， 是 直线上的动点，是上的动点，则 的最小值是_ _______． 【解析】过点作 直线，交于点，此时 的值最小.根据点到直线的 距离公式可知，点到直线的距离. 的半径为1， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 类型2 利用定点定长构造圆求最值 母题学方法 上分攻略 在一个平面内，若一个动点围绕一个“定点”并以“一定长度”为距离旋转一周或一 定角度，这个动点的轨迹就是圆或者圆弧.“定点”即为圆心，“一定长度”即为半径. 求该动点和另一个端点距离的最值即可转化为求圆外点到圆的距离. （第4题图） 4.[2025浙江宁波校级开学]如图，在矩形 中，已知 ，，点是边上一动点（点不与， 重 合），连结，作点关于直线的对称点，则线段 的 最小值为( ) A A.2 B. C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第4题图） 【解析】连结，,如图所示.因为点和 关于直线 对称，所以，所以在以 圆心，3为半 径的圆上.当，，三点共线，且点在, 之间时， 最短.因为， ，所以 ，所以线段 的最小值为2．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 子题练变式 5.[2025浙江温岭期中]如图，点，，的坐标分别为，， ，以 点为圆心，2为半径画，点在上运动，连结，交于点，点 为 线段的中点，连结，则线段 的最小值为___． 3 （第5题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第5题图） 【解析】如图，连结，， ， ,，是的中点.是 的中点， ， ，， 点 在 以为圆心，2为半径的上，当,,三点共线,且点 在 点,之间时，有最小值，连结 ， ，， 线段 的 最小值为3，故答案为3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 类型3 利用定弦定角构造圆求最值 母题学方法 上分攻略 如图，线段AB及其所对动角∠P均为定值,则点P的 运动轨迹为过A，B，P三点的圆.当题目中出现固 定线段与其所对的角为定值时，可以想到利用定 弦定角构造圆. 原理:弦AB所对的同侧圆周角恒相等. 备注:点P在优弧、劣弧上运动皆可. 6.[2025浙江杭州拱墅区校级期末]如图，在等边中，，点， 分别 在边，上，且，连结，交于点，连结，则 _____， 的最小值是_____． （第6题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】是等边三角形， ， ， ， .又 ， ， .如图，作的外接圆，连结, ，，， 易知 ， ，. , ,. 当，， 三点共线 时，有最小值，最小值为．故答案为 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 子题练变式 （第7题图） 7.[2025浙江宁波鄞州区校级期中]如图，为的直径， 为上一点，其中， ，为 上的动 点，连结，取的中点，连结，则线段 的最大值为 ( ) D A.3 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （第7题图） 【解析】如图，连结，过点作于 ， ， ， 点的运动轨迹为以 为直径的 ，连结，当点在的延长线上时， 的值最大. , .在中， ， ， ，， ， .在 中， ，的最大值为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 8.[2025浙江宁波期中]如图，正方形的边长为6，点是边上一动点，点 在边上，，与交于点，则 的最小值为_________． （第8题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 【解析】取的中点，连结，,如图.根据题意可知，点在以 为圆心， 为直径的圆弧上运动.和的长度是定值， 当,, 三点在同一条直线上 时，取得最小值. 四边形是边长为6的正方形， ， ，， 在 中， ，的最小值为 ．故 答案为 ． （第8题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 类型4 利用四点共圆求最值 母题学方法 上分攻略 四点共圆有两种常见模型：①对角互补型：若一个四边形相对的两角互补，那么这 四点共圆.②同侧等角型：若点，点位于线段同侧，分别构成三角形 与三 角形，且，那么，，，四点共圆，线段 为圆中的弦. 9. [2025浙江金华金东区期末]如图， ，在 中， ，，，当点，分别在射线， 上滑动时， 连结，则 的最大值为______． （第9题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 【解析】在 中，由勾股定理得 .如图，在 的左侧作 等腰直角三角形， ，连结，，过点 作于 ， 点在以点 为圆心， 为半径的圆上. ， 点， ， ，四点共圆，易知为该圆直径. ， , .在 中，,, ， .在中， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 .当，，三点共线时， 有最大 值，的最大值为 ，故答案 为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 子题练变式 （第10题图） 10. [2025浙江杭州调研]如图，正方形 的边 长为4，点是正方形外一动点，且点在 的右侧， ，为的中点，当运动时，线段 的最大值为 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 【解析】如图，连接，交于点，连接， ， ，，，，四点共圆. 正方形 的边长为4， .为的中点，是 的中点， ， 当点在线段 上时， ，即线段的最大值为 ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 $$