22.第2章 直线与圆的位置关系 上分专题（六） 与切线相关的辅助线的作法-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 上分专题（六） 与切线相关的辅助线的作法 重难上分 攻克难点 4 类型1 连半径，证垂直，得切线 类型2 有切线，连圆心与切点，得垂直 类型3 作垂直，证半径，得切线 类型4 遇内心，作边的垂线 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 连半径，证垂直，得切线 母题学方法 上分攻略 “连半径，证垂直”这种辅助线作法的理论依据是圆的切线的判定定理，即“经过半 径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线”.当直线与圆只有一个公共点时，连 结该点和圆心，通过直接求角度或利用平行、全等等间接证明直线垂直于过这点 的半径，即可证得切线. 1.[2025浙江台州校级月考]如图，是的直径， 是圆 上一点，过的直线与的延长线交于点，于 ， 平分 ． （1）求证：是 的切线； 【证明】连结，则， 平分 ，，， ， 是的半径，是 的切线． 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （2）若，，求 的长． 【解】，，.由（1）得 ， ，，解得 ， ，的长是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 8 子题练变式 2.[2025浙江杭州拱墅区校级月考]如图，是以为直径的 的内接三角 形，与相切于点，与的延长线交于点，是的中点，连结 并延 长，交的延长线于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1）求证：是 的切线； 【证明】连结，如图.与相切于点， ， 是的直径，是 中 点，，， ， ，即是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （2）若，．求的长和 的半径． 【解】， ，点是 中点， ，,.在 中， .由（1）得 ，设 ，则 ， ，解得 ，的半径为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 11 类型2 有切线，连圆心与切点，得垂直 母题学方法 上分攻略 当题目中出现切线与切点时,常连结圆心与切点,得到直角或垂直关系. 3.[2025浙江杭州期末]如图，在中， ，为边上一点，以 为直径的半圆与相切于点.若，，则半圆 的半径为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【解析】连结，如图所示.与半圆相切于点，.设半圆 的半 径为，则，.在中， ，解得 ， 半圆 的半径为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 子题练变式 4.[2025浙江绍兴柯桥区校级月考]如图（1），中国古代的马车涉及了很复杂的机 械设计（相对当时的生产力），所彰显的智慧让人佩服．如图（2）是马车的部分 侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面 与车轮相切于点，连结， ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （1）徽徽猜想 ，徽徽的猜想正确吗？请说明理由. 【解】徽徽的猜想正确，理由如下：如图，连结与 相切， ， ， ， 为的直径， ， ， .由圆周角定理得， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）若，米，求车轮的直径 的长． 【解】，，， ， ，解得， . 答：车轮的直径 的长为1米． 1 2 3 4 5 6 7 8 17 类型3 作垂直，证半径，得切线 母题学方法 上分攻略 当不能确定直线与圆是否有公共点时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线 的距离等于半径.本作法的依据是圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切. 5.[2025浙江宁波期中]如图，在中， ，， ， 以点为圆心，为半径作．求证：是 的切线． 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【证明】过点作于 点，如图. ，， ， ， 的半径为 ，为的半径.，是 的切线． 1 2 3 4 5 6 7 8 20 子题练变式 6.[2025浙江温州质检]如图，在中， ，平分交 于 点，以点为圆心，长为半径作，交于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （1）求证：与 相切； 【证明】过作于，如图.平分交于点 ， ,，是的半径.,与 相 切. 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （2）若，，求 的长． 【解】设的半径为 ，， ， ，是的切线， ， ，.在 中， ，解得，, ． 1 2 3 4 5 6 7 8 23 类型4 遇内心，作边的垂线 母题学方法 上分攻略 三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，故内心到三角形三条边的距离 相等.当遇到三角形的内心时，过内心作三角形三边的垂线，则三条垂线段 （即三角形内切圆的半径）长度相等.求内切圆半径 的常用公式：①适用于所有三 角形：（, 分别为三角形的面积和周长）；②适用于直角三角形： （,为直角三角形的两直角边长， 为斜边长）. 7.[2025浙江杭州质检]如图，已知在中， ， ，，点是的内心，则点到边 的距离 为___. 2 【解析】如图，连结，，，过点分别作 于点 ，于点，于点.在中， ， ， ，是 的内心， ， ，， 点到边 的距离 为2.故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 25 子题练变式 8.[2025浙江嘉兴调研]如图，在中，，， 为的内心，若的面积为20，则 的面积为 ( ) B A.20 B.15 C.18 D.12 【解析】过作于，于为的内心， ， .的面积为20， 的面积为15．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 26 $$