3.第1章 二次函数 上分专题（一） 二次函数的最值问题-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 上分专题（一） 二次函数的最值问题 重难上分 攻克难点 4 类型1 函数最值 类型2 代数式最值 类型3 几何动态中的最值 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 函数最值 母题学方法 上分攻略 二次函数的最值与有关.若 ，则抛物线开口向上， 函数有最小值；若，则抛物线开口向下，函数有最大值.当 时，函数 取得最值.解答函数最值问题的关键：①确定开口方向;②找到对称轴.当取值范围 受到限制时，函数的最值与端点的取值息息相关. 1.[2025浙江杭州拱墅区开学]已知是关于 的二次函数． （1）求满足条件的 的值. 【解】是关于的二次函数,解得， 的值为 ． （2） 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点的坐标. 【解】 抛物线有最低点， 抛物线开口向上，， .由（1） 知，， 该抛物线的表达式为， 最低点为 ，故 当时，抛物线有最低点，其坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （3） 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 【解】 二次函数有最大值， 抛物线开口向下，， .由（1） 知，， 该抛物线的表达式为， 易知函数最大值 为，故当时，函数有最大值，最大值为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 2. [2025浙江杭州淳安期中]若二次函数 （，， 是实数），则( ) B A.当时，函数的最小值为 B.当时，函数的最小值为 C.当时，函数的最小值为 D.当时，函数的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】令，则，解得，， 二 次函数的图象与轴的交点坐标是，， 二次函数图象的对称轴是直线．， 有最小值， 即当时， 的值最小，此时 ， 当时，函数 的 最小值为；当时，函数的最小值为 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 3. [2025浙江义乌月考]求关于 的二次函数 的最大值（ 为常数）． 【解】二次函数图象的对称轴为直线, 抛物线开口向上. ①当时，当时，有最大值；②当时，当 时，有最大值；③当时，当或时， 有最大值2；④当 时，当时，有最大值；⑤当时，当时， 有最 大值．综上，的最大值为或2或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. [2025浙江温州期中]已知抛物线（， 为常数） 经过点， ． （1）求抛物线的表达式； 【解】把，分别代入得 解得 抛物线的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （2）当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求 的值． 【解】，， 抛物线开口向下，对称轴 为直线，当时，有最大值；当时，， 点 关 于对称轴对称的点为.若，则二次函数的最大值为 ，最小 值为1，，解得或（舍去）；若 ， 则二次函数的最大值为，最小值为1，而 ，故不合题意，舍去； 若，则二次函数的最大值为，最小值为 ， ，解得或（舍去）.综上所述， 的值为 或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 5. [2025浙江温州期中]对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有 满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是2． （1）函数和 中是有上界函数的为____ （只填序号即可），其上确界为___； ② 1 【解】①，函数没有最大值， ①不是有上界函 数；，， 是有上界函数，且上确界为1，故答案 为②，1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （2）［中］如果函数的上确界是 ，且这个函数的 最小值不超过，求 的取值范围； 【解】，随的增大而减小， 当 时， 上确界是， 函数的最小值不超过 ，，， ， ，,的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （3）［中］如果函数 是以3为上确界的有上 界函数，求实数 的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解】的对称轴为直线.当 时， ;当 时, .①当 ，即 时，或时函数取得最大值.若当 时函数取最 大值，则函数的上确界是，，解得 （舍去） 或；若当时函数取最大值，则函数的上确界是, ， 解得（舍去）当，即时，函数的上确界是 ， ，解得或（舍去）．③当，即 时，函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 的上确界是,,解得（舍去）或 （舍去）. 综上所述，的值为 或0． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型2 代数式最值 母题学方法 上分攻略 解答代数式最值的关键在于利用已知关系，将含有两个或多个字母的代数式转化 为含有一个字母的代数式，进而转化成二次函数求最值即可. 6.[2025浙江杭州钱塘区月考]若，则 的最大值为___． 9 【解析】， ， ， 当 时， 有最大值，为9．故答案为9． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 子题练变式 7.[2025浙江杭州拱墅区月考]已知实数,满足且 ，则代数式 的最小值是___． 4 【解析】因为，所以 ，则 ．又因为，所以 ， 解得．当时，代数式的值随 的值的增大而增大，所以当 时，代数式 取得最小值，为4．故答案为4． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 8.[2025浙江诸暨质检]已知实数,满足，当 ___时，代数式 的值最大． 1 【解析】， ， ， 当时，有最大值4，即当时， 的值最大．故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 类型3 几何动态中的最值 母题学方法 上分攻略 将线段长度用含未知数的式子表示出来，利用等量关系写出二次函数关系式.根据 题目情境中自变量的取值范围求得二次函数的最值即可. 9.[2025浙江杭州期末]如图，在中， ， ,，动点从点开始沿边向点 以的速度运动，动点从点开始沿边向点 以 的速度运动，当运动到终点时停止．如果， 两 点同时出发，设运动时间为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 （1）__________，___．（用含有 的式子表示） 【解】根据题意得,, ,故答案为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 （2）连结,设的面积为，当为何值时， 的面积最大？求出最大 面积． 【解】 , 当 时，的面积最大，最大面积是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 子题练变式 10.[2025浙江义乌月考]如图，在平面直角坐标系中，已知点 坐 标为，直线与轴相交于点，连结 ，将二次函数 的图象沿方向平移，与直线交于点，顶点与 重合时停止移动． （1）求线段 所在直线的函数表达式； 【解】设线段所在直线的函数表达式为，将点 代 入得，解得， 线段 所在直线的函数表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 （2）［中］设点的横坐标为，当为何值时，线段 最短?并求出此时二次 函数的表达式. 【解】 点的横坐标为，且由题易得点在线段上移动，， 设抛物线的表达式为， 当 时， , ， 当时， 最短，此时抛物线的表 达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 $$